我们把它称为负二项分布,是因为可以把它看作 展开式中的各项系数 它在生态学的研究中常有应用,许多生物种群的空间分布型都可以用它来描述,其参数k可作 为聚集性的指标,k越小,该生物的群集性越明显 6.泊松( Poisson)分布:在二项分布中,当事件出现概率特别小,(p→0),而实验次数又非常 多(n→∞),使n→λ(常数)时,二项分布就趋近于泊松分布,为 P(x)= x=0,1,2,… xl 历史上,泊松分布是作为二项分布的近似引入的,但是目前它的意义已远远超出了这一点 成为概率论中最重要的几个分布之一。许多随机现象服从泊松分布,如电话交换台接到的呼 叫数:汽车站的乘客人数:射线落到某区域中的粒子数:细胞计数中某区域里的细胞数 等等。可以证明,若随机现象具有以下的三个性质,则它服从泊松分布(以电话呼叫为例) (1)平稳性:在(tn,to+△t)中来到的呼叫平均数只与时间间隔Δt的长短有关,而与起点to 无关。它说明现象的统计规律不随时间变化 (2)独立增量性(无后效性):在(t,t+△t)中来到k个呼叫的可能与to以前的事件独立,即 不受它们的影响。它说明在互不相交的时间间隔内过程的进行是相互独立的 (3)普通性:在充分小的时间间隔内,最多来一个呼叫。即:令Pk(△t)为长度为△t的时间 间隔中来k个呼叫的概率,则: ∑P2(△) 它表明在同一瞬间来两个或更多的呼叫是不可能的。显然具有这样特性的现象是相当普遍 的。这一点从一个侧面说明了泊松分布的重要性。 如果改用细胞计数为例,则上述三条性质可描述如下: (1)平稳性:在记数板上某一区域中观察到细胞平均数只与区域的大小有关,与这一区域位 于板上的什么位置无关。这说明细胞出现在板上任何位置的可能性都是相等的 (2)独立增量性:在某一区域中观察到k个细胞的可能性与区域外细胞的多少无关,不受它 们的影响。这说明细胞出现在何处与任何其他细胞无关,细胞间既不会互相吸引,也不 会互相排斥 (3)普通性:每个细胞都可与其他细胞区分开来,不会有两个或几个细胞重叠在一起,使我 们对细胞无法准确计数。 生物学中能够符合上述条件的事例是相当多的,如水中细菌数:从远处飘来的花粉 孢子数;荒地上某种植物初生幼苗数等等。关键是这些细菌,花粉,种子等互相间既不能 有吸引力,也不能有排斥力,这样它们的分布就会服从泊松分布。反之,若细菌呈团块状 出现,或植物长大后由于自疏现象而互相间保持一定距离,则它们的分布就不会是泊松分 布了 §23连续型随机变量 连续型随机变量X可取某个区间[c,d或( )中的一切值,且存在可积函数f(x),使 F(x)= f()dy fx)称为的(分布)密度函数,F(x)称为x的分布函数。显然 P(asX<b)=F(b)-F(a)=f()dx我们把它称为负二项分布，是因为可以把它看作 k x p q p − − ) 1 ( 展开式中的各项系数。 它在生态学的研究中常有应用，许多生物种群的空间分布型都可以用它来描述，其参数k可作 为聚集性的指标，k 越小，该生物的群集性越明显。 6. 泊松（Poisson）分布：在二项分布中，当事件出现概率特别小，(p→0)，而实验次数又非常 多（n→∞），使np→λ（常数）时，二项分布就趋近于泊松分布，为：  − = e x P x x ! ( ) x=0,1,2,…… 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似引入的，但是目前它的意义已远远超出了这一点， 成为概率论中最重要的几个分布之一。许多随机现象服从泊松分布，如电话交换台接到的呼 叫数；汽车站的乘客人数；射线落到某区域中的粒子数；细胞计数中某区域里的细胞数…… 等等。可以证明，若随机现象具有以下的三个性质，则它服从泊松分布（以电话呼叫为例）： (1) 平稳性： 在（t0, t0+Δt）中来到的呼叫平均数只与时间间隔Δt的长短有关，而与起点t0 无关。它说明现象的统计规律不随时间变化。 (2) 独立增量性（无后效性）：在（t0,t0+Δt）中来到k个呼叫的可能与t0以前的事件独立，即 不受它们的影响。它说明在互不相交的时间间隔内过程的进行是相互独立的。 (3) 普通性：在充分小的时间间隔内，最多来一个呼叫。即：令Pk（Δt）为长度为Δt的时间 间隔中来k个呼叫的概率，则： 0 ( ) lim 2 0 =     =  → t P t k k t 它表明在同一瞬间来两个或更多的呼叫是不可能的。显然具有这样特性的现象是相当普遍 的。这一点从一个侧面说明了泊松分布的重要性。 如果改用细胞计数为例，则上述三条性质可描述如下： （1）平稳性：在记数板上某一区域中观察到细胞平均数只与区域的大小有关，与这一区域位 于板上的什么位置无关。这说明细胞出现在板上任何位置的可能性都是相等的。 （2）独立增量性：在某一区域中观察到k个细胞的可能性与区域外细胞的多少无关，不受它 们的影响。这说明细胞出现在何处与任何其他细胞无关，细胞间既不会互相吸引，也不 会互相排斥。 （3）普通性：每个细胞都可与其他细胞区分开来，不会有两个或几个细胞重叠在一起，使我 们对细胞无法准确计数。 生物学中能够符合上述条件的事例是相当多的，如水中细菌数；从远处飘来的花粉、 孢子数；荒地上某种植物初生幼苗数等等。关键是这些细菌，花粉，种子等互相间既不能 有吸引力，也不能有排斥力，这样它们的分布就会服从泊松分布。反之，若细菌呈团块状 出现，或植物长大后由于自疏现象而互相间保持一定距离，则它们的分布就不会是泊松分 布了。 §2.3 连续型随机变量 连续型随机变量X可取某个区间[c, d]或（－∞，∞）中的一切值，且存在可积函数f (x)，使 − = x F(x) f (y)dy f(x) 称为X的(分布)密度函数，F(x) 称为X的分布函数。显然    = − = b a P(a X b) F(b) F(a) f (x)dx