第九讲。线性方程组 一，线性方程组的各种表达形式 a111 +a12r2+ 1.非齐次线性方程组 021工1 十a12r2+··+02n工n=b2 am1x1+am2Ty2+···+0mnxn=bm 11a12 a41a12 a21a12 02n 2a12…a2mb dmi ama2…amn bm A称为系数矩阵，A=(4,b)称为增广矩阵. 矩阵表达式：Ax=b,其中，x=(E1,E2,…,xn)T,b=(d1,b2,…,bm)T 向量表达式：1a1+202十…+TnOn=b. 如果n维列向量ξ )T满足方程组A=6，即A=b,则称是A=b的一个解向量 2.b=0时，得到齐次线性方程组的相应表达式，称A:=0为A=b的导出组. 二，齐次方程组有非零解的判定 设A是四×卫矩阵.则 ()齐次方程组化 =0有非零解的充要条件是r(A)<n,亦即A的列向量线性相关特别地，如A是n阶 矩阵，A=0有非零解的充要条件是14=0. (2)Ax=0有非零解的充分条件是m<(即方程个数<未知数个数) 特别地，如AB=0,则B的每一列都是Ar=0的解，当B≠0时，蕴涵A红=0有非零解，进而有r(A)+ r(B)<n. 三，非齐次线性方程组有解的判定 (1)设A是m×n矩阵，线性方程组A虹=b有解的充分必要条件是r(A)=r(④（或者说，b可由A的列 向量a1,2,·,0n线性表出，亦等同于a1,02,·,an与a1,2,·,am,b是等价向量组) (2)设A是m×n矩阵.则方程组Ax=b r(A)=r(A)= (3)无解台r(A)+1=r(A÷b不能由A的列向量线性表出 注1.如Ax=6有唯一解，则A:=0只有零解：反之，当Az=0只有零解时，Ax=b没有无穷多解（何 能无解，也可能只有唯一解，这一点要理解清楚). 2.A红=有无穷多解与有两个不同的解等价 四，线性方程组的性质 1.如果1,52是Ar=b的两个解，则6-52是Ar=0的解 2.如果m1,是Ar=0的两个解，则其线性组合k1m+k22仍是Ax=0的解 3.如果是Ar=的解，是A =0的解，则+n仍是A=b的解 五，基础解系及线性方程组有解的结构 1 1 ˘, Ç5êß| ò, Ç5êß|à´Là/™ 1. ö‡gÇ5êß|    a11x1 +a12x2 + · · · +a1nxn = b1 a21x1 +a12x2 + · · · +a2nxn = b2 · · · · · · · · · · · · · · · am1x1 +am2x2 + · · · +amnxn = bm A =   a11 a12 · · · a1n a21 a12 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn   , A =   a11 a12 · · · a1n b1 a21 a12 · · · a2n b2 · · · · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn bm   , b =   b1 b2 · · · bm   A °èXÍ› ,A = (A, b)°èO2› . › Là™: Ax = b, Ÿ•,x = (x1, x2, · · · , xn) T , b = (b1, b2, · · · , bm) T . ï˛Là™: x1α1 + x2α2 + · · · + xnαn = b. XJnëï˛ξ = (c1, c2, · · · , cn) T˜vêß|Ax = b,=Aξ = b,K°ξ¥Ax = bòá)ï˛. 2. b = 0û,‡gÇ5êß|ÉALà™, °Ax = 0èAx = b—|. , ‡gêß|kö")½ A¥m × n › ,K (1) ‡gêß|Ax = 0kö")øá^á¥r(A) < n,½=Aï˛Ç5É'.AO/,XA¥n › ,Ax = 0kö")øá^á¥|A| = 0. (2) Ax = 0kö")ø©^á¥m < n(=êßáÍ<ôÍáÍ) AO/,XAB = 0,KBzò—¥Ax = 0),B 6= 0û,%ºAx = 0kö"),? kr(A) + r(B) ≤ n. n,ö‡gÇ5êß|k)½ (1) A¥m × n › , Ç5êß|Ax = bk)ø©7á^á¥r(A) = r(A) (½ˆ`,b ådA ï˛α1, α2, · · · , αn Ç5L—,½”uα1, α2, · · · , αn Üα1, α2, · · · , αn, b ¥dï˛|) (2) A¥m × n› ,Kêß|Ax = b (1)kçò)⇔ r(A) = r(A) = n (2)kðı)⇔ r(A) = r(A) < n (3)Ã)⇔ r(A) + 1 = r(A) ⇔ bÿUdAï˛Ç5L— 5 1. XAx = b kçò),KAx = 0 êk")¶áÉ,Ax = 0 êk")û, Ax = bvkðı)(å UÃ),èåUêkçò),˘ò:án)òŸ). 2. Ax = bkðı)Ük¸áÿ”)d. o,Ç5êß|5ü 1. XJξ1, ξ2¥Ax = b¸á),Kξ1 − ξ2¥Ax = 0) 2. XJη1, η2¥Ax = 0¸á),KŸÇ5|‹k1η1 + k2η2 E¥Ax = 0). 3. XJξ ¥Ax = b),η¥Ax = 0 ),Kξ + ηE¥Ax = b ). , ƒ:)X9Ç5êß|k)( 1