令5={x4缸=0以，即S是4x=0的所有解的集合，则S为一个向量空间，称为4x=0的解空间5= {Az=6≠0)，3是A红=的所有解的集合. ()S={4=0一个极大线性无关组（即：S的一个基）m, 称为A =0一个的基础解系.此 时x=h+k22+…+m是A缸=0的通解，其中h,2,·,k是任意常数，其中基础解系中解向量的个 数t=n-r(A)=自由变量的个数S的维数，即为r(S)=n-r(A). (2)若o是A红=的一个特解，m1,2,…,n为其导出组Az=0一个的基础解系，则x=k1m+22+ …+k4+n是Ax=0的通解，其中k1:2,·,k,是任意常数. (③)A=b无解时，5为空集有解时5不作成一个向量空间， (④若 是S的k个线性无关的解，则对某个固定的g点-6…61-6641-，-6为AX 0的k-1个线性无关的解，因此r(≤r(S)+1 (⑤)若6，…，是S的k个线性无关的解，50是Ax-b(b≠0)的解，则51+60，…，+50，+5o是5的k+1个 线性无关的解，因此(S)+1≤r(⑤ (6)(5=r(S)+1 六，线性方程组的解法 设4=b(6≠0)，r(A)=r,则r(4)=r(4,b)或r(A)=r(4,b)-1. 1 ..0 0, 1 b (Ab) o dr+ 0 00 .00 ()若d, ≠0，则r(A)=r(A,)-1,A b无解(2)若d,+1=0,则r(A)=r(A,)=,可得到出 组A=0的基础 新为 -b1r+1 52 =b的特解 于是Ax 的工=k1++k-r5n-r+0,其中 ,kn-为任意常数 七，常考题型及其解题方法与技巧 题型一，线性方程组的求解 例9.1解方程 6x1-2x2+2xg+x4=3 (1) 《x1-T2 +x4=1,(②)x1+2+…+n=1. 2x1 +xg+3x4=2-S = {x|Ax = 0}, =S¥Ax = 0§k)8‹,KSèòáï˛òm,°èAx = 0)òm.S = {x|Ax = b}(b 6= 0),S¥Ax = b§k)8‹, (1) S = {x|Ax = 0}òá4åÇ5Ã'|(=:Sòáƒ)η1, η2, · · · , ηt°èAx = 0òáƒ:)X.d ûx = k1η1 + k2η2 + · · · + ktηt¥Ax = 0œ),Ÿ•k1, k2, · · · , kt¥?ø~Í,Ÿ•ƒ:)X•)ï˛á Ít = n − r(A) =gdC˛áÍSëÍ,=èr(S) = n − r(A). (2) eη0¥Ax = bòáA),η1, η2, · · · , ηt蟗|Ax = 0òáƒ:)X,Kx = k1η1 + k2η2 + · · · + ktηt + η0¥Ax = 0œ),Ÿ•k1, k2, · · · , kt¥?ø~Í. (3) Ax = bÃ)û, Sèò8;k)ûSÿä§òáï˛òm. (4) eξ1, · · · , ξk¥SkáÇ5Ã'),KÈ,á½ξi ,ξ1−ξi , · · · ξi−1−ξi , ξi+1−ξi , ξk−ξièAX = 0k − 1áÇ5Ã'),œdr(S ≤ r(S) + 1. (5) eξ1, · · · , ξk¥SkáÇ5Ã'),ξ0¥Ax = b(b 6= 0)), Kξ1+ξ0, · · · , ξk+ξ0, +ξ0¥Sk+1á Ç5Ã'),œdr(S) + 1 ≤ r(S. (6) r(S = r(S) + 1. 8,Ç5êß|){ Ax = b(b 6= 0), r(A) = r, Kr(A) = r(A, b)½r(A) = r(A, b) − 1. (A . . .b) ∼   1 · · · 0 b1r+1 · · · b1n d1 . . . . . . . . . . . . . . . 0 · · · 1 brr+1 · · · brn dr 0 · · · 0 0 · · · 0 dr+1 . . . . . . . . . . . . . . . 0 · · · 0 0 · · · 0 0   , (1) edr+1 6= 0, Kr(A) = r(A, b) − 1, Ax = bÃ);(2) edr+1 = 0, Kr(A) = r(A, b) = r, å— |Ax = 0ƒ:)¤è: ξ1 =   −b1r+2 . . . −brr+2 1 0 . . . 0   , ξ2 =   −b1r+1 . . . −brr+1 0 1 . . . 0   , · · · , ξn−r =   −b1r+1 . . . −brr+1 0 0 . . . 1   , Ax = bA)ξ0 =   d1 . . . dr 0 . . . 0   , u¥Ax = bœ)èx = k1ξ1 + · · · + kn−rξn−r + ξ0, Ÿ•k1, · · · , kn−rè?ø~Í. ‘, ~K.9Ÿ)Kê{ÜE| K.ò,Ç5êß|¶) ~9.1 )êß (1)    6x1 − 2x2 + 2x3 + x4 = 3 x1 − x2 + x4 = 1, 2x1 + x3 + 3x4 = 2 (2) x1 + x2 + · · · + xn = 1. 2