l.复变函数 F. Sommer §1.预篇 1.1全纯函数. Cauchy积分定理 这里我们将概述复变函数论在物理问题中的应用所依据的某 些基本事实 令C表复数域z=x+i,x,y∈R.其元素z与一平面上 的点(x,y)一一对应起来,这个平面称为复平面.在复平面上加 进无穷远点(或理想点)∞,对于复变函数问题是方便的,于是得 到紧致平面C〓CU{∞}.C同胚于球面S2 令G∈C为一域,且令f:G→C为定义于G的复值函数 若复导数f(x)lim(f(z+△z)-f(x)Az对每一点x∈G 皆存在,则称函数在G内全纯.我们将写成它的实部和虚部 之和f(x)=φ(x,y)+讪(x,y).现在f是全纯的。当且仅当 中x中yφx和小在G内存在、连续且满足 Cauchy- Riemann方程: φx=ψ,中 (11) 此时我们有 f(x)=(x,y)十i2(x,y) (中(x,y)十ψ(x,y) (12) 除 Cauchy- Riemann方程之外,复变函数论的另一基本结果是 Cauchy积分定理若f是单连通域G内的全纯函数,则沿 1)与 Bochun大学数学研究所H.J. Reiffen合作