G内从x1至x的途径C上的积分(x)d与途径C的选择无关 只须假设C是紧致的且分段光滑,即C有一参数表示式: z()=a(4)十iv(),h≤t≤ 其中u(4)和v(4)在区域[;t2]上连续且分段连续可微.于是积 分可写成 Riemann积分 f(e)d f(z(r))z'r)dt d(a(),以()44-(),叭()4 +计|φ(a(),v()a+中(u(),v(t) dt 我们证明下面的等价命题,就可验证 Cauchy积分定理 命C为单连通域G内之闭途径,且令f为G内的全纯函数,则 f(s)dz =0 由此对于任意域可得下列结果 )令f为域G内的全纯函数,且令C1和C2为G内从z1至z2 的两途径,彼此能连续形变而保其端点固定,则有 f(ed b)给定G内两闭途径C1与C2,它们能互相形变且保持定 向,则f(x)d c)令C为G内一闭途径,它能连续形变为一点z0∈G,则 f(x)dx 注在情形a)和b),途径C1和C2称为同伦,在情形c),途 径C称为同伦于零。于是积分只依赖于同伦类,即依赖于有等价 关系(C1同伦于C2)的类 对于不一定是单连通域的情形,我们有如下的结果: 2