得到基庵能量。 3.5.3变分量子蒙特卡洛方法 我们要求解基丧本征能量E0和基壳本征波函数v(x)o 选择一个谜探波函欻ψ,燚后用Ω铲卡洛方法计犷在此试揶 波函教下的变分能量,从而寻找基忞波函教和基能量。这里 选择试探波函数ψ受求物理上要合理,它也可以用一个或几个谓 节參数来欧变其寶。假定试探函数为实函数,则变分原理要求 在此试探波函數下的能量平均值应当大于或普于基庵能量值, 即 wAw>_Jw()"'(Hw(kr <v|y> Ju()di 其中y(l可以看成为“局域能量”s。如果试探波函数v就 是基波函教,则上式中的号成立。一批情况下选择的试探 函数只能是一个近似的佑计函数。由哈密噸量的表示可以讣到 该局域能量的公式 y Hy y>Vy+ 采用 Metropolis方法,换y2(x)的分布产生N个形1,x2,,xx 则从公式(3.5.29)可以得劃试缳波函数对应的能量平均为 Em=<H>1∑6(x) 不盺改变试探波函教的。并计犷试探能量的平均值<H>,直到 取得<H>的最小。这时得到的试探波函教和能量平均<H>下 限就是基壳波函数和基变能量本征值E 下面我们以一个一维的量子体系的变分法求卡洛模拟步 暻 (1)选择一个物理上合理的近似基波函数(x)作为试擐波函 (2)采用 Metropolis方法,换胤分布密度函数v:(x)随机抽取N 个位形{,x2x},计算能量平均值Eo (3)欧变试探波函教中的变分参教值,良得v(x)的值在区间-6.81 内随机变化一个小量,即v(x)→(x),重复(2)中能量平均值 的计算得到Eo得到基态能量。 3.5.3 变分量子蒙特卡洛方法 我们需要求解基态本征能量E0和基态本征态波函数 (x) G ψ 0 。 选择一个试探波函数ψ ，然后用蒙特卡洛方法计算在此试探 波函数下的变分能量，从而寻找基态波函数和基态能量。这里 选择试探波函数ψ 要求物理上要合理，它也可以用一个或几个调 节参数来改变其值。假定试探函数为实函数，则变分原理要求 在此试探波函数下的能量平均值应当大于或等于基态能量值， 即 [ ] 0 2 2 1 ( ) ( ) ˆ ( ) ( ) | ˆ E x dx H x x H x dx Etry H = ≥ < > < > =< >= ∫ ∫ − G G G G G G ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ . 其中 1 ˆ ψ ( )x Hψ(x) − G G 可以看成为“局域能量”ε 。如果试探波函数ψ 就 是基态波函数，则上式中的等号成立。一般情况下选择的试探 函数只能是一个近似的估计函数。由哈密顿量的表示可以得到 该局域能量的公式 V m H y z i x ≡ = − ∑∇i + = − − , 1 2 2 1 2 ε ψ ˆψ ψ ψ = . 采用 Metropolis 方法，按 ( ) 2 x G ψ 的分布产生 个位形{ }， 则从公式(3.5.29)可以得到试探波函数对应的能量平均值 N N x x x G G G , ,..., 1 2 Etry 为 ∑= =< >≈ N i try i x N E H 1 ( ) 1 G ε . 不断改变试探波函数的值，并计算试探能量的平均值< H >，直到 取得< H >的最小值。这时得到的试探波函数和能量平均值< H >下 限就是基态波函数和基态能量本征值E0。 下面我们以一个一维的量子体系的变分法蒙特卡洛模拟步 骤： (1)选择一个物理上合理的近似基态波函数 (x) ψ i 作为试探波函 数。 (2)采用 Metropolis 方法，按照分布密度函数 ( ) 2 x ψ i 随机抽取 个位形{ ，计算能量平均值 。 N x1 , x2 ,..., x N } (i) Etry (3) 改变试探波函数中的变分参数值，使得 (x) ψ i 的值在区间[−δ ,δ ] 内随机变化一个小量，即 ( ) ( ) 1 x x ψ i →ψ i+ ，重复（2）中能量平均值 的计算得到Etry (i+1)。 6