0:10.13374/j.1s8n1001053x.1998.01.021 Vol.20 No.1 北京科技大学学报 第20卷第1期 Feb.1998 Journal of University of Science and Technology Beijing 1998年2月 Hilbert空间上一类半线性随机 发展方程的稳定性 * 张志刚秦明达 北京科技大学应用科学学院，北京100081 摘要讨论Hilbert空间上半线性随机发展方程dY()=[AK)+f(Y()d山+G(Y()]dw()的稳 定性.为此引进了适度解的正则性和常返性等概念，利用Liapunov直接法得到了此类随机发展方 程的随机渐近稳定性、随机指数稳定性、P-稳定性和几乎必然指数稳定性的充分性判据.这些结 果不但推广了有限维情形的工作，同时也发展了A.Ichikawa的工作， 关键词半线性随机发展方程，适度解，Liapunov直接法 分类号0175 1预备知识 设(Q,F,P)为完备概率空间，(F),t≥0为F的递增、右连续的子o-域族.H和Y为实、可 分的Hilbert空间，Y(t)为Y值过程，w()为H值Viener过程（其协方差算子为Q),A为Y上强 连续半群S(t)的无穷小算子；以<，>记为Hilbert空间的内积，并以【·|，‖·‖分别记为向量和 算子的范数，D(A)记为算子A的定义域；以L(H,)表示H+的有界线性算子空间，简记 L(Y)为L().记L,(Q,F,P)为p-可积的Y值随机变量空间. 本文考虑如下一类半线性随机发展方程： dY()=[A④+f(Y()ld+G(Oωdw(0,t∈[0，，Koo (1) Y(O)=yo∈Y 其中，f∈(y,G:YL(H,)满足f(0)=G0)=0且存在正数c,c,使y,zeY有 f0y)-l≤c,ly-z,lGy)-G(l≤cly-z, (1) y,为F,可测且独立于dw()的X值随机变量. 定义1（适度解mild-solution)称过程Y(),t≥0为方程(1）的适度解，如果 (I)0是(F)-适应的：(2)W0可测且Y0d<0as. a)0=0,+∫-pf0ot+∫-nc(dr0,as. 以后记y(5y,)为方程(1)的适度解. 记C:y)为Y×[0,刀上全体实值连续函数0y,)的集合，满足性质： (a)心y,)关于t可微，yeD(A:这里D()为具有A范数：0y,)连续，y川x0=y川2+|y2为 1997-11-18收稿张志刚男，34岁，讲师 ·国家自然科学基金资助课题(No.19671004)北 京 科 技 大 学 学 报 段 第 卷 第 期 年 月 空 间上一类半线性随机 发展方程的稳定性 张志 刚 秦明 达 北京科技大学应用科学学 院 ， 北京 摘要 讨论 托 空 间上半线性 随机发展 方程 双 的稳 定性 为此引进 了适度解 的正 则性和 常返性等概念 ， 利用 直接法得到 了此类 随机发展方 移的 随机渐近稳定性 、 随机指数稳定性 、 一 稳定性 和 几乎必然 指数稳定性 的充分性判 据 这些 结 果不但推广 了有 限维情形 的工作 ， 同时也发展 了 的工作 关健词 半线性随机发展方程 ， 适度解 ， 直接法 分类号 预备知识 设 ， ， 为完备概率空 间 ， ， ， 七 为 的递增 、 右连续 的子 一 域族 和 为实 、 可 分 的 托 空 间 ， 为 醉 值过程 ， 为 值 过程 其协方 差算 子 为 ， 为 上 强 连续半 群 的无 穷小算 子 以 ， 记 为 环 空 间 的 内积 ， 并 以 ， · 分别 记 为 向量 和 算 子 的 范 数 ， 记 为算 子 的定 义 域 以 ， 力表 示 月爷 钓 有 界 线 性 算 子 空 间 ， 简 记 的为 力 · 记 气 。 ， ， 尸 约为 一 可 积 的 值 随机变量 空 间 · 本文考虑 如下 一类半线性 随机发展方程 丁 ‘ ‘ 一 〔 ” 了‘ ‘ ，，“ “ ‘” ，‘ ‘ ， “ 〔 ， ” ， 帐 的 。 ‘ 其 中 ， 〔 双 ， 卜 ， 力满足 且存在 正数 。 ， 几使 ， 有 『伽 一 人 ‘ 一 ， 妙 一 ‘ 一 卜 为 凡可 测 且独 立 于 的 值随机变量 定义 适度解 而 一 称过 程 ， 之 。 为方程 的适度解 ， 如果 。 是 一 适应 的 ‘ 可测且 丁 ’ 二 ， 、 。 一 ，。 夕。 丁 ，卜 ， ‘ · 丁 ，卜 玖 · ， 一 以后 记 八 为方程 的适度解 记 ” 妙 为 ， 刀上全体实值连续 函数 妙 ， 的集合 ， 满足性 质 心 ， 关 于 ‘ 可微 ， 夕‘ 这 里 刃 为具有 范数 。 ， 连续 ， ， 孰 ，一 川 ’ ’为 一 一 收稿 张志 刚 男 ， 岁 ， 讲师 国家 自然科学基金 资助课题 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1998．01．021