·94· 北京科技大学学报 1998年第1期 Y的子空间； (b)v0y,)关于y二次Fe'chet可微，te0,小：y,0y,),'ny,y,在Y×[0,刀上连续，y,eY 设vOy)为二次Fre'chet可微的函数，定义： L0y=<,0),y+f0y>+(1/2)rG'0)yy)G0y)2,yeD(40. 记C)为Y上的实值连续函数的全体，满足性质： (a)(y)二次Fre'chet可微；(b)v,y),'n)y连续于YHy,eY. 称ve,如果veCy)且满足： (a)Lvy)≤a0y),yeD(),其中uy)是Y上的某个连续函数； (b)luy)l+I0y)l+ly,y)l+lyn0y)l≤M1+ly川，k>0,p>0,yeY. 称vE。,如果除去y=0的可微性外，v具有C0)中函数的一切性质，且满足： (a)Lv0y)≤uy),yeD(),y+0,uy)是Y上的某个连续函数； (b)lu(y)l lv(y)I lyllv,(v)+ly2v)I s klyl,k>0,p >0,VyE Y.y#0. (c)存在具有下列性质的函数族：{(0y):0<e≤e},0y)满足(a)且 |uy)l+y)川+ly)川+0y)l≤k1+y,k>0,p>0且w,,,当e→0时分别收 敛于u,v,y,v VyEYy+0. 下面引进文献[2]中关于方程(1)的适度解的2条重要引理 引理1设0y,0eC2(y)且 (1)lv,)l+lvv,)+vvIsk(1+ly),k>0.p 0,VE[O,T].yEY. ②（分+00，）≤0..)e(0,u是Y×0,刀上某个连续函数， u0y,)l≤M1+y,k>0,p>0.则 Uyw小)-0%0)≤J0ryw小)d+。<0(r%》G0rdw)>. (2) 特别若0y,)=0,则0(t5》为上鞅. 引理2若0y)e,或当f(0)=0,G(0)=0时有0y)e'o:则(2)式成立，即 0w》-0,≤J,a0Wd+J。<v0ryw小.G0yd>. 特别若4y)=0,则v0(ty)为上鞅. 2适度解的正则性、不可达性和常返性 为了探讨方程(1)的随机渐近稳定性的判据，首先对于该方程适度解的正则性、不可达性 和常返性给出如下定义和充分条件， 假定方程(I)中的f,G满足局部Lipshtz条件，即HN,3正数c1Nc2w使得当y川<N,lz< N,y,zEY时，有f0y-f(a≤cNy-z,lGy)-G(a)川≤c2y-z, 且0≤s<T<0,yeY(q),其中Y(q)为L,(Q,F,P,的子空间，由F可测的随机变量构 成.由文献[1]可知方程(1)存在唯一适度解，且由T的任意性，不难将此解延拓到[0，+01. 定义2（正则性）称过程)是正则的，如果P(x=∞)=1，其中x为（④的生存时间， limt,lim inft 0;ly(yo)>n.北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 的子 空 间 心 ， 关于 二 次 ’ 可微 ， ， 刀 帐妙 ， ， 、 妙 ， ， 在 ， 刀上 连续 ， 设 妙 为二 次 ， 可微 的 函数 ， 定 义 巧切 ， 伽 ’ 妙 ， 妙 ， 夕 记 伽 为 上 的实值连续 函数 的全体 ， 满足性 质 妙 二 次 ’ 可 微 妙 ， 场妙妙 连续于 夕，〔 称 ，‘ ， 如 果 ‘ 妙 且 满 足 司 伽 ‘ 伽 ， ‘ 刀 乃 ， 其 中 伽 是 上 的某 个连 续 函 数 妙 称妙 妙 ， ， ， ‘ 称 气 ， 如果 除去 二 的可微性外 ， 具有 口妙 中函数 的一 切性 质 ， 且 满足 伽 伽 ， ‘ 侧 ， 羊 ， “ 切 是 上 的某 个 连续 函数 伽 夕 伽 少 ’ 与伽 ‘ 川 ， ，尸 ， 夕‘ 夕 羊 存 在具有 下列 性质 的 函数族 勺 。 二 ￡。 ， 讨妙 满足 且 ‘ 伽 ‘ 妙 可妙 心妙 ‘ 夕 ， ， 尸 且 ‘ ， ‘ ， 可 ， 心当￡一 时分别 收 敛于 “ ， ， ， 场 ， 羊 下 面 引进文 献汇 中关于 方程 的适度解 的 条重要 引理 引理 设 妙 ， ‘ ” 且 川 伽 ， 妙 ， 、 妙 ， ‘ 夕 ， ， 尸 ， 〔 ， ， 夕 嚎 。 。 ， 。 、 。 ， 。 ， 。 ， · 是 ， 。 上某 个 连续 函数 ， ， ‘ 夕 ” ， ， 夕 则 · 。 ， ，。 ， 。 一。 。 ， 二 丁 · 。 一 ，。 ， 犷 · 、 。 一 ，。 ， 。 ， ‘ 特别若 伽 ， ， 则 妙 为上 鞍 引理 若 砂 〔 ， 或 当 ， 时有 妙 则 式成 立 ， 即 · 。 ，。 卜 · 。 。 、 · 。 一 ，。 犷 丁 ·、 。 一 ，。 ， 。 一 。 · 特别 若 妙 ， 则 伽 夕。 为上鞍 适度解的正则性 不可达性和常返性 为 了探讨方程 的 随机渐 近稳定性 的判 据 ， 首 先 对于 该方 程 适度 解 的正则性 、 不 可 达性 和 常返性 给 出如 下 定 义 和 充分条件 假定 方程 中的 ， 满足局部 条件 ， 即 ， 日正 数 。 ， ‘ 丫 使得 当 川 ， ， 少 ， ‘ 时 ， 有 匕妙 一 ‘ ， 夕 一 ， 妙 一 、 夕 一 卜 且 ‘ 了 的 ，夕。 玖的 ， 其 中 玖的为 乓 。 ， ， 尸 ， 的子 空 间 ， 由 汽 一 可测 的随机变量 构 成 由文 献【 可 知方 程 存在 唯一适度解 ， 且 由 的任 意性 ， 不 难将此解 延拓到 ， 的 定义 正 则性 称过程 只 是 正 则 的 ， 如果 代 田 二 ， 其 中 为 只 的生存时间 ， 即 一 。 一 ， ， ，