Vol.20 No.1 张志刚：Hilbert空间上一类半线性随机发展方程的稳定性 95 定理1设存在非负函数vEC,26y)满足引理1的条件(1)，且： (1)L*v≤cv,其中L°≡(O/0)+L,c>0,ye(A); (2)br)=infv0,)→oo,(r一0)，则方程(1)的适度解yy,)是正则的. 证：令u0y,)=v0y,e“,则L')=c“"Lv0y,)-ce-"w,)≤0. 由0y,)∈C2y)知4，)∈C6y),显然，)满足上述引理1的条件. 于是Eu0ty)≤u0y。,0),Evyo,)≤v0yo,0)e“=v0yo,0)e, 令t()=tnAt,则由上式可得 v0yo0)c0之EUc.0:y)r()之v0r.(0:yr()Pdw）)= t.< 0ciy,t)Pd)≥，inf0,)Pz,<. l川≥n.1>0 . 显然v0yo,0)e≥v心y,0)e0,故由条件(2)得 e“v0yo0)e“y0) Prn<)≤- inf v(y,t) bn)） y川2n.1>0 令n+o,则b()→o因此1>0，Px<)=0;由t的任意性知Pc=o)=I,故(ty)是正 则的 定义3（不可达）设xu=inf{t≥0；by(ty,川eU}为过程y(y,)关于集UeB)的首达时， 其中B()为Y上的Borel a-域称闭集U对于过程(o)是不可达的，如果Pru<oo)=0. 定理2设方程(1)中算子A有界，则闭集{y=0}对于方程(1)的适度解(：y。)是不可 达的 证令0)=y川，则=y川-，y,y=ply川P-21+p0-2)byP-yy,其中I为单 位阵，运算“。”的意义为：廿gg∈Ygg1定义为(gg)h=gg1,h),heY 由于方程(1)中的f,G满足：f0)=G0)=0且Vy川≤c,yl,lGy)川≤c,ylCc2>0, 并由算子A的有界性可知〈纱，y》≤cy,c为某个正常数. 由tr0=1,<o0,,i=0.1,2…为协方差阵Q的特征值)知t2<c故 y,少y+f0)》≤c,ly,trG0y)2Gy)≤c,lG0y)2≤cc,ly.从而 Lv(v)=plyl-2y,Av+f(v))+(1/2)trG(v)QG'(v)(p(lyl+p(p-2)lyle-yoy)s klyl= kav0y),(k>0). 令t。=inft<0;b(tyl=e.()=t,At,则由引理2知 Bw》≤W+ka0te0Wt 应用Gronwall-Bellman不等式可得，EUyc,(),y)≤0oe,即Ec.(:yo)P≤l。'e, 令p=-1,得张志 刚 托 空 间上 一类半线性 随机发展方程 的稳定性 定理 设存在非 负函 数 ‘ 《 ” 妙 满足 引理 的条件 ， 且 乙 ’ ‘ 。 ， 其 中 乙 ’ 三 乙 沙〔 “ 一悠 伽 ” 的 ， 的 ，则方程 ’ 的适度解 ， 是 正 则 的 · 证 令 “ 伽 ， 二 伽 ， 一 ‘ ，， 则 ’ “ 砂 ， 一 ‘ 伽 ， 一 。 一 ‘ 砂 ， ‘ 由 臼 ， ‘ ” 伽 知 伽 ， ‘ ” 伽 ， 显然 。 伽 ， 满足 上 述 引理 的条件 于是 伽 ， ‘ 饥 ， ， 妙协夕。 ， ‘ 伽 。 ， “ 伽 。 ， “ ， 令 ， ， 则 由上式可得 ·饥 ， 。 ，一 ‘。 一 。 仓 · ‘” 一， ， 二‘”，· 工 ，，· 。 ‘二‘” 一， ， 二‘”，代、 ， · 。 。 ，。 ， 。 。 、 二 · 。 ， 。 。 。 显然 妙 。 ， “ 之 妙 。 ， ， 故 由条件 得 代 。 ‘ “ 砂 。 ， “ 伽 。 ， 妙 ， 全 ” ， 令 一 ， 则 一 的 因此 ， 代 由 的任意性 知 代 的 ， 故 只。 是 正 则 的 定义 不可 达 设 。 一 ， 。 必为过 程 式。 关于 集 厌 ” 的首 达 时 ， 其 中 力为 上 的 子域 称 闭集 对于 过程 只。 是 不 可 达 的 ， 如果 价 。 的 定理 设方程 中算子 有界 ， 则 闭集 妙 对于 方程 的适度解 只。 是 不 可 达 的 一 证 令 妙 尸， 则咋妙 二 川 ” 一 莎 ， 肠妙 川川 ’ 一 ’ 印 一 回 ’ 一 加 ， 其 中 为单 位 阵 ， 运算 “ ” 的意义为 ， 定义 为 。 。 一 。 ， 。 ， 由于方程 中娜 ， 满足 且 匕妙 ‘ ， 夕 ， 妙 ‘ 少 ， ， ， 并 由算 子 的有界性 可知 ， 户 。 川 ’ ， 。 为某 个正 常数 由 一 艺 ‘ ， 。 ， ，一 。 ， ， 二 为协方差 阵 的特 征值 知 。 ， 故 ， 今 。 、 ， ’ ， 妙 。 ’ 。 、 。 ’ 二 ’ 从而 白伽 川少 一 ’夺 ， 伽 ‘ 砂 ’ 妙 ， 一 ’，夕勿一 夕 ” 一 场 。 ， 、 灸夕 ’ 肋 ， 令 。 一 此‘ ， ‘ 凡 一 ￡ ， 。 。 ‘ ， 则 由引理 知 。 ·。 。 ，，。 、 · 。 。卜 厂 。 ·‘ ， ， ， 应 用 一 不等式可得 ， 伽 。 ， 夕。 ‘ 伽 。 ， 即 夕 。 少。 夕 夕。 夕 ， 令 一 ， 得