·96· 北京科技大学学报 1998年第1期 p(do) pfdw）1 e≥e,0Wl=0:之，W =Pit,< 放有Pk<小☆e争：0得回<小=0再由：的任查往知，闭套=0时对于适度解 t+0 Gy是不可达的. 定义4(U.常返)设U°∈Y为某个有界或无界区域，U=八U°，称过程y)为U°- 常返的，如果它是正则的，且y,∈U有Px,<o}=l. 定理3过程y)是U'常返的，如果：(1)它是正则的：(2)存在非负函数 0,)EC2(y),yeU,满足引理1的条件，且有 L'v0,)≤w,0≤a(0,其中a(6≥0且当noo时，J,a(6ds=B0-o. 证由引理1知 BUe,0:y小r0≤0,0-Eagt=心，0)-g8E,0,其中r,0=,Ah 故有，3(r)≤-Ev心(t.(y,t)+yo0)≤v0yo0), 而∫80p(do)≤ge,0≤t,0).因此Pt,>s"g00,eo, 从而P{x<o}=1,即yGy,是U-常返的. 3随机稳定性定义和判定定理 定义5称方程()的平凡解是： (1)随机渐近稳定的，如果Vε>0， 有>=0,且plim=0}-1: 0+0 y。+0 (2)随机指数稳定的，如果廿e>0,y。∈Y3a>0,Ke)>0,使得t≥0有 Psupls:o)≥ef≤Ke)ly,lea (3)p-稳定的，如果1im,sup、Ely(t yo)P=0: 6-0lys6.120 (4)几乎必然指数稳定的，如果a>0,Y上的正实值随机变量函数K(y),使得y。∈Y(q), t≥0有y(tyo)l≤Kye-a.s. 定理4（随机渐近稳定性定理） 设存在函数vev:(1)0)=0,Vr>0,0<y川<r;(2)L0)≤-cy川>E,yeD(0: ε>0，c.>0:(3)b(r)=infv0y)>0,r>0,则方程(I)的平凡解是随机渐近稳定的.北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 ，。 一 二 二，， ·。 。 。 一 丁 面 少 。 夕。 · ， 丈 。 罐黯 一 省“ ‘ 廿 ’ 故有 川 ， 、 共 ￡ 令。 、 得 尸行 ，，一 再 由 ，的任意性 知 闭集 ， 一 。 对于 适度解 。 冲。 残‘ 是 不 可 达 的 定 义 ’ 一 常返 设 ’ ‘ 为某 个有界 或 无界 区域 ， 二 ’ ， 称过程 只。 为 ’ 常返 的 ， 如果 它是 正则 的 ， 且 。 哺 域 。 ‘ 一 定理 过程 人“ 是 ’ 一 常返 的 ， 如果 它是 正 则 的 存在 非负 函数 心 ， 议 ” ， ， 满足 引理 的条件 ， 且有 乙 ’ 。 ， ” ‘ “ 。 ， ” ‘ 心 。 ， 其 中 之 且 当 二 ” 、 卜 “ 一 ， 一 证 由引理 知 。 · 、 。 。 ， ·，。 、 · 。 。 ， 一 了 “ · 。 一。 ， 一 。 ·，。 ， 其 中· 、 。 一 。 。 ， ， 故有 ， 甲 仄 ‘ 一 “ 少。 ， 仄 妙 。 ， ‘ 妙 。 ， ， 而、 尸 、 ，· 甲‘ ·仄”，一。 。 ， 。 ， ， 因此 “一 ‘ · 从而 的 ， 即 ‘ 是 ’ 一 常返 的 随机稳定性定义和判定定理 定 义 称方程 的平凡解是 随机渐 近稳定 的 ， 如果 。 ， 。 ， 声 ” ， 的 ， 有 叶、 ， ‘ ，。 一 。 州神 ‘ ， 且 一 悠 ， ‘ ，。 一 。 随 机 指 数 稳 定 的 ， 如 果 ， 夕。 日 ， 。 ， 使 得 全 有 四一 ，。 二 · 、 。 · 夕。 一 一 稳定 的 ， 如果 占神 ‘ 驭 二 。 “ 。 ’ 一 ‘ 几 乎必 然 指 数稳 定 的 ， 如果 日 ， 上 的正 实值随机变量 函数 脚 ， 使得 。 ‘ ， 七 有 夕 夕。 ‘ 协 。 一 “ ‘ 定理 随机渐 近稳 定性 定理 设存在 函数 ‘ 。 ， ， ， 伽 ‘ 一 。 ， 夕 “ ，少‘ ， ￡ ， 气 伽 ， ， 则方程 的平凡解 是 随机渐 近稳定 的 少