Vol.20 No.1 张志刚：Hilbert空间上一类半线性随机发展方程的稳定性 ·97· 证令，=w;My引≤CYt,为过程y)关于集u,的首出时 设B={ωt,ω)=0}首先由文献[4]中命题3.6易知方程是随机稳定的，即r>0, mPW川>)=0：从而有mPB)=mP红，=0}=1.由条件2)并利用o公式 。+0 知v0(5y)是上鞅，据正上鞅收敛定理知，limv0y(y,)a.s.存在且有限. 令u,={七≥y川≥e}显然定理3的条件被满足，于是y(y,)关于集{y川<e}是常返的. 由e的任意性知：infly(y,l=0a.s.于B,据定理2知集y=0}是不可达的，于是更有 1 im infly(y,l=0as.于B;再由v的连续性知：e>0,36(e)>0,当lyl<d(e)时， 有v0y》<e而imly,l=0as.于B,故3，一o,使得1 imly(t:yo)l=0:即36(e)>0, 使当n>Me)时有ly<8(e),于是0()<E,即limv((,》=0. 又因1im0(5》as.存在于B;而0)=0，v0y)>00+0)可知imly(sy,l=0a.s.于 B如若不然，则存在，使1iml(ty)l=a>0,则imv(y)=(a>0推出矛盾. 由于，M零测集)c{@:im(=0:故有 Pmwl=0}≥)imm=0 ≥limP(B,)=, y。+0 从而方程(1)的平凡解是随机渐近稳定的 定理5（随机指数稳定性定理）设存在满足下列条件的函数vEv:(I)(O)=0,且对某 c>0和单调增函数a(r(a(0)=0),有a(y）≤vy≤cy小(2)Lv0y≤-av0y),a≥0， yED(A,则方程(1)的平凡解是随机指数稳定的. 证由引理2知，E0(Gyw》-心，)≤。-aE(%》dr:由Gronwal-Bellman不等式可 得，Bv6》≤v0We"≤cle%再由上鞅不等式知，Psup0(sy》≥a(e)}≤ Ev0》/a(e)由于a(·)单调增且a(0)=0,故若y川>e,则a(y)>a(e)>0. 于是有≥d≤≥ao}sE0tW》/ae≤ag,e- 令ae.则有Pgpl1≥d≤e,e-只故方程u)的平凡解是随机指数稳定的. 定理6(p-稳定性定理)设存在函数vE':(I)ky≤0)≤飞ly,k,k≥0： (2)Ly≤0，y∈D(),则方程（①）的平凡解是p-稳定的. 证由引理2知UW》-0≤，〈，0w.G)d),EyW》≤U小 故 Ey)P≤(1k,)Ev0(y)≤(1k)0y)≤(k/k)y,',卜奴 张志 刚 托 空 间上 一类半 线性 随机发展 方程 的稳定性 证 令 知 队 为过程 只。 关于集 的首 出时 设 气 一 协咖 一 司首先 由文献 中命题 易 知方 程是 随机稳定 的 ， 即 ， 黔跳州 ’ 一 ‘ 从而 有黔代助 一 脚 一 的 ’ 一 ‘ · 由条件 ‘ ’并 利 用 ’ 公 式 知 伽协 是 上鞍 ， 据正上鞍收敛定理 知 ， 伽怀 存 在且有 限 令 二 川 二 ￡ 显然 定理 的条件被 满 足 ， 于是 关于集 。 是 常返 的 由￡的任意性知 洲 ‘ 一 ” 于 “ 。 ， 据定理 “ 知集 伽 一 ” 是 不可 达 的 ， 于是 更有 悠 酣 刻 一 ” “ 补再 由 ， 的连 续 ‘ 性知 “ ” ， 日占旧 ， 当 ， 间时 ， 有 ， 。 ‘， 。 ￡而粤 “ 。 一 ” ‘ · 于 耳 。 ， 故 日“ 一 的 ， 使 得恤 “ 。 一 ” ， 即 “ 占 ￡ ” ， 使 当 时有 夕 ‘ 夕。 诊 ， 于是 妙 少。 。 ， 即 伽 夕。 又 因映 ， 。 ‘， 。 几 · 存 在于 代 ‘ 而 ， 一 ， ” 。 。 ‘ “ 可 知 塑 ‘， 。 一 ” · · 于 乓如若不然 ， 则存在 “ ， 使鳃 ，助 一 “ ” ， 则恤 以 一 ” 推 出矛盾 · 由于 气 零测集 臼 浊 夕。 一 。 ， 故有 。兜，， ，。 ，一 · 。 助 ， 黔 悠，， ，。 ，一 全 代 户 ， 夕。 伟 从而方程 的平凡解是 随机渐近稳定 的 定 理 随机指 数稳定性 定理 设存在 满足 下 列 条 件 的 函 数 ， ， 且 对某 。 和 单 调 增 函 数 恤 ， 有 ‘ ，妙 ‘ 。 白妙 ‘ 一 。 伽 ， 。 之 。 ， 厂班刃 ， 则方程 的平凡解是 随机指数稳定 的 证 由引理 知 ， 。 。 ，。 卜 · 。 。 丁一 。 一 ，。 由 一 】卜 · 二 不 等式可 得 ， 。 ‘ · 。 。 一 二 · ，。 一 再 由 上 鞍 不 等 式 知 ， · 。 一 。 二 · 二 以 间 由于 · 单调 增且 二 ， 故 若 回 。 ， 则 川 住 于 是 有 可 川， ， 、一 ￡飞 、 讨 一 、 ， 、一二 ￡、冬 二 。 ‘ 。， ， 、、 。 。 、 、 一二 一 。 、 ， ， 一 ’ 一 一 口 令牛 一 从￡ ， 则 有 可 沙 二 。 冬 从￡ 。 。 一 ， 故方 程 的平凡解 是 随机指 数稳定 的 一 ￡ 、 ’ 一 ‘ 】 ， ’ ’ 」 、 ， 一 。 · 、 ， ， · ， 一 ， 一 定 理 伽 一 稳定性 定理 设存在 函数吃 回 尹 ‘ 妙 ‘ 叼川 尹， ，， 气之 伽 ‘ ， ‘ 沟 ， 则 方程 的平凡解是 一 稳定 的 故 证 由引理 知 · 。 才 夕。 一。 ‘ 夕 夕。 尸 ‘ 庆 ， 夕。 ‘ 帐。 ，。 ， 妙 面 ， 肠 ，。 ‘ 伽 。 ， 砂 。 气 少。 尸