第一节向量及其线性运算 一、空间直角坐标系 二、向量概念 三、向量的线性运算 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 第二节数量积向量积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 第三节曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、常见曲面方程 三、二次曲面 第四节空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第五节平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 第六节直线及其方程 一、直线的一般方程 二、直线的对称式方程 三、线面间的位置关系

第一节 向量及其线性运算 一、向量概念 二、向量的线性运算 四、利用坐标作向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 第二节 数量积 向量积 第三节 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 第四节 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第五节 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 第六节 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、平面束

第六章6-2欧氏空间中特殊的线性变换(续) 命题正交矩阵的特征多项式的根的绝对值等于1 证明设入∈C是正交矩阵A的特征多项式的根,则≠0.齐次线性方程组(e-a)X=0 在C内有非零解向量 ( a:a 显然Aa=a=a'a'=a'a'a==a'aa=aa=aa=1从而 入|=1 推论正交矩阵的特征值只能是±1 命题设A是n维欧氏空间V上的正交变换,若A的特征多项式有一个根=e

4.2.2子空间的交与和,生成元集 定义4.13设a1,a2,,a,∈V,则{ka1+k2a2++ka,k∈K,i=12}是V的 一个子空间,称为由a1,a2,,a,生成的子空间,记为(aa2,,a)易见,生成的子 空间的维数等于a1,a2,…,a的秩。 定义4.14子空间的交与和 设V1,V2为线性空间VK的子空间,定义 vnv2={ VEV2},称为子空间的交 V1+V2={v+v2v∈V1,v2∈V2},称为子空间的和。 命题4.9VNV2和V1+V2都是V的子空间

第一学期第二十八次课 命题如果n维空间V上的线性变换A的矩阵相似于对角矩阵,则A在任一不变子空 间M上(的限制)的矩阵相似于对角矩阵。 证明若V上的线性变换A的矩阵相似于对角矩阵,则V可以分解为特征子空间的直 和。记A的所有特征值为,2,2,则V=V4V,取M=nV, 断言M=M1M2⊕M,首先要证明M=M1+M2+…M “2”显然:“”a∈M,则存在a1∈V,使a=a1+a2+…+a,两边 同时用A(j=1,2,…,t-1)作用,得到表达式

《小学教育研究方法》 《学校组织与管理》 《教育人类学》 《小学跨学科教育》 《初等教育学》 《儿童需要与表达》 《仪式教育》 《儿童组织与思想意识教育导论》 《小学教师专业发展》 《课程与教学研究》 《初等教育国际视野》 《教育评价》 《教育戏剧与小学教育》 《德育原理》 《教育文献阅读与写作》 《中国特色社会主义法治思想》 《特殊教育理论与实务》 《国学经典教育实践》 《心理辅导理论》 《教育心理学》 《小学心理辅导实务》 《个别差异与教育》 《儿童发展》 《教育心理学新进展》 《社会心理学》 《情感沟通与调节》 《现代汉语》 《古代汉语》 《中国古代文学》 《修辞学与小学语文文本解读》 《小学古诗鉴赏与教学》 《朗诵艺术》 《教师语言》 《儿童文学概论》 《影视文学》 《外国文学》 《中国现当代文学》 《蒙学选读与文化常识》 《多层次多文本阅读及教学》 《小学语文教学设计与实施 (2)》 《文本解读与文学鉴赏(2)》 《小学语文课程标准与教材分析》 《汉字学与识字教学》 《小学语文教材中的植物》 《形式逻辑与论文写作》 《小学语文教材中的传统文化》 《高等代数》 《小学生数学学习心理研究》 《小学数学教学案例研究》 《小学数学竞赛指导》 《小学数学课程标准与教材分析》 《数学分析》 《高等数学》 《文献阅读与论文写作》 《翻译》 《语言与交流》 《英语国家概况》 《小学英语教学设计与实施》 《基础英语》 《高级英语》 《英语听说》 《英语歌曲与表演》 《语言学及应用语言学》 《小学英语游戏》 《英语语音》 《英语语法》 《综合英语》 《学术英语》 《英语听力》 《现代教育技术应用》 《信息化教学资源设计与制作》 《C 语言程序设计》 《机器人教育》 《Python 编程基础》 《教育专题摄影》 《摄像与非线性编辑》 《小学生编程教学研究》 《信息技术课程标准与教材分析》 《科学方法论》 《儿童生理与卫生学基础》 《小学科学教学设计与实施》 《科学实验研究 2（生物、化学）》 《人文地理》 《综合实践活动教育实践研究》 《小学科学课程与教学》 《小学科学实验研究》 《综合实践活动与劳动教育》 《研学旅行课程研究》 《钢琴》 《声乐》 《舞蹈》 《小学音乐教学研究》 《器乐》 《钢琴兼教》 《视唱练耳》 《古筝》 《儿童美感陶养》 《舞台实践》 《小学音乐教学设计

第五章5-3实与复二次型的分类 1.复、实二次型的规范形 定理复数域上的任一二次型f在可逆变数替换下都可化为规范形 zi+…+z, 其中r是f的秩.复二次型的规范形是唯一的. 证明复数域C上给定二次型) f=, x,x, ( =ai 设它在可逆线性变数替换X=TZ下变为标准型 d1z2+d2z2+…an 这相当于在C上n维线性空间V内做一个基变换 (n2n)=(1,2EnT 使对称双线性函数f(a,B)在新基下的矩阵成对角形

5.1.3线性空间上的对称双线性函数、二次型函数的定义 定义若f为V上的双线性函数且f(a,B)=f(B,a),则称f为V上的对称双线性 函数。 命题f为对称双线性函数,当且仅当f在任意一组基下的矩阵为对称矩阵,当且仅 当f在某一组基下的矩阵为对称矩阵。 证明任取V的一组基1,2,…,n,任取a,B∈V,设它们在此组基下的坐标所构成 的列向量分别为X和Y,f在此组基下的矩阵记为A,若f为对称双线性函数,则由定

第二章2矩阵的秩 2.1.1矩阵的行秩与列秩、矩阵的转置 定义2.1矩阵的行秩与列秩。 一个矩阵A的行向量组的秩成为A的行秩它的列向量组的秩称为A的列秩。 命题2.1矩阵的行(列)初等变换不改变行(列)秩 证明只需证明行变换不该行秩。容易证明经过任意一种初等行变换,得到的行向 量组与原来的向量组线性等价,所以命题成立。证毕。 定义2.2矩阵的转置 把矩阵A的行与列互换之后,得到的矩阵A称为矩阵A的转置矩阵 命题2.2矩阵的行(列)初等变换不改变列(行)秩