12.5全微分方程 如果P(x,y)dx+(x,y)dy恰好是某一个 函数u=u(x,y)的全微分: 那么方程P(x,y)dx+(x,y)dy=0就叫做全微 分方程

12.8二阶常系数齐次线性微分方程 方程y\+py'+qy=0称为二阶常系数齐 次线性微分方程,其中p、q均为常数 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分 方程的两个线性无关解,那么y=C1y1+C2y2 就是它的通解

已知y=x+a2x2+a3x3+ax4+…, y=2a2x+3.2a3x+4.3ax2++n(n-1)anxn-2+ 把y及y\代入方程y\-xy=0,得 2a2+3.2a3x+4.3ax2++n(n-1)axn-2+ -x(x+a2x2+a3x3+ax4++axn+…)=0, 即2a,+3.2a2x+(43a4-1)x2+(5.4a-a)x3+ (65a6-a3)x++(n+2)(n+1)an+2an-n+=0

如果函数u=u(x)及v=v(x)在点x具有导数,那么它们的积在 点x也具有导数,并且 [u(x).(x) ]'=u(x)(x)+u(x)(x). 证明由导数的定义

如果函数u=u(x)及v=v(x)在点x具有导数,那么它们的积在 点x也具有导数,并且

定理 如果函数f(x)在区间上的导数恒为零,那么f(x)在区 间上是一个常数 证明在区间上任取两点x1,x2(x1x2),应用拉格朗日 中值定理,就得

3.2洛必达法则 未定式 在函数商的极限中,如果分子和分母同是无穷小或同是无穷大,那么极限可能存在,也可能不存在,这种极限称为未定式,记为或

设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数.若在(a,b) 内f(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;

性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值,则证明因为m≤f(x)≤M,所以

6.1定积分的元素法 设y=(x)≥0(x∈[a,b])在几何上,积分上限函数 A(x)=f(t)dt 表示以[a,x]为底的曲边梯形的面积.yy=x) 微分dA(x)=f(x)dx表示点x处以 dx为宽的小曲边梯形面积的近似值