一、n维向量 1、定义n个数a1,a2,…,an组成的有序数组a=(a1a2…an)称为一个n维向量,其中a称为第i个分量(坐标).n维向量写成一行称为行向量,记作a,Bn维向量写成一列称为列向量,记作a,B

目的:对于实对称矩阵A(A=A),求正交矩阵Q(QQ=E), 使得QAQ=A.此时,称A正交相似于对角矩阵A

一、相似矩阵与相似变换的概念 定义1设A,B都是n阶矩阵若有可逆矩阵P,使 P-AP= B, 则称B是A的相似矩阵或说矩阵A与B相似对A进 行运算P-1AP称为对A进行相似变换可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵

定义:对于A,若有B满足AB=BA=E,则称A为可逆矩阵, 且B为A的逆矩阵,记作A-1=B 定理1若A为可逆矩阵,则A的逆矩阵唯一 证设B与C都是A的逆矩阵,则有

一、判断题 1两共线矢量a与b的矢性积的模等于以与b为边所构成的 平行四边形的面积() 2两矢量a与b共线的充要条件是axb=0() 3矢量a{X1,F,Z}与b{X2,H2,Z2}相互垂直的充要条件是 x1X2+YY2+2122=0() 4两矢量a与b相互垂直的充要条件是a·b=0() 5矢性积是反交换的,即a×b=-(b×a)()

目的:对于实对称矩阵A(A=A),求正交矩阵Q(QQ=E), 使得QAQ=A.此时,称A正交相似于对角矩阵A 1.实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 定理6a=A→∈R. 证设Ax=x(x≠0),x=(51,52,5n),则有 x=5+2++n>0

（I）选择题： 数学一（5），数学二(7)，数学三（5），数 学四（5） 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若 3 A = 0，则（ ） (A) E − A不可逆，E + A不可逆. (B) E − A不可逆，E + A可逆. (C) E − A可逆，E + A可逆. (D) E − A可逆，E + A不可逆

5.3实对称矩阵的相似矩阵 目的:对于实对称矩阵A(A=A),求正交矩阵Q(QQ=E), 使得QAQ=A.此时,称A正交相似于对角矩阵A 1.实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 定理6a=A→∈R. 证设Ax=x(x≠0),x=(51,52,5n),则有

定理1(1)若矩阵A经过有限次初等行变 换变成B,则A的行向量组与B的行向量组等价; 而A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量 有相同的线性相关性。 (2)若矩阵A经过有限次初等列变换变 成B,则A的列向量组与B的列向量组等价;而 A的任意k个行向量与B中对应的k个行向量有 相同的线性相关性

第六章二次型 变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式 f(x1,x2,,xn)=a1x2+2a12x1x2+2a13x1x3+…+2anx1xn +a22x2+2a23x2x3+…+2a2nx2xn +amx 称为n元二次型,简称为二次型 a∈R:称f(x1,x2,…,xn)为实二次型(本章只讨论实二次型) a∈C:称f(x1,x2,…,xn)为复二次型 6.1二次型的矩阵表示 1.矩阵表示:令an=a(>i),则有