线性代数 第六章第6章线性空间与线性变换86.1线性空间的定义与性质s6.2基、坐标及其变换$6.3线性变换及其矩阵
线性代数 第六章 第6章 线性空间与线性变换 §6.2 基、坐标及其变换 §6.1 线性空间的定义与性质 §6.3 线性变换及其矩阵
线性代数 第六章86.1线性空间的定义与性质一、线性空间的定义线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广。线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题
线性代数 第六章 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是 一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是 某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题 看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题． 一、线性空间的定义 §6.1 线性空间的定义与性质
线性代数 第六章定义1设V是一个非空集合，R为实数域．如果对于任意两个元素α,βEV，总有唯一的一个元素EV与之对应，称为α与β的和，记作：=α+β若对于任一数ER与任一元素αEV总有唯一的一个元素SeV与之对应，称为与α的积，记作：S=2α
线性代数 第六章 = + 若对于任一数 与任一元素 ，总有唯 一的一个元素 与之对应，称为 与 的积， 记作: R V V = 定义１ 设 是一个非空集合， 为实数域．如果 对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元 素 与之对应，称为 与 的和，记作: , V V V R
线性代数 第六章如果上述两种运算满足以下八条运算规律，那么V就称为数域R上的向量空间（或线性空间），设α,β,yeV;a,ueR(1)α+β=β+α;(2)(α+β)+=α+(β+);(3)在V中存在零元素0,对任何αEV,都有α+0=α;
线性代数 第六章 设, , V;, R 0 ; (3) 0, , + = 在V中存在零元素 对任何 V 都 有 (1) + = +; (2) ( + )+ = + ( + ); 如果上述两种运算满足以下八条运算规律，那 么 V 就称为数域 R 上的向量空间（或线性空间）．
线性代数 第六章(4)对任何αV,都有α的负元素βV,使α+β=0;(5) 1α = α;(6) a(uα)=(aμ)α;(7)(a+μ)α= aα+ ua;(8)(α+β)=α+β
线性代数 第六章 (5) 1 =; (6) () = (); (8)( + ) = + . (7)( + ) = + ; 0; (4) , , + = 对任何 V 都 有的负元素 V 使
线性代数 第六章说明：1.满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算2.判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不构成线性空间
线性代数 第六章 2. 判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条 性质的任一条，则此集合就不构成线性空间． 说明: 1. 满足以上八条规律的加法及数乘运算，称 为线性运算．
线性代数 第六章线性空间的判定方法(1）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性例 1实数域上的全体mxn矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作Rmxn: Amxn + Bmxn =Cmxn E RmxnmxnmxnmxnAmxn = Dmxn E Rmxnx：Rmxn是一个线性空间
线性代数 第六章 , Amn = Dmn , Amn + Bmn = Cmn (1) 一个集合，如果定义的加法和数乘运算 是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运 算的封闭性． 例１ 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ． mn m n R 是一个线性空间. m n R 线性空间的判定方法 𝜖 m n R 𝜖 m n R
线性代数 第六章例2次数不超过n的多项式的全体,记作P[x],即P[x], =(p=anx"+...+ax+aol a.ara.eR),对于通常的多项式加法，数乘多项式的乘法构成向量空间.通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律(anx"+...+aix+ao)+(bnx"+...+bix+bo)=(an + bn)x" +...+(ai + bi)x+(ao + bo)e P[xlna(anx"+...+aix+ao)=(aan)x"+...+(aai)x+(aao) E P[xlP[x],对运算封闭
线性代数 第六章 1 0 1 0 , , { , , , }, , . [ ] [ ] n n n n n n p x R P x P x = = + + + a x a a a a a 次数不超过 的多项式的全体 记作 即 对于通常的多项式加法 数乘多项式的乘法构成向 量空间 例2 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． ( ) ( ) a x a1 x a0 b x b1 x b0 n n n n ++ + + ++ + ( ) ( ) ( ) a b x a1 b1 x a0 b0 n = n + n ++ + + + P[x] n ( ) a x a1 x a0 n n ++ + ( ) ( ) ( ) a x a1 x a0 n = n ++ + P[x] n P[x] 对运算封闭. n
线性代数 第六章例3n次多项式的全体Q[x],=(p=anx"+...+ax+aol an,",ara.ER,且a,±0对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空间.0p=0x"+...+0x+0±Q[xl因为Q[x],对运算不封闭所以
线性代数 第六章 1 0 1 0 { , , , , 0} . [ ] n n n n n n p x R Q x a x a a a a a a = = + + + 次多项式的全体 且 对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空 间 例3 0 p = 0 x + + 0x + 0 n Q[x] n Q[x] 对运算不封闭. n 因为 所以
线性代数 第六章例4正弦函数的集合S[x]= (s = Asin(x + B)A,B e R)对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间.sin(x+B)=cosxsinB+sinxcosB: S, + S, = A, sin(x+ B)+ A, sin(x + B,)=(acosx+b,sinx)+(a,cosx+b,sinx)(a,+a)cosx+(b,+b,)sinx= Asin(x + B) S[x]
线性代数 第六章 例4 正弦函数的集合 Sx = s = Asin(x + B)A,B R. 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间． ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 s + s = A sin x + B + A sin x + B (a cos x b sin x) (a cos x b sin x) = 1 + 1 + 2 + 2 = (a1 + a2 )cos x + (b1 + b2 )sin x = Asin(x + B) S[x]. sin(x+B)=cos x sinB + sin x cosB