第五章留数及其应用$5-1函数的孤立奇点及其分类$5-2留数和留数定理$5-3留数在定积分计算中的应用
第五章 留数及其应用 ◼ §5-1 函数的孤立奇点及其分类 ◼ §5-2 留数和留数定理 ◼ §5-3 留数在定积分计算中的应用
从上一章知，利用将函数(z)在其解析的环域R,<z-zo<R,内展开成Laurent级数的方法,根据该级数的系数的积分表达式f.f(z)dz2.元可以计算右端的积分。这类积分非常广泛其中C是该环域内围绕点z.的正向简单闭曲线。C的内部可能有(z)的有限个或无穷多个奇点。有时将函数展开成Laurent级数，求系数C.很麻烦。这就需要介绍一种求C.的新方法：用留数计算积分的方法
从上一章知，利用将函数f(z)在其解析的环 域R1<|z-z0 |<R2内展开成Laurent级数的方法， 根据该级数的系数的积分表达式 可以计算右端的积分。这类积分非常广泛， 其中C是该环域内围绕点z0的正向简单闭 曲线。C的内部可能有f(z)的有限个或无穷多 个奇点。 − = c f z dz i c ( ) 2 1 1 有时将函数展开成Laurent级数，求系 数C-1很麻烦。这就需要介绍一种求C-1的 新方法：用留数计算积分的方法
S.5-1函数的孤立奇点及其分类函数孤立奇点的概念及其分类二、函数各类孤立奇点的充要条件三、用函数的零点判断极点的类型
§5-1 函数的孤立奇点及其分类 一、函数孤立奇点的概念及其分类 二、函数各类孤立奇点的充要条件 三、用函数的零点判断极点的类型
一、函数孤立奇点的概念及其分类定义如果函数f(z）在z不解析，但f(z）在z的某一去心邻域0<z-zo<内处处解析，则称zo为f(z)的孤立奇点sin7例1 z=0 是函数的孤立奇点7z =-1是函数的孤立奇点z+1注意：孤立奇点一定是奇点，但奇点不一定是孤立奇点
定义 如果函数 0 f (z) 在 z 不解析, 但 f (z) 在 0 z 的某一去心邻域 − 0 0 z z 内处处解析, 则称 0 z 为 f (z) 的孤立奇点. 例1 z = 0 是函数 z z e z sin , 1 的孤立奇点. z = −1 是函数 1 1 z + 的孤立奇点. 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点. 一 、函数孤立奇点的概念及其分类
北例2指出函数f(z）=在点z=0的奇点特性sin2解函数的奇点为1Zo = 0, Zk =(k = ±1,±2,)k元1因为lim= 0,k->0k元即在z=0的不论怎样小的去心邻域内,总有f(z)的奇点存在，所以z=0不是孤立奇点
例2 指出函数 在点 z = 0 z z f z 1 sin ( ) 2 = 的奇点特性. 解 0 1 0 , k z z k = = (k = 1, 2, ) 因为 0， 1 lim = k→ k 即在 z = 0 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为 总有 f (z) 所以 z = 0 不是孤立奇点
讨论函数在孤立奇点的情况设zo为f(z）的孤立奇点，则在去心邻域0<z-z<内，f(z)可以展开成Laurent级数f()f(2)= Z c,(z-z0)", Ch = 22mil (5-2.)mr ds1=-00其中，c为该去心邻域内围绕点zo的任意一条正向简单闭曲线根据c，的不同情况，对孤立奇点分类：若级数中含(z-Zo)的负幂幕项的项数分别为零个，有、极限个，无穷多个，则分别称zo为f(z)的可去奇点、点和本性奇点
讨论函数在孤立奇点的情况 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点，则在去心邻域 0 , z − z0 内 f (z) 可以展开成Laurent级数: 0 ( ) ( ) , n n n f z c z z =− = − + − = C n n z f i c d ( ) ( ) 2π 1 1 0 根据 cn 的不同情况，对孤立奇点分类： 其中，c为该去心邻域内围绕点z0的任意一条 正向简单闭曲线。 若级数中含(z-z0 )的负幂项的项数分别为零个，有 限个，无穷多个，则分别称z0为f(z)的可去奇点、极 点和本性奇点
函数各类孤立奇点的充要条件二E1可去奇点定义如果Laurent级数中不含z一zo的负幂项则称孤立奇点z为f(z）的可去奇点z若是f(z)的孤立奇点，则在 0<-zl<内f(z) = Co +ci(z - zo)+...+c,(z- zo)" +.其和函数F(z)在 zo 处解析
1 可去奇点 如果Laurent级数中不含 的负幂项, 0 z − z 0 则称孤立奇点 z 为 f (z) 的可去奇点. 定义 其和函数F(z)在 0 z 处解析. z0若是f (z)的孤立奇点，则 f (z) = c0 + c1 (z − z0 ) ++ cn (z − z0 ) n + 在 0 z − z0 内 二、函数各类孤立奇点的充要条件
1sinz1观察中不含负幂项7./X5!3!ZsinzZ=0是的可去奇点。Z如果补充定义：sinzz= 0时,:1Zsinz那末在 z= 0 解析7（由于这个原因，因此把这样的奇点叫做f(z）的可去奇点。sin z且有：limz07
如果补充定义: z = 0 时, 1, sin = z z 那末 z sin z 在 z = 0 解析. 观察 = − 2 + 4 − 5! 1 3! 1 1 sin z z z z 中不含负幂项, z = 0 是 z sin z 的可去奇点 . (由于这个原因，因此把这样的奇点叫做f(z)的可去奇点。) 且有： 0 sin lim 1. z z → z =
f(z)=co +c(z-zo)+...+cn(z-z)" +..设f(z)在0<z-zl<R上解析，则 z为f(z)的可去奇点的充要条件为：limf(z)存在且有限。Z→Zo由定义判断:如果 f(z)在z。的 Laurent 级数无负幂项，则z为f(z）的可去奇点.2由极限判断：若极限 lim f(z)存在且为有限值3→Z则z.为f(z)的可去奇点。史有界判断：若于在的某去心邻域内有界，如可，2
由定义判断: 如果 f (z) 在 z0 的 Laurent 级数无负 幂项, 由极限判断： lim ( ) 0 f z z→z 若极限 存在且为有限值, 则 0 z 为 f (z)的可去奇点. 设 f (z)在 0 z − z0 R上解析， 则 0 z 为 f (z) 的可去奇点的充要条件为： 0 lim ( ) z z f z → 存在且有限。 0 则 z 为 f (z) 的可去奇点. f (z) = c0 + c1 (z − z0 ) ++ cn (z − z0 ) n +
证明：0日=自0() fu2)= cn@-)" = Ca + e,@-+cla-)+.N=D→f)= C。 (有限)(2)日 f)=b (有限),则由 -s 培言,3 8>,S,1- 有Hiz) - b / -E因之 =1,[i] -
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