本章将利用 Lebesgue积分的理论证明对一类更一般的函数成立相应的结果本章所讨论的 函数都是定义在区间上的实值函数(不取±∞为值).凡本章所涉及到的可测性,测度和几乎 处处等概念都是关于 Lebesgue测度空间(R,m(r),m)而言的

设给定一个测度空间(X,,),C是可积函数类L(u)的一个子类.若对任意可积 函数f∈L(u)和>0,存在一个g∈C,使得f-gd<,则称可积函数可以用C 中的函数逼近

在引言中我们已经提到, Riemann积分在处理连续函数或者逐段连续函数时,在计算 些几何和物理的量时它是很有用的.但它也存在一些缺陷,使得 Riemann积分在处理分析数 学中的一些问题时显得不够有力.因此需要建立新的积分的理论二十世纪初, Lebesgue建 立了一种新的积分理论.新的积分理论消除了上述缺陷,并且包含了原有的 Riemann积分理 论.这就是本章将要介绍的 Lebesgue积分理论 由于现代数学的许多分支如概率论,泛函分析,群上调和分析等越来越多的用到一般 空间上的测度与积分理论,因此我们将在一般的测度空间上介绍积分理论

可测函数列可以定义各种收敛性.本节讨论几乎处处收敛, 依测度收敛和几乎一致收敛.几种收敛性之间存在一些蕴涵关系通过本节 的学习,可以使学生对可测函数列的几种收敛性和相互关系有一个较全面的了解

本节利用2.2中一般测度的构造方法,构造一个重要的测度, 即欧氏空间R上的Lebesgue测度 Lebesgue测度的建立,为定义 Lebesgue积 分打下基础

们知道 Riemann积分的几何意义是曲边梯形的面积.为在欧氏空间空间R上推广 Riemann积分的理论,我们必须把象长度,面积和体积等概念推广到R”中的更一般的集上 去本章将要定义的R”上的 Lebesgue测度就是长度,面积和体积等概念推广

本课程是为数学系本科高年级学生开设的.本课程讲述一般空间上的测度论的基础知 识和欧氏空间R”上的 Lebesgue测度与积分理论. 现代数学的许多分支如概率论,泛函分析,群上调和分析等越来越多的用到一般空间 上的测度理论.对数学专业的学生而言,掌握一般空间上的测度论的基础知识,已经变得越 来越重要.因此本课程将一般空间上的测度论和R上的Lebesgue积分结合起来讲述,交叉 进行.一般是每章先介绍一般空间上的概念与定理,然后将R”上的Lebesgue测度与积分作 为特例,加以重点介绍

开篇案例: 案例一:1997年1月,我国江苏省某五金化工进出口公司(以下简 称“五金化公司”)与日本某综合商社(以下简称“综合商社” )在北京订了进口日本某产品3000公吨的合同,每公吨CF连云 港2000美元,1997年10月交货。1997年6月,因生产计划变化, 五金化公司拟减少进口数量,遂与综合商社在北京的全权代理 人协商,达成口头协议,将原合同进口数量减少至2000公吨, 其他合同条款不变。综合商社在北京的全权代理人未将合同修 改情况及时通知综合商社,1997年10月,综合商社按原合同规 定的数量发货,向五金化公司提供3000公吨的货物。五金化公 司发现供货量与修改的口头协议不符,于是对多出部分的1000 公吨货物拒收,因此发生纠纷。综合商社以五金化公司违反合 同为由向中国江苏省高级人民法院起诉,请求法院判决五金化 公司继续履行合同并赔偿损失

.4极限存在准则与两个重要极限 本节先介绍极限存在准则利用它们来导出两个重要极限. 一、极限存在准则 准则I(夹逼定理)若Vx∈U(x,)(或|x>M),均有g(x)≤f(x)≤h(x)且limg(x)=limh(x)=A,则有limf(x)=A

4.4函数的极值与最值 设函数y=f(x)在(a,b)内图形如下图:在处的函数值f(5)比它附近各点的函数值都要小;而在52处的函数值f(52)比它附近各点的函数值都要大;但它们又不是整个定义区间上的最小、最大者,而且f()>f(2)将这样的点称为极小值点、极大值点