2014一2015学年第一学期《高等数学AIII》答案2015年1月14日一、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)1．元：2．4元.3．-1。4。0：5．×x二、选择题(共5小题，每小题3分，共15分)1.（A）。2.（B）。3.（D ）。4.（℃）。5.（C）。三、计算题(共4小题，每小题9分，共36分)1.计算[,xrdy-3ydx，其中L是抛物线y=x*上从点A(1,1)到B(-1,1)对应的一段曲线。AB:Jxsx:1-→-1 J x'dy-3ydx =['xdx? -3x'dx =['(3x--3x)dx=2V=x22. 判别级数lnn的敏散性,in!"lnn=0<1或limL=0<limm3.求微分方程y-2/=的通解y'=xu+u代入方程化简得 xu=2ud解得 =u=(n+c)4. 将面数()=cos° x展为x的幕级数,并求之(一12)的和。(+82)=+(1f(x)= cos° xXER（2n)！222Z(-1)2cos?11(2n)!四、计算题（共4小题，第1、2、3题各9分，4题7分，共34分)1.求常微分方程y"-8y=24xe”的通解。解： r-8=(r-2)(r +2r+4)=0, =2,r2, =-1±V3iY=Ce*+C,e cos 3x+C,e- sin 3x设y=x(ax+b)e2*代入方程化简得(24ax+12a+12b)e2=24xe2x解得 a=l, b=-1， 则 y=-(r-x)e2xy=Y+ y ==C,e2* +C,e* cos V3x+C,e-* sin V3x+(x?-x)e2xPage 1 of 2
2014—2015 学年第一学期《高等数学 AIII》答案 2015 年 1 月 14 日 一、填空题(共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)1． π ．2． 4π .3． −1 。4． 0 G . 5． 2 x 。 二、选择题(共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)1．（ A ）。2．（ B ）。3．（ D ）。4．（ C ）。5．（ C ）。 三、计算题(共 4 小题，每小题 9 分，共 36 分) 1．计算 2 d 3d L x y y − ∫ x ，其中 L 是抛物线 上从点 到 对应的一段曲线。 2 y x = A(1,1) B( 1,1) − p 2 : x x AB y x ⎧ = ⎨ ⎩ = x :1 1 → − 2 d 3d L x y y x 1 22 2 1 − 3 d ∫ x dx x x − = − ∫ 1 3 2 1 (3 3 )d 2 x xx − = − ∫ = 2．判别级数 1 2 ln ! n n n n ∞ = ∑ 的敛散性. 2 ln lim 0 1 ! n n x n →∞ n = < ，或 1 lim 0 1 n x n a a + →∞ = < 3．求微分方程 ' 2 y y y x x − = 的通解。 ' ' y u y xu u x = =+ 代入方程化简得 2 du x u dx = 解得 ( 2 ln y u xC) x == + 4．将函数 2 f ( ) cos x = x 展为 x 的幂级数,并求 ( ) 0 ( ) 4 1 2 ! n n n n ∞ = ∑ − 的和。 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 11 2 ( ) cos 1 cos 2 1 2 22 2 ! n n n x fx x x n ∞ = = = + =+ − ∑ x ∈ R ( ) ( ) 2 0 4 1 2cos 2 ! n n n n ∞ = ∑ − = 1 1 − 四、计算题(共 4 小题，第 1、2、3 题各 9 分， 4 题 7 分，共 34 分) 1．求常微分方程 2 8 24 x y y xe ′′′− = 的通解。 解： ( )( ) 3 2 1 2,3 r r rr r r − = − + + = = =− ± 8 2 2 4 0, 2, 1 3i 2 1 2 3 cos 3 sin 3 x x x Y Ce Ce x Ce x − − =+ + 设 ( ) 代入方程化简得 ( ， * x y x ax b e = + 2 ) 2 2 24 12 12 24 x x ax a b e xe ++ = 解得 a b = =− 1, 1 ， 则 ( ) * 2 2x y x xe = − ( ) * 2 2 1 2 3 cos 3 sin 3 x x x 2 y Y y Ce Ce x Ce x x x e − − = + == + + + − x Page 1 of 2
2.计算I=,dxxdy-2dz，其中r是平面y+z2与柱面x2+y=1的交线，从=轴的正向向负向看r取顺时针方向。dydz ddx drdy设:y+z=2.x*+1，取上侧dx-xdy-2dz=ay22[(+2y)dxdy= J[ (1+2y)dxdy= J[ Idxdy+J[ 2ydxdy=元-P =元3.计算1=3xydx+(+x-2y)dy，其中L是第一象限从点0(0,0)沿圆周x2+=2x到点A(2,0)，再沿圆周×+=4到点B(0.2)的曲线弧。+=[+x-2){),+J-2= J 1dg+J"-2yby=号-4cos(c, )4. 计算1=fas，其中M(x,J,=)为简单封闭光滑闭曲面≥上一点，M。(Jo.=）为曲面的国内点，=M.M，为上点M(x,J,=)处的外法向量。c)o)=r(x-x)dydz+(y-y0)dzdx+(z-z)dxdyF川P_-3(x-) 2_-3(-) oR_-3(2-0) Oxay0FFF5(x-)bd+(y0)ddx+(-)dd)#++H(x-)bd+()d+(=0)dy=4Page 2 of 2
2．计算 2 2 I y x xy z z dd d Γ = −− v∫ ，其中 是平面 与柱面 的交线，从 z 轴的正向向负向看 取顺 时针方向． Γ y z + = 2 2 2 x y + =1 Γ 设 ，取上侧 2 2 Σ += + ≤ : 2. yz x y 1 2 2 2 2 dd dd dd dd d r y z zx xy y x xy z z x y z y x z Σ ∂∂∂ − − =− ∂∂∂ − − v∫ ∫∫ 2 (1 2 )d d (1 2 )d d 1d d 2 d d π 1 π . D DD xy xy xy y xy y xy xy yxy Σ = + = + = + =⋅ = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 3．计算 ( ) 2 3 3 L I = + +− x ydx x x y dy 2 ∫ ，其中 L 是第一象限从点 沿圆周 O(0,0) 2 2 x + = y x2 到点 A(2,0)，再 沿圆周 到点 2 2 x y + = 4 B(0, 2)的曲线弧。 ( )( ) 2 3 2 0 2 3 2 x y L BO OB D I x x y x y dxdy yd ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ′ ′ = + = +− − + − ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∪ v y 2 0 1 2 2 D dxdy ydy π = +− = ∫∫ ∫ −4 4．计算 ( ) 2 cos ,r n I dS Σ r = ∫∫ G G w G ，其中 M (xyz , , )为简单封闭光滑闭曲面Σ 上一点， M0 0 0, 0 ( ) x yz , 为曲面Σ 的 内点， 0 r MM = G JJJJJG ， n G 为 上点 Σ M (xyz , , )处的外法向量。 解: ( ) ( ) () ( ) () 0 00 cos cos cos cos , cos , cos , cos , xx yy zz n r n r 设 α β αβγ − +− +− = = G G G G γ () ( ) () () ( ) () 0 0 0 0 00 3 3 x x y y z z x x dydz y y dzdx z z cos cos cos I dS r r α βγ Σ Σ − +− +− − +− +− = = ∫∫ G G ∫∫ dxdy ( ) ( ) ( ) 222 2 2 0 0 5 5 3 3 , r xx r yy r z PQR xy z r r z ， ∂∂ ∂ − − − − −− === ∂∂ ∂ 2 0 5 3 r G G G G G G () ( ) () 1 1 1 0 00 3 P QR x x dydz y y dzdx z z dxdy I dV x yz r ΣΣ Σ Ω + Σ ⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ⎟ − +− +− = − = + +⎟+ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜∂ ∂∂ ⎟ ⎝ ⎠ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∪ w w w G () ( ) () 1 3 0 00 1 x x dydz y y dzdx z z dxdy 4π ε + Σ = − +− +− = ∫∫w Page 2 of 2