吉林大学2013-~2014学年第二学期《高等数学BII》试卷2014年6月28日题号三总分得分得分单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分）, (3,)*(0.0)在(0.0)处( C ).1.二元函数(x,J)=3x? + y2(x, y)=(0,0)lo（A）连续，偏导数存在；（B）连续，偏导数不存在；(C）不连续，偏导数存在；（D）不连续，偏导数不存在2.设是锥面×+y=2在0≤z≤1的部分，则(x+y)dS=(D)(B) J'dof'rdr;(A) J.dof'r'dr:(C) 2J,dof'rdr:(D)2J dofdr.3．设1=Jdf。f(x,)dx，则改变积分次序后1=（C(A) J'ax (,)dy(B) J axf(x)dy.(c) J'dx."f(x,dy.(D) J'daxf. f(a,)dy4.函数(x,)=-+3x+3y2-9x的极大值点为(A).(A) (-3,2) :(B) (1,2) :(C) (-3,0) ;(D) (1,0).5.设空间区域=(,y,=)≤1-x"-，则积分J=dv=（B）。(A)(B):（C)4元(D)2元.6.若y,y,是方程y+p(x)y=g(x)(g(x)*0)的两个解，要使αy+By,也是该方程的解，α,β应满足关系式(D).（共6页第1页）
（共 6 页 第 1 页） 吉林大学 2013~2014 学年第二学期《高等数学 BⅡ》试卷 2014 年 6 月 28 日 题号 一 二 三 总 分 得分 得 分 一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分） 1．二元函数 = = + 0, ( , ) (0,0) , ( , ) (0,0) ( , ) 2 2 x y x y x y xy f x y 在 (0,0) 处（ C ）． （A）连续，偏导数存在； （B）连续，偏导数不存在； （C）不连续，偏导数存在； （D）不连续，偏导数不存在． 2．设 是锥面 2 2 2 x y z + = 在 0 1 z 的部分，则 2 2 ( )d x y S + = ( D )． （A） 1 3 0 0 d d r r ； （B） 2 1 3 0 0 d d r r ； （C） 1 3 0 0 2 d d r r ； （D） 2 1 3 0 0 2 d d r r ． 3．设 1 1 0 0 d ( , )d y I y f x y x − = ，则改变积分次序后 I = （C ）． （A） 1 1 0 0 d ( , )d x x f x y y − ． （B） 1 1 0 0 d ( , )d y x f x y y − ． （C） 2 1 1 0 0 d ( , )d x x f x y y − ． （D） 2 1 1 0 0 d ( , )d x x f x y y + ． 4. 函数 ( ) 3 3 2 2 f x y x y x y x , 3 3 9 = − + + − 的极大值点为( A )． （A） ( 3,2) − ； （B） (1, 2) ； （C） ( 3,0) − ； （D） (1,0) . 5．设空间区域 2 2 Ω = − − ( , , ) 0 1 x y z z x y ，则积分 z dv = ( B ) ． （A） π 2 ； （B） π 4 ； （C） 4π ； （D） 2π． 6．若 1 2 y y , 是方程 y p x y q x q x + = ( ) ( )( ( ) 0) 的两个解，要使 1 2 y y + 也是该方程的解， , 应满足关系式 ( D)．
(A) αβ=0:(B) αβ=1;(C) α+β=0:(D)α+β=1.得分二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分）1．函数u=×++2-y+2)yz在点(-1,2,-3)处的方向导数的最大值等于12.设2=x+，则dz=—()a+(-)-3设曲线为下半圆y=-V-，则[(+)ds=,IdS=元-1时，级数之%收敛。4.设a>0，当常数a满足条件a<1=Vn5．设L为封闭折线|xl+ly=1正向一周，则Φ,xy'dx-cos(x+y)dy=（6．设f(x)是周期为2元的周期函数，它在(一元,元)上的表达式为[0,-元<x≤0，则f(x)的Fourier级数在x=3元处收敛于_元f(x)=1 x,0<x≤元N得分三、计算题（共8道小题，每小题8分，满分64分)[2+产+=45在点Pβ(-2,16)处的切线方程和法平面方程。1.求空间曲线，x? +2y2 = z解方程组两端同时对x求导，得[4x+2 +2zz′ =02分2x+4 =21-号解得以。4分故切线方程为芸-6.6分2528一12法平面方程为25x+28y+12z=50.8分(共6页第2页）
（共 6 页 第 2 页） （A） = 0 ； （B） =1 ； （C） + = 0 ；（D） + =1． 得 分 二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分） 1．函数 2 2 2 u x y z xy yz = + + − + 2 在点 ( 1, 2, 3) − − 处的方向导数的最大值等于 21 ． 2．设 x z xy y = + ，则 d z = 2 1 d d x y x x y y y + + − ． 3．设曲线 L 为下半圆 2 y x = − −1 ，则 2 2 ( )d L x y s + = 1d π 1 L S = ． 4．设 a 0 ，当常数 a 满足条件 a 1 时，级数 1 n n a n = 收敛． 5．设 L 为封闭折线 | | | | 1 x y + = 正向一周，则 2 2d cos( )d L x y x x y y − + = 0 ． 6．设 f x( ) 是周期为 2π 的周期函数，它在 (−π, π] 上的表达式为 ( ) 0, π 0 , , 0 π x f x x x − = 则 f x( ) 的 Fourier 级数在 x = 3 处收敛于 2 ． 得 分 三、计算题（共 8 道小题，每小题 8 分，满分 64 分） 1．求空间曲线 2 2 2 2 2 2 45 2 x y z x y z + + = + = 在点 P0 (−2,1,6) 处的切线方程和法平面方程． 解 方程组两端同时对 x 求导，得 4 2 2 0 2 4 x x x x x yy zz x yy z + + = + = .2 分 解得 0 0 28 12 , 25 25 x p x p y z = = .4 分 故切线方程为 2 1 6 25 28 12 x y z + − − = = .6 分 法平面方程为 25 28 12 50 x y z + + = .8 分
2.设：=(g,)，其中具有二阶连续偏导数，求axaxay.... （3分)解：-yf+2-2+[-2+门]2+20[2+]（6分）axo（8分）=2yf'+2xf+2xf+5xyf+2xyf23. 将函数[()=--5x+6在x=4点展成幂级数解：11f(x)=(x-2)(x-3)x-3x-21 (x-4)+1 (x-4)+2 "1-[-(x-4) 2 1-(-x-4-2I-(-4)-2()-2(-[-]x-4). (<5)<1.解得|x-4k1交集）(I-(x-4)k)O（共6页第3页）
（共 6 页 第 3 页） 2．设 2 2 z f xy x y = ( , ) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 x y z x z 2 , ． 解： 2 1 2 2 z y f xyf x = + ． .（３分） 2 2 2 1 11 12 2 2 z yf y f xy f x x y = + + 2 2 21 22 + + + 2 2 2 xf xy f xy f x .（6 分） 3 2 2 3 1 2 11 12 22 = + + + + 2 2 2 5 2 yf xf xy f x y f x yf . .（8 分） 3．将函数 2 1 ( ) 5 6 f x x x = − + 在 x = 4 点展成幂级数. 解： 0 0 1 0 1 1 1 ( ) ( 2)( 3) 3 2 1 1 1 1 1 ( 4) 1 ( 4) 2 1 [ ( 4)] 2 4 1 2 1 4 [ ( 4)] 2 2 1 ( 1) 1 ( 4) . (3 5) 2 n n n n n n n n f x x x x x x x x x x x x x = = + = = = − − − − − = − = − − + − + − − − − − − − = − − − − = − − − （ 4 | ( 4) | 1, 1 2 x x − − − − ．解得 | 4 | 1 x − 交集）
4.求函数f(x,)=xy-x在半圆域D=(x,)x2+y≤1,y≥0|上的最大值和最小值[9=y-1=0解先求区域D内部的驻点，由，x2分得x=0,y=1,该点在边界上af=x=0Lay再求区域边界上的驻点在边界×+=1上，令L(x,)=x-+(x+-1)，解方程组L,=y-1+2/x=0L,=x+22y=0得x=0,y=1,该点函数值f(0,1)=0.5分x2 +y2-1=0在边界y=0,-1≤x≤1上，函数 f(x,)=-x，此时函数最大值f(-1,0)=1,最小值f(1,0) = -1..7分..8分综上，函数在区域D上的最大值f(-1,0)=1,最小值f(1,0)=-15.求幂级数≥"+1x的收敛域及和函数.nlim+1+1on+1=1，所以该幂级数的收敛半径R=！解解：p-"=1，而n+1n/-1，故×=时，该幂级数发散，从而幂级数收敏城为（1，1)。 （3分）设和函数为S(x)，有S(n)=x+2+，其中“（5分）再设S(x)=），在（-1，1）内逐项求导，得S(x)=≥×=于是S()=S(0)+) s(d=-Id=-i(x) ,（7分）故S(x) =In(1-x), xe(-1,1).. （·分1-x(共6页第4页）
（共 6 页 第 4 页） 4．求函数 f (x, y) = xy − x 在半圆域 ( , ) 1, 0 2 2 D = x y x + y y 上的最大值和最小 值. 解 先求区域 D 内部的驻点，由 = = = − = 0 1 0 x y f y x f 得 x = 0, y =1,该点在边界上. .2 分 再求区域边界上的驻点. 在边界 1 2 2 x + y = 上，令 ( , ) ( 1) 2 2 L x y = xy − x + x + y − ，解方程组 + − = = + = = − + = 1 0 2 0 1 2 0 2 2 x y L x y L y x y x 得 x = 0, y =1 ，该点函数值 f (0,1) = 0 . .5 分 在边界 y = 0,−1 x 1 上，函数 f (x, y) = −x ，此时函数最大值 f (−1,0) =1, 最小值 f (1,0) = −1. .7 分 综上，函数在区域 D 上的最大值 f (−1,0) =1, 最小值 f (1,0) = −1. . .8 分 5．求幂级数 1 1 n n n x n = + 的收敛域及和函数． 解 解： 1 1 lim 1 1 1 n n n n n n → + + = = + + ，所以该幂级 数的收敛 半径 1 R 1 = = ，而 1 lim 1 n n → n + = ， 故 x =1 时，该幂级数发散，从而幂级数收敛域为（ -1 ， 1 ）． .（3 分） 设和函数为 S x( ) ，有 1 1 ( ) n n n n x S x x n = = = + ，其中 1 1 n n x x x = = − ．.（5 分） 再设 1 1 ( ) n n x S x n = = ，在（-1，1）内逐项求导，得 1 1 1 1 ( ) 1 n n S x x x − = = = − ， 于是 ( ) 1 1 1 0 0 1 ( ) 0 ( )d d ln(1 ) 1 x x S x S S t t t x t = + = = − − − ， .（7 分） 故 ( ) ln(1 ), ( 1,1) 1 x S x x x x = − − − − ． .（8 分）
6. 计算[Jlcos(x+)xdy,D:0≤x≤号.0≤y≤解 J[cos(x+y)kxdy=,daj,cos(x+ )dy-[,daj.cos(x+ )dy（4分）sin(x+)dx-Jsin(x+/dJ(-sin x)dx-J,(cosx-1)d.（．分=(x +cos x) -(sinx-x) .. （8分)=元-27. 计算1=[[(x+y+2)dydz+(x-y+2)ddx+(=-x)dxdy，其中：==1-x--y2（=≥0），取上侧。解解：补曲面Z:2=0,x+y1，取下侧，（2分）据高斯公式，(+y+)dd+(x-+=)dd+(=X)idy= J(I-1+1)d= JJdv,.. （4分）....=J" df"rdr]" d =2]r(1-r)dr=2[5-] --（6分J[(x+y+)dyd+(x-y+)dedx+(=x)dxdy又- ddy -0 ,（7分所以 /-JJdV-J[(x-+)dyd +(x-y+2)ddx+(=-x)dxdy=号. （·分)（共6页第5页）
（共 6 页 第 5 页） 6. 计算 x y dxdy D cos( + ) ， 2 ,0 2 : 0 D x y . 解 x y dxdy D cos( + ) = 2 2 2 2 0 0 0 2 cos( ) cos( ) x x dx x y dy dx x y dy − − + − + .（4 分） = 2 2 2 2 0 0 0 2 sin( ) sin( ) x x x y dx x y dx − − + − + = 2 2 0 0 (1 sin ) (cos 1) x dx x dx − − − .（6 分） = 2 2 0 0 ( cos ) (sin ) x x x x + − − = −2 . .（8 分） 7. 计算 I x y z y z x y z z x z x x y ( )d d ( )d d ( )d d = + + + − + + − ，其中 ： 2 2 z x y = − − 1 （ z 0 ），取上侧． 解 解：补曲面 2 2 1 : 0, 1 z x y = + ，取下侧， .（2 分） 据高斯公式， ( ) ( ) ( ) 1 x y z y z x y z z x z x x y d d d d d d + + + + − + + − (1 1 1 d d ) V V = − + = ， .（4 分） ( ) 2 2 1 1 1 2 0 0 0 0 d d d 2 1 d r r r z r r r − = = − 1 2 4 0 2 2 4 2 r r = − = ， .（6 分） 又 ( ) ( ) ( ) 1 x y z y z x y z z x z x x y d d d d d d + + + − + + − 2 2 1 d d 0 x y xxy + = = ， .（7 分） 所以 ( ) ( ) ( ) 1 I V x y z y z x y z z x z x x y d d d d d d d = − − + + − + + − 2 = ． .（8 分）
8.已知曲线y=f()经过原点，且在原点的切线平行于直线2x-y-5=0，而y=f(x)满足微分方程y"-6y+9y=e3，求此曲线的方程解方程-6+9=e3*的特征方程为r2-6r+9=0解得特征根为==3对应齐次方程通解为Y=C,e+C,xe，..3分设非齐次方程的特解形式为y=Axe，代入原方程得-x?e3x....·分由(0)=0,y(0)=2得C,=0,C,=2，故所求曲线方程为Y--4)..8分(共6页第6页）
（共 6 页 第 6 页） 8.已知曲线 y f x = ( ) 经过原点，且在原点的切线平行于直线 2 5 0 x y − − = ，而 y f x = ( ) 满足微分方程 3 6 9 e x y y y − + = ，求此曲线的方程. 解 方程 3 6 9 e x y y y − + = 的特征方程为 2 r r − + = 6 9 0 解得特征根为 1 2 r r = = 3 对应齐次方程通解为 3 3 1 2 e e x x Y C C x = + . .3 分 设非齐次方程的特解形式为 * 2 3 e x y Ax = ，代入原方程得 * 2 3 1 e 2 x y x = .6 分 由 y y (0) 0, (0) 2 = = 得 1 2 C C = = 0, 2 ，故所求曲线方程为 3 ( 4)e 2 x x Y x = + .8 分