第五章匹配与因子分解 主要内容 一、偶图的匹配问题 二、 图的因子分解 三、匈牙利算法与最优匹配算法 教学时数 安排6学时讲授本章内容
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 1 第五章 匹配与因子分解 主要内容 一、偶图的匹配问题 二、图的因子分解 三、匈牙利算法与最优匹配算法 教学时数 安排6学时讲授本章内容
本次课主要内容 偶图的匹配问题 (一)、图的匹配与贝尔热定理 (二)、偶图的匹配与覆盖 (三)、托特定理
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 2 本次课主要内容 (一)、图的匹配与贝尔热定理 (二)、偶图的匹配与覆盖 (三)、托特定理 偶图的匹配问题
(一)、 图的匹配与贝尔热定理 1、图的匹配相关概念 (1)、匹配M-如果M是图G的边子集（不含环），且 M中的任意两条边没有共同顶点，则称M是G的一个匹 配或对集或边独立集。 如果G中顶点V是G的匹配M中某条边的端点，称它 为M饱和点，否则为M非饱和点。 M={VGV7} M2={VGV7,VIV8 M3={VGV7,VIV8,V3V4} M1,M2,M等都是G的匹配
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 3 1、图的匹配相关概念 (1)、匹配 M- 如果M是图G的边子集(不含环），且 M中的任意两条边没有共同顶点，则称M是G的一个匹 配或对集或边独立集。 (一)、图的匹配与贝尔热定理 如果G中顶点v是G的匹配M中某条边的端点，称它 为M饱和点，否则为M非饱和点。 v1 v7 v6 G v8 v2 v3 v5 v4 M1=｛v6v7｝ M2=｛v6v7 , v1v8｝ M3=｛v6v7 , v1v8 , v3v4｝ M1 ,M2 ,M3等都是G的匹配
(2)、最大匹配M-如果M是图G的包含边数最多的 匹配，称M是G的一个最大匹配。特别是，若最大匹配 饱和了G的所有顶点，称它为G的一个完美匹配。 G的一个完美匹配 G的一个最大匹配 注：一个图G不一定存在完美匹配
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 4 (2)、最大匹配M- 如果M是图G的包含边数最多的 匹配，称M是G的一个最大匹配。特别是，若最大匹配 饱和了G的所有顶点，称它为G的一个完美匹配。 G的一个 最大匹配 G的一个完美匹配 注：一个图G不一定存在完美匹配
(3)、M交错路-如果M是图G的匹配，G中一条由M 中的边和非M中的边交错形成的路，称为G中的一条M 交错路。特别地，若M交错路的起点与终点是M非饱和 点，称这种M交错路为M可扩路。 在下图中： 设M=(vVs,vY4},则： 路voV7VgV3Y4与vV7VgY2都是M交错路。其中后者是M 可扩路
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 5 (3)、M交错路- 如果M是图G的匹配，G中一条由M 中的边和非M中的边交错形成的路，称为G中的一条M 交错路。特别地，若M交错路的起点与终点是M非饱和 点，称这种M交错路为M可扩路。 在下图中： v1 v7 v6 G v8 v2 v3 v5 v4 设M=｛v7v8 , v3v4｝，则： 路v6v7v8v3v4与v1v7v8v2都是M交错路。其中后者是M 可扩路
2、贝尔热定理 定理1（贝尔热，1957）G的匹配M是最大匹配，当且 仅当G不包含M可扩路。 证明：“必要性” 若G包含一条M可扩路P,则可令该可扩路为： P=yoYV2··V2kV2k+1 显然，P中M中的边比非M中的边少一条。于是作新 的匹配M,它当中的边由P中非M中边组成。M,中边比 M中多一条，这与M是G的最大匹配矛盾。 “充分性” 若不然，设M是G的一个最大匹配，则MPM
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 6 2、贝尔热定理 定理1 (贝尔热，1957) G的匹配M是最大匹配，当且 仅当G不包含M可扩路。 证明：“必要性” 若G包含一条M可扩路P,则可令该可扩路为： P v v v v v = 0 1 2 2 2 1 k k+ 显然，P中M中的边比非M中的边少一条。于是作新 的匹配M1 ,它当中的边由P中非M中边组成。M1中边比 M中多一条，这与M是G的最大匹配矛盾。 “充分性” 若不然，设M1是G的一个最大匹配，则|M1 |>|M|
令H=M△M。 容易知道：G的每个分支或者是由M,与M中边交 替组成的偶圈，或者是由M1与M中边交替组成的路。 在每个偶圈中，M,与M中边数相等；但因M>M, 所以，至少有一条路P,其起点和终点都是M非饱和点， 于是，它是G的一条M可扩路。这与条件矛盾。 注：贝尔热定理给我们提供了扩充G的匹配的思路。 贝尔热(1926-2002)法国著名数学家。他的《无限图 理论及其应用》(1958)是继哥尼之后的图论历史上的第 二本图论专著。他不仅在图论领域做出了许多贡献，而 且四处奔波传播图论，推动了图论的普及和发展。 1993年，他获得组合与图论领域颁发的欧拉奖章
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 7 令H = M1ΔM。 容易知道：G[H]的每个分支或者是由M1与M中边交 替组成的偶圈，或者是由M1与M中边交替组成的路。 在每个偶圈中，M1与M中边数相等；但因|M1 |>|M|， 所以，至少有一条路P，其起点和终点都是M非饱和点， 于是，它是G的一条M可扩路。这与条件矛盾。 注：贝尔热定理给我们提供了扩充G的匹配的思路。 贝尔热(1926-2002) 法国著名数学家。他的《无限图 理论及其应用》(1958) 是继哥尼之后的图论历史上的第 二本图论专著。他不仅在图论领域做出了许多贡献，而 且四处奔波传播图论，推动了图论的普及和发展。 1993年，他获得组合与图论领域颁发的欧拉奖章
贝尔热在博奔论、拓扑学领域里也有杰出贡献。在 博弈领域，他引入了Nash均衡之外的另一种均衡系统。 Nash的生活被改编成电影《美丽的心灵》，获02年奥 斯卡金像奖。 贝尔热对中国的手工艺很感兴趣。他也是一位象棋 高手，还创作过小说《准杀害了Densmore公爵》 。 (二)、偶图的匹配与覆盖 1、问题的提出 在日常生活，工程技术中，常常遇到求偶图的匹配 问题。下面看一个例子：
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 8 贝尔热在博弈论、拓扑学领域里也有杰出贡献。在 博弈领域，他引入了Nash均衡之外的另一种均衡系统。 Nash的生活被改编成电影《美丽的心灵》，获02年奥 斯卡金像奖。 贝尔热对中国的手工艺很感兴趣。他也是一位象棋 高手，还创作过小说《谁杀害了Densmore公爵》。 (二)、偶图的匹配与覆盖 在日常生活，工程技术中，常常遇到求偶图的匹配 问题。下面看一个例子： 1、问题的提出
有7名研究生A,B,C,D,E,F,G毕业寻找工作。就业 处提供的公开职位是：会计师(a),咨询师(b),编辑(c),程 序员(d),记者(e),秘书()和教师(g)。每名学生申请的职 位如下： A:b,c;B:a,b,d,f,g;C:b,e;D:b,c,e; E:a,c,d,f;F:c,e;G:d,e,f,g; 问：学生能找到理想工作吗？ 解：如果令X={A,B,C,D,E,F,G},Y={a,b,c,d,e,f, g},X中顶点与Y中顶点连线当且仅当学生申请了该工作。于 是，得到反映学生和职位之间的状态图：
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 9 有7名研究生A, B, C, D, E, F, G毕业寻找工作。就业 处提供的公开职位是：会计师(a) ,咨询师(b),编辑(c ),程 序员(d), 记者(e), 秘书(f)和教师(g)。每名学生申请的职 位如下： A : b, c ; B : a, b, d, f, g ; C : b, e ; D : b, c, e ; E : a, c, d, f ; F : c, e ; G : d, e, f, g ; 问：学生能找到理想工作吗？ 解：如果令X=｛A, B, C, D, E, F, G｝,Y=｛a, b, c, d, e, f , g｝,X中顶点与Y中顶点连线当且仅当学生申请了该工作。于 是，得到反映学生和职位之间的状态图：
A:b,c;B:a,b,d,f,g;C:b,e;D:b,c,e; E:a,c,d,f;F:c,e;G:d,e,f,g; 问题转化为求饱和X每个顶点的一个匹配！ 需要解决的问题是：(1)匹配是否存在？(2)如何求出匹配？ 2、偶图匹配存在性判定-Hal定理 10
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 10 问题转化为求饱和X每个顶点的一个匹配！ A : b, c ; B : a, b, d, f, g ; C : b, e ; D : b, c, e ; E : a, c, d, f ; F : c, e ; G : d, e, f, g ; A B C D E F G a b c d e f g 需要解决的问题是: (1) 匹配是否存在？(2) 如何求出匹配？ 2、偶图匹配存在性判定-Hall定理