北京航空航天大学应用数学系：《小波分析与应用》课程讲义（陈迪荣）

北航博士生课程讲义 小波分析及其应用 陈迪荣 北京航空航天大学应用数学系

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主要内容有:信号处理的时频 问题、框架理论、小波变换、小波包算法 局部正(余)弦基、最优基的选 分能 后,介绍小波在数值分析中的应用

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前言 绍1807年傅立叶(J. Fourier)提倡用函数的 Fourier级数展开研究热传导方程以 来, Fourier分析成了信划函数空间、求解微分方程、进行数值计算与信息处士等的 主要工具之一 Fourier分析之所以能有如此作为,究其原因,从士论角度看主要在 于在多常见运算在 Fourier变换后性质变得很好(例如微商运算变为多项式乘法,卷 积变为普通乘积等);从实际应用角度看是,频率是绍然现有(包括声音、图有和各 种波动)中一最非常重要的特征。而Fourier变恰恰就是求出频率分量 然而我们至今还未找到一本合适的“字典”使得f的性质能由傅立叶变换课的大 小准确地“中译”出来.其缘由是,只反映f在整最R的频率。这是由于“基”函 数{euer在时间上没有荣部性:et=1,t∈R而人们往往关心的是在空时信 附近,信号f所含频率的多少。 Ga航在1946年提出了著名的Ga航变换。他的想法是,将一最波形分为若人段, 然后保留其中一段。Ga航变换发展为窗生傅立叶变换。窗生立叶变换是一最很 好的荣部频率分析工具。不北之处在于,一是其离散化性质差再者,Ga航原子t 的时宽和频宽是不变的(即与t,w无关).然而在实际中,要求在高频处时宽小,低 频处时宽大.这正是小波变换的优点 小波分析及其应用是一门新学科.在20世纪80年代初,一些科学家使用了“小 波”作为传统傅立叶分析的一最替代物。.s. . Lienard和x. Ro det的工作涉及到声学 信号的数值处士J. Morlet的小波则是用来储存和表示石油勘测中所收集到的地 震信号。数学家 Coifman和 Weiss创立了“原子”和“分子”的论空些原子”和 “分子”的结构可由著名的Cal der处恒等式离散得来。后来, Grossm an和 Morlet 重新发现了 Calder处恒等式,并发明了“小波这一名称然而,现在意义后的正 交小波基的出现要晚一些。分然,早在198年,J.. Strom航g首先构造出 了一最很接近现在称之为小波基的基,但它没有引起人们的注意.直到196年 Meyer在怀述意义后的正交小波基的存在性时,却偶然地构造出了现在称之为 Meyer基的真正的小波基。随后不久S. Mall at与y. Meyer建立构造小波基的 通用方法即多尺度分析.要用这最工具,Dau航hies构造出了有紧支集且光滑的正 交小波.至此,小波分析才形成为一门学科 小波分析从诞生至今还到二十年,其应用却得到了蓬勃的发展它涉及面之宽 广、影响之深远、发展之都是空前的.它所取得的成就也令人瞩目它能对几乎 所有的常见函数空间给出通过小波展开系数的简单信划,也能用小波展开系数描述 函数的荣部光滑性质,特别是在信号分析中,由于它的荣部分析性能优越,因而在 数据压缩与边缘检测方面它比现有的手段更为有效.美国耶鲁大学以R. Coifman 教授为代表的小波研究组要用小波分析对美国联邦调查荣存贮的三亿最指纹进行数 据压缩,取得了二十倍原有效益的成果.单单因为节省存贮光盘而获得的效益便是 三千万美元之巨,而由于指纹传输时间缩短为原来的二十分之一所创造的价值更是 无法估量 本讲义用较少的数学知识阐明小波分析的基本论和应用我们并不追求数学

W a & 1807 >Y\ (J  Fourier) &u ]r? Fourier (rLM7￾h H Fourier i|j*]r.DroK￾z2ru. #*pPC? U;q` Fourier iqh:8PZ+z"P``"U&Æj(? Gabor CÆ?Æ}UT`2O/P)h
x)yZ`h Gabor CÆzLP3Y\CÆ3Y\CÆU`2r e?^Pi;Z-q-`"%E9G j O 8P5Y\i?`2--e J. S. Lienard k X. Rodet ?;8'#90E *g?ruP J  Morlet ?OIU H%kIL: g] 9?K ^*grE9 Coifman k Weiss Yj+" k" ?P/"+" k " ?l@'(? Calderon vCJN=HxH Grossman k
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北航博士生课程讲义(2002年春) 理论的完整,而只着重于其思想的来龙去脉。另一个特点是,本讲义力图体现小波 分析最新的进展

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目录

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北航博士生课程讲义(2002年春)

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第一章预备知识 本章罗列一些后面需用到的工具。好在作为小波分析的初学者,并不需具备太多的 知识 欧氏空间及酉变换记(,和‖·‖分别为欧氏空间4N的内积和范数。任取非零向量 x,y∈￠N,成立 Schwartz不等式 而且等式成立当且仅当z,y线性相关. Schwartz不等式在任何内积空间都成立 我们称 8= arccos 为x和y之间的夹角。|(x,y)的大小,在某种意义上反映了x,y之间的相似程度 在N维欧氏空间cN中,选定一组标准正交基{ek}1,任取x∈CN可唯一地表示为 Ck=(c, ek (1.2) k的大小反映了x,k之间的相似程度。换句话说,|k的大小反映了x含有分量ek的多 称N上的一个线性变换A为酉变换,若 Ax,4y)={,y),ar,y∈ 或等价地 Axl= lal, va∈CN 众所周知,线性变换A是酉变换的充要条件是,以下条件之一成立 (1)A是酉矩阵; )AA=IN,其中,A*是A的复共轭转置 (2)A的行(列)向量是CN的标准正交基

Bbi h?lX 4O l`"x!9 9?;e7jqt qd x; y 2 CN {X Schwartz YBI jhx; yij jjxjjjjyjj  1; (1.1) riBI{X5ix5 x; y 4 I Schwartz YBI;m7-C[{X ^y  = arccos hx; yi jjxjjjjyjj O x j y pC>6_ jhx; yij >';.lp i x; y pC>
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AX_/GfZ fekgN k=1. t x 2 CN &N_JHKO x = X N k=1 xk ek; xk = hx; ek i: (1.2) jxk j >'i x; ek pC>
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北航是士生课程讲义(2002年春) 零测度集集合EC雎称为零测度集,若对任何E>条存在开区C(anb),=1,2,… 使得 ∑(b1-a)<∈和Ec∪a 例如,有理数集合Q是零测度集。从勒贝格( Lebesgue)积分的角度来看,零测度集是可}忽 略的 若某个命题在除了一个零测度集外处处说立,则称它)y处处(ae)说立。例如,狄里克菜 函数D(x)定义为D(x)=1,r∈Q;D(x)=条∈雎Q.那么,D(x)=条ae 函数空间p幂( Lebesgue)可积函数空C记为 Lp(Et)=51/ 1()Pdr< 它是一个巴拿赫空C,范数定义为 (/) L2()是一个希尔伯特空C(完备的内积空C),其内积是 f(r)(x)d,Vf,g∈L2(r 傅立叶变换与卷积设∫∈L1(,定义其傅立叶变换为 f(w)=/f()e-iaw dr f在琟上角续且有界。傅立叶变换与微分的Ⅰ系是 f() f'(a) f() 黎曼-勒贝格引理对任何∫∈L1(雖),说立 f)=条 普朗歇尔定理ⅵ∈L2(,在L2(的意义下, f(a) / f() dou, (1.5) f(aw 条 其中,·表示对其取范数的变量。由此而得,Vf,g∈L2(E 6)

2 ,aTO2+￾Vq 2002 >Æ rhb! n E  IR yOqf_jm " > 0 $;sC (ai ; bi); i = 1; 2;:::; F__G!qf_T&g{ > .1)';i_1qf_@{XHy)y (a.e.) {XVHQ(F \q D(x) XpO D(x)=1; x 2 Q; D(x)=0; x 2 IRnQ. 3 D(x)=0; a.e. ]r.D p  (Lebesgue) &\q-C/O Lp(IR) = n f j Z IR jf (x)jpdx 7-C Y7T hf; gi = Z IR f (x)g(x)dx; 8f; g 2 L2(IR): Y\CÆ# ) f 2 L1(IR), XpYX[B O fb(!) = Z IR f (x)e￾ix!dx: (1.3) fb ; IR _?iqX[B "JÆ>IsT fb0(!) = Z IR f 0(x)e￾ix!dx = i!fb(!): (1.4) MQ - L>GdN jm f 2 L1(IR), {X lim j!j!1 fb(!)=0: TK`EDN 8f 2 L2(IR), ; L2(IR) >lpw f (x) = 1 2 Z IR fb(!)e ix!d!; (1.5) % lim A;B!1 f ￾ 1 2 Z B A fb(!)e i!
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HKjYtq>Bdr< 8f; g 2 L2(IR), hf; gi = 1 2 hf ; b bgi: (1.6)

陈迪荣:小波分析及其应用 特别地,成立 Parseval等式: f|2. 两个函数的卷积定义为 f(聊(x-取取x∈R 傅立叶变换与卷积的关系为 f9. (1.8) 公式(1.4)和(1.8)是很初等的,但是非常重要。正是由于它们,才使得傅立叶变换的应用如 此广泛 广义函数66可为解为质量分布,它满足 f(x)6取x)dt=∫(取联R 由(1.8) v∈皿 工程上称δ为脉冲函数 时不变线性系统个系统L称为不变线性系统,若它满足以下条件 (1)线性性L(a1f1+a2f2)=a1Lf1+a2Lf2 (2)时不变性记fr(x)=f(x-7).则Lfr=(Lf)x 对于一个时不变线性系统,存在函数h,使得Lf=f*h.因此 Lf(u)=f(wh(w) 称h=L6为系统函数 若h(0)≠0称h为低通滤波器.若h(0)=0.,称h为带通滤波器 例h(x) 1,k|≤丌/T 其它 此时,h为为想低通滤波器 ()={f,Ll|≤/r 其它 离散傅立叶变换设c=()=1∈bbe,其傅立叶变换G=(an) 下式定义 C 0<k<N-1,其

wFOi#Z￾ 3 !JJ{X Parseval BI jjf jj2 = 1 p 2 jjfbjj2: (1.7) c1\q>XpO f g(x) = Z IR f (t)g(x ￾ t)dt; x 2 IR: X[B ">IsO fd g = fbg: b (1.8) =I (1.4) j (1.8) TqB>2T rTfTaF  N Oq]r Æ Æ &OnOdÆ[, Z IR f (x)Æ(t ￾ x)dx = f (t); t 2 IR:  (1.8)  Æb(!)=1; 8! 2 IR: : y Æ OÆ \q <ZC 5t5 _1s4 L yOYB4s4,gw0P (1) 44 L(a1f1 + a2f2) = a1Lf1 + a2Lf2: (2) ;YB4 / f (x) = f (x ￾  ): H Lf = (Lf ) : j_1;YB4s4$;\q h F< Lf = f h: y Lfc(!) = fb(!)bh(!): y bh = LÆc Os4\q  bh(0) 6= 0, y h OD1Na bh(0) = 0, y h O*1Na O h(x) = T sin x=T x . bh(!) =  1; j!j  =T ; 0; Y ; bh OO D1Na Lfc(!) =  fb(!); j!j  =T ; 0; Y NY\CÆ ) c = (ck )N￾1 k=0 2 bbbcN YX[B bc = (bcn)N￾1 n=0 wIXp bcn = 1 p N N X￾1 k=0 ckw￾nk N ; 0  k  N ￾ 1; Y
wN = e 2i=N :

北航博士生课程讲义(2002年春) 6就是c在正交基{n2=(c)-1分下的系数向量,矩阵N=(m)是西 矩阵。c→=WNc是酉变换 众所周知,当N=2时,快速傅立叶变换的运算量为,2Nlog2N次乘法,?次加法 对任何数列f,离散卷积∫*h也是一个数列(f*hk),这里 f*(k)=∑f 离散卷积对两个数列f,g,离散卷积f*g也是一个数列(f*hk),这里, f,gk 同连续情形一样,离散时不变线性系统L与离散卷积之间成立关系式 Lf=f* h 同样,称h为L的系统函数。若h(0)≠0,则h为低通滤波器.若h(O)=0,则h为带通滤波

4 ,aTO2+￾Vq 2002 >Æ bc T c ;fZ fengN￾1 n=0 = f(wnk N )N￾1 k=0 gN￾1 n=0 w>sqdÆ` WN = p 1 N wnk N N￾1 k;n=0 T Æ` c ! bc = WN c TB  n5 N = 2L ;7X[B >6 dO 2N log2 N }| :| jmqk f , M f h XT_1qk (f hk)k ; YQ f h(k) = X j fjhk￾j : N jc1qk f; g, M f g XT_1qk (f hk )k ; YQ f gk = X j fj gk￾j : 3_?l._SM;YB4s4 L "MpC{XIsI Lf = f h: 3Sy bh O L >s4\q bh(0) 6= 0, H h OD1Na bh(0) = 0, H h O*1N a