第二十二章模糊数学模型 51模糊数学的基本概念 11模糊数学简介 1965年，美国著名计算机与控制专家查德L.A.Zadch)教授提出了模糊的概念，并 在国际期刊《1 Information and Control》并发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文 “Fuzzy Sets”(模糊集合)，开创了模糊数学的新领域。 模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性”。如高个子 与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严重等。在决策中，也有 这种模糊的现象，如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不好干部之间 没有绝对分明和周定不变的界限。这些现象很难用经典的数学来描述。 模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。它作为一门崭新的学科，它 是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。经过短暂的沉默和争议之 后，迅猛的发展起来了，而且应用越来越广泛。如今的模糊数学的应用己经遍及理、工、 农、医及社会科学的各个领域，充分的表现了它强大的生命力和渗透力。 统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然 现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域，即 从精确现象到模糊现象。 实际中，我们处理现实的数学模型可以分成三大类：第一类是确定性数学模型，即 模型的背景具有确定性，对象之间具有必然的关系。第二类是随机性的数学模型，即模 型的背景具有随机性和偶然性。第三类是模糊性模型，即模型的背景及关系具有模糊性。 12基本概念 12.1模糊集和隶属函数 定义1论域X到[0，】闭区间上的任意映射 44:X→0，l] -257
-257- 第二十二章 模糊数学模型 §1 模糊数学的基本概念 1.1 模糊数学简介 1965 年，美国著名计算机与控制专家查德(L.A.Zadeh)教授提出了模糊的概念，并 在国际期刊《Information and Control》并发表了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文 “Fuzzy Sets”(模糊集合)，开创了模糊数学的新领域。 模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性”。如高个子 与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严重等。在决策中，也有 这种模糊的现象，如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不好干部之间 没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很难用经典的数学来描述。 模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现象的数学。它作为一门崭新的学科，它 是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。经过短暂的沉默和争议之 后，迅猛的发展起来了，而且应用越来越广泛。如今的模糊数学的应用已经遍及理、工、 农、医及社会科学的各个领域，充分的表现了它强大的生命力和渗透力。 统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然 现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域，即 从精确现象到模糊现象。 实际中，我们处理现实的数学模型可以分成三大类：第一类是确定性数学模型，即 模型的背景具有确定性，对象之间具有必然的关系。第二类是随机性的数学模型，即模 型的背景具有随机性和偶然性。第三类是模糊性模型，即模型的背景及关系具有模糊性。 1.2 基本概念 1.2.1 模糊集和隶属函数 定义 1 论域 X 到[0,1]闭区间上的任意映射 μ A ： X → [0,1]
x→4，(x) 都确定X上的一个模糊集合A,4,叫做A的求属函数，山，(x)叫做x对模糊集A的 隶屈度，记为： A={(x,(x)川x∈X) 使4，(x)=0.5的点x称为慎糊集A的过渡点，此点最具模糊性。 显然，模糊集合A完全由隶属函数4，来刻画，当4，(x)=O,时，A退化为 个普通集。 122模糊集合的表示方法 当论域X为有限集时，记X={x,x2,x,},则X上的模糊集A有下列三种常 见的表示形式。 i)adeh表示法 当论域X为有限集时，记X={化，x,x},则X上的模糊集A可以写成 420“2,2 注：“∑”和“”不是求和的意思，只是概括集合诸元的记号：L)不足 X. 分数，它表示点x,对模糊集A的求属度是4，(x)。 )序偶表示法 A={(x4(3),(x,4(x,.,(x,4(xn)} 向量表示法 A=(u(x)4(x2.,4(xn》 当论域X为无限集时，X上的模糊集A可以写成 58
-258- x (x) → μ A 都确定 X 上的一个模糊集合 A ， μ A 叫做 A 的隶属函数， (x) μ A 叫做 x 对模糊集 A 的 隶属度，记为： A {(x, (x))| x X} = μ A ∈ 使 (x) = 0.5 μ A 的点 0 x 称为模糊集 A 的过渡点，此点最具模糊性。 显然，模糊集合 A 完全由隶属函数 μ A 来刻画，当 (x) = {0,1} μ A 时， A 退化为一 个普通集。 1.2.2 模糊集合的表示方法 当论域 X 为有限集时，记 { , , , } 1 2 n X = x x L x ，则 X 上的模糊集 A 有下列三种常 见的表示形式。 i) zadeh 表示法 当论域 X 为有限集时，记 { , , , } 1 2 n X = x x L x ，则 X 上的模糊集 A 可以写成 n A A A n n i i A x x x x x x x i A ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 μ μ μ μ = ∑ = + + + = L 注：“∑ ”和“+”不是求和的意思，只是概括集合诸元的记号；“ i A i x μ (x ) ”不是 分数，它表示点 i x 对模糊集 A 的隶属度是 ( ) A i μ x 。 ii) 序偶表示法 {( , ( )),( , ( )), ,( , ( ))} 1 A 1 2 A 2 n A n A = x μ x x μ x L x μ x iii) 向量表示法 ( ( ), ( ), , ( )) A 1 A 2 A n A = μ x μ x L μ x 当论域 X 为无限集时， X 上的模糊集 A 可以写成
f 注：“∫”也不是表示积分的意思，“4，)”也不是分数。 例1设论域X={x140),x2(150),x,(160),x,(170),x,180),x(190)(单位 cm)表示人的身高，X上的一个模糊集“高个子(A)的求属函数4，(x)可定义为 x-140 μ.(x)=190-140 用：adeh表示法， A=0+02+04,06081 X X2 X X4 X5 x6 用向最表示法 A=(0.0.2.0.4,0.6,0.81) 例2设论域X=[0,】,Fuy集A表示“年老”，B表示“年轻”，Zadeh给出A、 B的隶屈度函数分别为 0 0sxs50 4(x)= +-s0T 50<x≤100 5 1 0≤x≤25 B(x)= 加+-25 25≤x≤100 5 4(70)≈0.94，即“70岁”属于“年老”的程度为0.94。又易知A(60)≈0.8， B(60)≈0.02，可认为“60岁”是“较老的”。 +产-0 A=“年老”= 5 -259
-259- ∫ ∈ = x X A x x A μ ( ) 注：“ ∫ ”也不是表示积分的意思，“ i A i x μ (x ) ”也不是分数。 例 1 设论域 { (140), (150), (160), (170), (180), (190)} 1 2 3 4 5 6 X = x x x x x x (单位: cm)表示人的身高， X 上的一个模糊集“高个子”( A )的隶属函数 (x) μ A 可定义为 190 140 140 ( ) − − = x x μ A 用 zadeh 表示法， 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x x x x x x A = + + + + + 用向量表示法， A = (0,0.2,0.4,0.6,0.8,1) 例 2 设论域 X = [0,1]，Fuzzy 集 A 表示“年老”，B 表示“年轻”，Zadeh 给出 A 、 B 的隶属度函数分别为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≤ − + ≤ ≤ = − − ) ] 50 100 5 50 [1 ( 0 0 50 ( ) 2 1 x x x A x ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ − + ≤ ≤ = − ) ] 25 100 5 25 [1 ( 1 0 25 ( ) 2 1 x x x B x A(70) ≈ 0.94 ，即“70 岁”属于“年老”的程度为 0.94。又易知 A(60) ≈ 0.8 ， B(60) ≈ 0.02 ，可认为“60 岁”是“较老的”。 A ＝“年老”＝ ∫ − − − + 100 50 2 1 ) ] 5 50 [1 ( x x
B=“年经”=心1+m一了 12.3模糊集的运算 常用取大“V”和取小“人”算子来定义Fu四集之间的运算。 定义2对于论域X上的模糊集A,B,其隶属函数分别为4，(x),“a(x) )若对任意x∈X,有4(x)≤4，(x),则称A包含B,记为BCA 的若ASB且BSA,则称A与B相等，记为A=B。 定义3对于论域X上的模糊集A,B, i)称Fuz四y集C=AUB,D=AnB为A与B的并(union)和交(intersection, 即 C=(AU B)(x)=max(A(x),B(x)=A(x)v B(x) D=(A0 B(x)=min(A(x),B(x)=A(x)B(x) 他们相应的隶属度c(x),4(x)被定义为 4c(x)=max{(x)4s(x)月 4o(x)=min{u(x),4(x)} i)Fuz心y集AF为A的补集或余集(complement),其隶属度 4(x)=1-4,(x) 例3己知 X={1,2,3,4,5,67,8}, 4=03+05080.40.1 8=024030905 3456 则有 -260-
-260- B ＝“年轻”＝ ∫ ∫ − − + + 100 25 2 1 25 0 ) ] 5 25 [1 ( 1 x x x 1.2.3 模糊集的运算 常用取大“∨”和取小“∧”算子来定义 Fuzzy 集之间的运算。 定义 2 对于论域 X 上的模糊集 A ， B ，其隶属函数分别为 (x) μ A ， (x) μ B 。 i) 若对任意 x∈ X ，有 (x) (x) μ B ≤ μ A ，则称 A 包含 B ，记为 B ⊆ A ； ii) 若 A ⊆ B 且 B ⊆ A ，则称 A 与 B 相等，记为 A = B 。 定义 3 对于论域 X 上的模糊集 A ， B ， i) 称 Fuzzy 集C = AU B ，D = AI B 为 A 与 B 的并（union）和交（intersection）， 即 C = (AU B)(x) = max{A(x),B(x)} = A(x) ∨ B(x) D = (AI B(x) = min{A(x),B(x)} = A(x) ∧ B(x) 他们相应的隶属度 (x), (x) μ C μ D 被定义为 (x) max{ (x), (x)} μ C = μ A μ B (x) min{ (x), (x)} μ D = μ A μ B ii) Fuzzy 集 C A 为 A 的补集或余集(complement)，其隶属度 (x) 1 (x) μ AC = − μ A 例 3 已知 X = {1,2,3,4,5,6,7,8,}， 5 0.1 4 0.4 3 0.8 2 0.5 1 0.3 A = + + + + ， 6 0.5 5 0.9 4 0.3 3 0.2 B = + + + ， 则有
4UB=03+0540804,09,05 1+234+5+6 AnB=02+03+01 4 f-2+号0+6 12.4隶属函数的确定方法 模糊数学的基本思想是隶属度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建 立符合实际的求属函数。如何确定一个模糊集的求属函数至今还是尚未解决的问题。这 里仅仅介绍儿种常用的确定隶属函数的方法。 (1)模糊统计方法 模糊统计方法是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客 观存在性来确定的。所谓的模糊统计试验包含以下四个要素： )论域X: 的X中的一个固定元素x: 的X中一个随机变动的几何A”(普通集)： )X中一个以A作为弹性边界的模糊集A,对A的变动起若制约作用。其中 x∈A,或者x生A,致使x,对A的关系是不确定的。 假设做n次模糊统计试验，则可计算出 对A的来属频率=。∈A的次数 实际上，当n不断增大时，求屈频率趋于稳定，其频率的稳定值称为x。对A的求属度， 即 4,化)=m名e4的次数 (2)指派方法 -261
-261- AU B ＝ 6 0.5 5 0.9 4 0.4 3 0.8 2 0.5 1 0.3 + + + + + ， AI B ＝ 5 0.1 4 0.3 3 0.2 + + ， = C A 8 1 7 1 6 1 5 0.9 4 0.6 3 0.2 2 0.5 1 0.7 + + + + + + + 。 1.2.4 隶属函数的确定方法 模糊数学的基本思想是隶属度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建 立符合实际的隶属函数。如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未解决的问题。这 里仅仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。 （1）模糊统计方法 模糊统计方法是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客 观存在性来确定的。所谓的模糊统计试验包含以下四个要素： i) 论域 X ； ii) X 中的一个固定元素 0 x ； iii) X 中一个随机变动的几何 * A (普通集)； iv) X 中一个以 * A 作为弹性边界的模糊集 A ，对 * A 的变动起着制约作用。其中 * x0 ∈ A ，或者 * x0 ∉ A ，致使 0 x 对 A 的关系是不确定的。 假设做n 次模糊统计试验，则可计算出 0 x 对 A 的隶属频率＝ n x0 ∈ A* 的次数 实际上，当 n 不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为 0 x 对 A 的隶属度， 即 ( )0 x μ A ＝ n x A n 0 * 的次数 lim ∈ →∞ （2）指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集求属函 数的一种方法。 如果模糊集定义在实数域R上，则模糊集的隶屈函数称为模糊分布。所谓指派方 法就是根据问题的性质主观地选用某些形式地模糊分布，再根据实际测量数据确定其中 所包含地参数，常用的模糊分布如表1所示。 实际中，根据问题对研究对象的描述来选择适当的模糊分布： ①偏小型模糊分布一般适合于描述像“小，少，浅，淡，冷，疏，青年”等偏小 的程度的模糊现象。 ②偏大型模糊分布一般适合于描述像“大，多，深，浓，热，密，老年”等偏大 的程度的模糊现象。 ③中间型模糊分布一般适合于描述像“中，适中，不太多，不太少，不太深，不 太浓，暖和，中年”等处于中间状态的模糊现象。 但是，表1给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步修 改进行完善，最后得到近似程度更好的隶属函数。 (3)其它方法 在实际应用中，用来确定模糊集的隶属函数的方法示多种多样的，主要根据问题的 实际意义来确定。譬如，在经济管理、社会管理中，可以借助于已有的“客观尺度”作 为模糊集的隶属度。下面举例说明。 如果设论域X表示机器设备，在X上定义模糊集A=“设备完好”，则可以用“设 备完好率”作为A的隶属度。如果X表示产品，在X上定义模糊集A=“质量稳定”， 则可以用产品的“正品率”作为A的隶属度。如果X表示家庭，在X上定义模糊集A =“家庭贫困”，则可以用“Egl系数=食品消费/总消费”作为A的求属度。 另外，对于有些模糊集而言，直接给出隶属度有时是很困难的，但可以利用所谓的 “二元对比排序法”来确定，即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出 顺序，然后用数学方法加工处理得到所需的隶属函数。 -262
-262- 指派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函 数的一种方法。 如果模糊集定义在实数域 R 上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布。所谓指派方 法就是根据问题的性质主观地选用某些形式地模糊分布，再根据实际测量数据确定其中 所包含地参数，常用的模糊分布如表 1 所示。 实际中，根据问题对研究对象的描述来选择适当的模糊分布： ① 偏小型模糊分布一般适合于描述像“小，少，浅，淡，冷，疏，青年”等偏小 的程度的模糊现象。 ② 偏大型模糊分布一般适合于描述像“大，多，深，浓，热，密，老年”等偏大 的程度的模糊现象。 ③ 中间型模糊分布一般适合于描述像“中，适中，不太多，不太少，不太深，不 太浓，暖和，中年”等处于中间状态的模糊现象。 但是，表 1 给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步修 改进行完善，最后得到近似程度更好的隶属函数。 （3）其它方法 在实际应用中，用来确定模糊集的隶属函数的方法示多种多样的，主要根据问题的 实际意义来确定。譬如，在经济管理、社会管理中，可以借助于已有的“客观尺度”作 为模糊集的隶属度。下面举例说明。 如果设论域 X 表示机器设备，在 X 上定义模糊集 A ＝“设备完好”，则可以用“设 备完好率”作为 A 的隶属度。如果 X 表示产品，在 X 上定义模糊集 A ＝“质量稳定”， 则可以用产品的“正品率”作为 A 的隶属度。如果 X 表示家庭，在 X 上定义模糊集 A ＝“家庭贫困”，则可以用“Engel 系数＝食品消费/总消费”作为 A 的隶属度。 另外，对于有些模糊集而言，直接给出隶属度有时是很困难的，但可以利用所谓的 “二元对比排序法”来确定，即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出 顺序，然后用数学方法加工处理得到所需的隶属函数
表1常用的模糊分布 型 偏小型 中间型 偏大型 矩 asxsb 0,xb -6a [x-a x≤a b-a' asxsb 0, x b x>6 xb d-xy.csxsd 型 d-c x>b xb =1-cn-,x2d 公 x≤a x≤a “= 型 4,=m:9} u-h-} x≤a 0. x≤a 1 1 =+a(x-ay 1 西型 (l+a(x-ay.x>a (I+ax-ay.x>a (a>0,B为正偶数) (a>0,B>0) (a>0,B>0) 1.3模糊关系、模糊矩阵 -263
-263- 表 1 常用的模糊分布 类 型 偏小型 中间型 偏大型 矩 阵 型 ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ = x a x a A 0, 1, μ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = x a x b a x b A 0, 或 1, μ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ − − ≤ = x b a x b b a b x x a A 0, , 1, μ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ − − ≤ ≤ − − ≤ = x b a x b b a b x x a k A 0, ( ) , 1, μ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ − − ≤ = − − e x a x a A k x a , 1, ( ) μ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ ≤ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ≤ = x a x a x a A exp , 1, 2 σ μ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − 2 exp σ μ x a A ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − ≤ = x a x a x a A 1 exp , 0, 2 σ μ 柯 西 型 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > + − ≤ = x a x a x a A , 1 ( ) 1 1, β α μ (α > 0, β > 0) β α μ 1 ( ) 1 x a A + − = (α > 0, β 为正偶数) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > + − ≤ = − x a x a x a A , 1 ( ) 1 0, β α μ (α > 0, β > 0) 1.3 模糊关系、模糊矩阵
13.1基本概念 定义4设论域U,V,乘积空间上U×V={(u,v)!∈U,v∈仍上的一个模糊 子集R为从从集合U到集合V的模糊关系。如果模糊关系R的隶屈函数为 g:UxV→[0，(x,y)→4(x,y) 则称隶属度4(x,)为(x,y)关于模糊关系R的相关程度。 这是二元模糊关系的数学定义，多元模糊关系也可以类似定义。 设U={,x2,.,xn,V=y,2,.,yn},R为从从U到V的模糊关系，其 隶属函数为4R(xy)，对任意的(x,y,)∈U×V有4(：，y,)=r,∈0， i=1,2,.,mj=1,2,.,n,记R=()m则R就是所谓的模糊矩阵。下面给出 般的定义。 定义5设矩阵R=(化)m’且r,∈[0，则，i=l2,m,j=12,.,n,则R称 为模糊矩阵 特别地，如果r,∈{0,1}，i=1,2.,mj=1,2,.,n,则称R为布尔Bol)矩阵。 当模糊方阵R=(亿，)的对角线上的元素r,都为1时，称R为模糊自反矩阵， 当m=1或者n=1时，相应地模糊矩阵为R=(,.,)或者 R=(,h,.,)了，则分别称为模糊行向量和模糊列向量。 例4设评定科研成果等级的指标集为U=(,x2,x),x表示为科研成果发 明或创造、革新的程度，X,表示安全性能，x表示经济效益，x4表示推广前景，x,表 示成熟性：V表示定性评价的评语论域厂=（少，2，少，），乃，分别表示很 好、较好、一般、不好。通过专家评审打分，按下表给出U×上每个有序对(x,y,)指 定的隶属度。 -264-
-264- 1.3.1 基本概念 定义 4 设论域U ，V ，乘积空间上U ×V = {(u, v) u ∈U, v ∈V}上的一个模糊 子集 R 为从从集合U 到集合V 的模糊关系。如果模糊关系 R 的隶属函数为 μ R ：U ×V → [0,1]， (x, y) a (x, y) μ R 则称隶属度 (x, y) μ R 为(x, y)关于模糊关系 R 的相关程度。 这是二元模糊关系的数学定义，多元模糊关系也可以类似定义。 设 { }m U x , x , , x = 1 2 L ，V = {y1 , y2 ,L, yn }， R 为从从U 到V 的模糊关系，其 隶属函数为 (x, y) μ R ，对任意的 ( , ) i j x y ∈ U ×V 有 ( , ) = ∈[0,1] R i j ij μ x y r ， i = 1,2,L,m, j = 1,2,L,n ，记 ij m n R r = × ( ) ，则 R 就是所谓的模糊矩阵。下面给出一 般的定义。 定义 5 设矩阵 ij m n R r = × ( ) ，且 ∈[0,1] ij r ，i = 1,2,L,m, j = 1,2,L,n ，则 R 称 为模糊矩阵。 特别地，如果 ∈{0,1} ij r ，i = 1,2,L,m, j = 1,2,L,n ，则称 R 为布尔(Bool)矩阵。 当模糊方阵 ij n n R r = × ( ) 的对角线上的元素 ij r 都为 1 时，称 R 为模糊自反矩阵。 当 m = 1 或 者 n = 1 时，相应地模糊矩阵为 ( , , , ) 1 2 n R = r r L r 或 者 T n R (r ,r , ,r ) = 1 2 L ，则分别称为模糊行向量和模糊列向量。 例 4 设评定科研成果等级的指标集为 ( , , , ) 1 2 5 U = x x L x ， 1 x 表示为科研成果发 明或创造、革新的程度， 2 x 表示安全性能， 3 x 表示经济效益， 4 x 表示推广前景， 5 x 表 示成熟性；V 表示定性评价的评语论域 ( , , , ) 1 2 3 4 V = y y y y ， 1 2 3 4 y , y , y , y 分别表示很 好、较好、一般、不好。通过专家评审打分，按下表给出U ×V 上每个有序对( , ) i i x y 指 定的隶属度
表2有序对(x,y,)指定的隶属度 ”很好 2较好 为一般 4不好 0.45 035 0.15 005 030 0.34 0.10 026 3 050 0.30 0.10 0.10 Xa 0.60 0.30 0.05 0.05 0.56 0.10 0.20 0.14 由此确定一个从U到V的模糊关系R,这个模糊关系的隶属度函数是一个5×4阶 的矩阵，记为 (0.450.350.150.05 0.30.340.10.26 R=0.50.30.10.1 0.60.30.050.05 0.560.10.20.14 则R为一个模糊关系矩阵。 1.3.2模糊矩阵的运算及其性质 (1)模糊矩阵间的关系及并、交、余运算 定义6设A=(a)m,B=(b)m,i=1,2,.,m,j=1,2,.,n都是模糊矩阵， 定义 )相等： A=B台ag=b, 的包含： A≤Ba,≤b, 并： AUB=(avb,）mm: -265
-265- 表 2 有序对( , ) i i x y 指定的隶属度 V y1 很好 y2 较好 y3 一般 y4 不好 x1 0.45 0.35 0.15 0.05 x2 0.30 0.34 0.10 0.26 x3 0.50 0.30 0.10 0.10 x4 0.60 0.30 0.05 0.05 x5 0.56 0.10 0.20 0.14 由此确定一个从U 到V 的模糊关系 R ，这个模糊关系的隶属度函数是一个 5×4 阶 的矩阵，记为 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0.56 0.1 0.2 0.14 0.6 0.3 0.05 0.05 0.5 0.3 0.1 0.1 0.3 0.34 0.1 0.26 0.45 0.35 0.15 0.05 R 则 R 为一个模糊关系矩阵。 1.3.2 模糊矩阵的运算及其性质 (1) 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算 定义 6 设 A = aij m×n ( ) ，B = bij m×n ( ) ，i = 1,2,L,m, j = 1,2,L,n 都是模糊矩阵， 定义 i) 相等： A = B ⇔ aij = bij ； ii) 包含： A ≤ B ⇔ aij ≤ bij ； iii) 并： A B = aij ∨ bij m×n U ( ) ； y u x
v)交： AnB=(dybe) v)余： Ac =(1-ag)mon 设408时-： us-48gns-8g)4-8阁 (2)模糊矩阵的合成 定义7设A=(ak)’B=(亿)m,称模糊矩阵 AoB=(Cy) 为A与B的合成，其中 cy=max《au by巾sk≤s} 例6设A=04070) （10.7 ,B=0.40.6,则 10.80.5 00.3 0.70.70.5 a-0489 ，BoA=0.60.60.5 0.30.30.3 两模糊矩阵合成的MATLAB函数如下： function ab=synt(a,b); m=size(a,1);n=size(b,2) for i-1:m for j=1:n ab(i,j)-max (min([a(i,::b(:j)])); end end -266-
-266- iv) 交： A B = aij ∧ bij m×n I ( ) v) 余： ij m n C A a = − × (1 ) 例 5 设 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0.3 0.5 1 0.1 A ， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0.4 0.9 0.7 0 B ，则 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0.4 0.9 1 0.1 AU B ， ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0.3 0.5 0.7 0 AI B ， = C A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0.7 0.5 0 0.9 (2) 模糊矩阵的合成 定义 7 设 A = aik m×s ( ) ， B = bkj s×n ( ) ，称模糊矩阵 ij m n A B c = × o ( ) 为 A 与 B 的合成，其中 cij = max{(aik ∧ bkj )1 ≤ k ≤ s} 例 6 设 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0.8 0.5 0.4 0.7 0 A ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0.3 0.4 0.6 1 0.7 B ，则 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0.7 0.4 0.6 Ao B ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0.3 0.3 0.3 0.6 0.6 0.5 0.7 0.7 0.5 B o A 两模糊矩阵合成的 MATLAB 函数如下： function ab=synt(a,b); m=size(a,1);n=size(b,2); for i=1:m for j=1:n ab(i,j)=max(min([a(i,:);b(:,j)'])); end end