前 线性代数课程是高等学校普遍开设的一门重要的数学基础 课。在全国统一命题的硕士研究生人学数学考试中，线性代数内 容占25%左右（满分150分）。其中“数学一”含三小题、两大题， 共30分；“数学二”含三小题、两大题，共33分；“数学三”和“数学 四”均含三小题、两大题，共38分。 线性代数这门课程具有理论上的抽象性、逻辑推理的严密性 和工程应用的广泛性。读者在学习线性代数时，往往感到抽象难 懂，对基本概念及定理结论在理解上感到困难；对如何把所学内容 具体应用到解题上感到缺少思路，难以下手；对于课程结束时的考 试和考研的相关内容把握不准，迫切需要得到具体指导与帮助。 本书就是为解决这些问题而编写的。 本书按照同济大学数学教研室编的最新版《线性代数》（第四 版)的自然章编排，每一章由以下六部分内容构成： 一、考点研究一一编写该部分的目的主要是使读者明确本章 的重点、常考点以及应掌握的程度。编写中参考了《全国硕士研究 生入学统一考试一数学考试大纲》和西北工业大学等国内重点 高等学校制订的《线性代数教学大纲》，并将其内容加以细化和归 纳，使学生能够正确把握教学、学习和考试的要求。 二、重要结论与公式—本部分将相应章节的内容进行了简 明扼要的叙述、归纳和总结，部分内容列表或借助框图直观地进行 了说明。对于有些内容未按章节顺序给出，这是由于线性代数的 知识前后联系紧密，相互渗透，集中给出有利于加深读者对基本概 念、公式、定理等重点内容的理解和正确应用。 ·1·
三、主要方法一本部分给出了相应章节一些主要计算过程 的描述，以使读者熟悉具体计算步骤，提高动手能力。 四、常考题型及考研典型题精解一精选了线性代数中具有 代表性的部分典型例题，通过对典型例题的解题分析，归纳出线性 代数中一些问题的解决方法和技巧，使读者可以举一反三、触类旁 通。对于那些需要了解更多典型题的读者，可参阅《线性代数典型 题分析解集》（第2版）（西北工业大学出版社，2000）。 五、课后习题全解一本部分给出了《线性代数》（同济大学 第四版)各章习题的全部解答。由于线性代数中解题方法的多样 性，对于具有多种解法或答案的习题，一般只给出一种解法或 答案。 六、学习效果两级测试题及答案一本部分根据线性代数课 程考试和考研内容，精选了适量的自测题，并附有答案和部分提 示。读者可以通过这些测试题进一步掌握解题要领，巩固和加深 对基本概念的理解，增强解决问题的能力，并检验自己对所学知识 掌握的程度。 为了帮助读者了解并适应考试，书末附录中提供了两套线性 代数课程考试真题及解答。建议读者在动手做过习题后，再参阅 答案。 本书由徐仲、陆全分工合作完成。书中的疏漏和不妥之处，敬 请读者指正。 编者 2004年11月于西北工业大学 2
目 录 第一章行列式. .1 一、考点研究.1 二、重要结论与公式.2 三、主要方法.7 四、常考题型及考研典型题精解.8 五、课后习题全解（习题一）.18 六、学习效果两级测试题及答案.33 第二章矩阵及其运算. .37 、考点研究.37 二、重要结论与公式. 39 三、主要方法.43 四、常考题型及考研典型题精解.45 五、课后习题全解（习题二）.54 六、学习效果两级测试题及答案.74 第三章矩阵的初等变换与线性方程组.79 一、考点研究.79 二、重要结论与公式. .81 三、主要方法.84 四、常考题型及考研典型题精解. 86 五、课后习题全解（习题三）.97 六、学习效果两级测试题及答案.120 ·I·
第四章向量组的线性相关性.126 一、考点研究.126 二、重要结论与公式.128 三、主要方法.131 四、常考题型及考研典型题精解.135 五、课后习题全解（习题四）.147 六、学习效果两级测试题及答案. .178 第五章相似矩阵及二次型.187 一、考点研究.187 二、重要结论与公式.190 三、主要方法.195 四、常考题型及考研典型题精解.199 五、课后习题全解（习题五）. 210 六、学习效果两级测试题及答案.245 第六章线性空间与线性变换.255 一、考点研究 .255 二、重要结论与公式.256 三、主要方法.257 四、常考题型及考研典型题精解. 258 五、课后习题全解（习题六）.263 六、学习效果两级测试题及答案.271 附录线性代数考试真题.274 考试真题A .274 考试真题B.276 考试真题A解答 .277 考试真题B解答 .282 ·I·
第一章行列式 行列式是线性代数中的重要工具，在求解线性方程组、求逆矩 阵、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值、判断二次型的正 定性等方面都要用到. 一、考点研究 1.考试内容与考试要求 考试内容行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理 (1)了解n阶行列式的概念，掌握行列式的性质. (2)会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行 考试要求 列式 (3)会用克拉默(Cramer)法则 2.考点分析 行列式是代表某个数的一个记号.计算行列式即是把这个记 号所代表的数具体计算出来.行列式的计算方法很多，技巧性较 强，有关行列式的习题也可以编得很难，但这不一定是考点.在考 研试题的线性代数部分中，纯粹考行列式的题很少，且以低阶行列 式的计算为主，少数的”阶行列式也容易计算.因此，读者应该以 熟悉行列式的性质、掌握行列式的基本计算方法为重点，对于3,4 ·1·
阶行列式能熟练计算，而一般n阶行列式计算只要适当要求即可， 不必很难。 二、重要结论与公式 1.排列的性质 性质1交换排列中任意两个数，将改变排列的奇偶性 n个数1,2，.，n可以构成n!个不同的n阶排列，其中奇、偶排列 性质2 的个数各占罗 性质3 任一n阶排列p1p:“p。与标准排列12.n都可以经过一系列对 换互变，且所做对换的次数与排列p,p:“p,有相同的奇偶性. 2.对角线法则 对于2阶与3阶行列式，可以采用对角线法则来记它们所代 表的数： =a11a2-a12a2 a21ag anaza3+anazsan +anaz ase a13a22a31-a12421a33-a1a23a32 即实线上2个(3个)元素的乘积取正号，虚线上2个(3个)元素的 乘积取负号，再求其代数和就是行列式的值。 3.一些特殊行列式的值 (1)上（下）三角行列式等于其主对角线上元素的乘积，即 2
0 a22 a2 a11a22.a 0 a (2)次二角行列式的值等于次对角线元素的乘积并添加适当 符号，即 an . a a2-1 a2.1 azn a .a-1am (-1)→a1.a2r4.ai (3)分块三角行列式可化为低阶行列式的乘积 a11.a1m0.0| . 0.0 b1. bin bn1. ·3·
.· 0 . 0 . 6n 0 0 b 6. 0 a11 0 0 b .· . an .: 0 0 5 .b 0 . 4
(-1)m am .amb1 (4)范德蒙(Vandermonde)行列式直接套用公式 】 1.1 T2 . x Ⅱ(x:-x,)= x1x1.xW1 (x2-x1)(x3-x1).(xm-x1）X (x3-x2).(xm-x2)X .X (xn-工e1） 4.行列式的基本性质 性质1行列式与其转置行列式的值相等. 性质2行列式中某一行（列）如果有公因数k,则k可以提到 行列式符号外.特别地，若行列式中某行（列）元素全是零，则行列 式的值为零 性质3对换行列式中某两行（列）的位置，行列式的值改变 符号.特别地，如两行（列）元素对应相等或成比例，则行列式的值 是零 性质4如果行列式中某行（列）的每个元素都是两个数的 和，则这个行列式可以拆成两个行列式的和，这两个行列式分别以 ·5·
这两组数作为行（列），其余各行（列）与原行列式相同， 性质5把行列式某行（列）的倍加至另一行（列），行列式 的值不变.（在行列式计算中，往往先用这条性质作恒等变形，以期 简化计算.) 5.行列式按行（列）展开公式 a1a12.an 设D=a2:a:.an ,则 D=aA7十a2A2十.十amAm (i=1,2,.,n) D=aA+azAj++aA (j=1,2,.,n) 其中 a1a1 a1,41 . A=(←1）a-a-war ai-l.n a1l.ar1al1.a1 是a的代数余子式. 6.有关行列式的重要公式 行列式一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积 之和等于零，即 aaA1+a2A2十.+amA=0(i≠j) Q1A,十a2A2)+.十awAw=0(i≠j) 6*