第二章信源与信息熵 2.1信源的数学模型及分类 。2.2离散信源熵和互信息 2.3信息熵的性质 。2.4离散序列信源熵 ·2.5连续信源熵与互信息 ÷2.6信源的冗余度
第二章 信源与信息熵 ❖ 2.1 信源的数学模型及分类 ❖ 2.2 离散信源熵和互信息 ❖ 2.3 信息熵的性质 ❖ 2.4 离散序列信源熵 ❖ 2.5 连续信源熵与互信息 ❖ 2.6 信源的冗余度
2.1 信源的数学模型及分类 。信源分类 连续信源 信源 离散无记忆信源 离散信源 离散有记忆信源 离散无记忆信源：包括发出单个符号的无记忆信源 和发出符号序列的无记忆信源两种。 离散有记忆信源：包括发出符号序列的有记忆信源 和发出符号序列的马尔可夫信源两种
2.1 信源的数学模型及分类 ❖ 信源分类 连续信源 信源 离散无记忆信源 离散信源 离散有记忆信源 离散无记忆信源：包括发出单个符号的无记忆信源 和发出符号序列的无记忆信源两种。 离散有记忆信源：包括发出符号序列的有记忆信源 和发出符号序列的马尔可夫信源两种
假定某一离散信源发出的各个符号消息的集合为： X={x1,x2,.,Xn} 各个符号的先验概率为： P={p(x),p(x2),.,p(xn)} 通常将它们写在一起： 称为概率空间，其中 p(x)≥20 p(x,)=1 i=1 最简单的有记忆信源是=2的情况，此时信源为：仁Ⅺ2，其概率空间为： xx XX2 . XnXn p(xx)p(xx2). p(xx) 对于无记忆信源来说，其联合概率为：p.x)=px)p(x).px,) 若其满足平稳性： p(xx2.xn)=p(x)px2).pxn)=p
各个符号的先验概率为： 1 2 { , , , } X x x x = n 假定某一离散信源发出的各个符号消息的集合为： 1 2 { ( ), ( ), , ( )} P p x p x p x = n 通常将它们写在一起： 称为概率空间，其中 最简单的有记忆信源是N=2的情况，此时信源为：X=X1X2，其概率空间为： 对于无记忆信源来说，其联合概率为： 若其满足平稳性： 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) n n X x x x P p x p x p x = ( ) 0 i p x 1 ( ) 1 n i i p x = = 1 1 1 2 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) n n n n X x x x x x x P p x x p x x p x x = 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n p x x x p x p x p x = 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n p x x x p x p x p x p = =
更一般情况：随机波形信源 ÷实际信源输出的消息常常是时间和取值都是连续 的。这类信源称为随机波形信源。 ÷随机波形信源在某一固定时间o的可能取值是连 续和随机的。对于这种信源输出的消息，可用随 机过程来描述。 ÷例：语音信号X()、热噪声信号n(①)、电视图像信 号X(r(),g(①)，b()等时间连续函数
更一般情况：随机波形信源 ❖ 实际信源输出的消息常常是时间和取值都是连续 的。这类信源称为随机波形信源。 ❖ 随机波形信源在某一固定时间 t0 的可能取值是连 续和随机的。对于这种信源输出的消息，可用随 机过程来描述。 ❖ 例：语音信号X(t)、热噪声信号n(t)、电视图像信 号X(r(t),g(t),b(t))等时间连续函数
2.2离散信源熵和互信息 2.2.1信息量 在一切有意义的通信中，虽然消息的传递意味着信息的传递，但对于接收 者来说，某些消息比另外一些消息却含有更多的信息。消息中的信息量与消 息发生的概率紧密相关，消息出现的概率越小，则消息中包含的信息量就越 大。 为了计算信息量，消息中所含信息量与消息出现的概率(X间的关系式应 当反映如下规律： ①消息中所含信息量偍出现该消息的概率p(X的函数，即I=I[p(x)] ②消息出现的概率越小，它所含的信息量越大；消息出现的概率越大，它所含 的信息量越小；且当p(X)=1时，/=0。 ③若干个互相独立的事件构成的消息，其所含信息量等于各独立事件的信息量 之和，即[p(x)p(x2)=[px】+Lpx】+. 不难看出，若与p(X)之间的关系式为： 满足上述要求。 I=loga p(x) =-loga p(x)
2.2 离散信源熵和互信息 2.2.1 信息量 在一切有意义的通信中，虽然消息的传递意味着信息的传递，但对于接收 者来说，某些消息比另外一些消息却含有更多的信息。消息中的信息量与消 息发生的概率紧密相关，消息出现的概率越小，则消息中包含的信息量就越 大。 为了计算信息量，消息中所含信息量I与消息出现的概率p(x)间的关系式应 当反映如下规律： ① 消息中所含信息量I是出现该消息的概率p(x)的函数，即 ② 消息出现的概率越小，它所含的信息量越大；消息出现的概率越大，它所含 的信息量越小；且当p(x) = 1时，I = 0。 ③ 若干个互相独立的事件构成的消息，其所含信息量等于各独立事件的信息量 之和，即 不难看出，若I与p(x)之间的关系式为： 就可满足上述要求。 I I p x = [ ( )] 1 2 1 2 I p x p x I p x I p x [ ( ) ( ) ] [ ( )] [ ( )] = + + 1 log log ( ) ( ) a a I p x p x = = −
点说明 ÷计算自信息量时要注意有关事件发生概率的计算； 自信息量的单位取决于对数的底； s底为2，单位为“比特(bit,binary unit) ” s底为e,单位为“奈特(nat,nature unit) 6底为l0,单位为“哈特(hat,Hartley)” 6根据换底公式得： l10g。X= logX log a 1 nat=1.44bit,1 hat=3.32 bit; 般计算都采用以“2”为底的对数，为了书写简洁 常把底数“2”略去不写
一点说明 ❖ 计算自信息量时要注意有关事件发生概率的计算； ❖ 自信息量的单位取决于对数的底； 底为2，单位为“比特（bit, binary unit）”； 底为e，单位为“奈特（nat, nature unit）”； 底为10，单位为“哈特（hat, Hartley）”； 根据换底公式得： a X X b b a log log log = ◼ 一般计算都采用以“2”为底的对数，为了书写简洁， 常把底数“2”略去不写 1 nat = 1.44bit , 1 hat = 3.32 bit；
上式中的称为随机事件的自信息量。它的单位与所采用的对数的底有关。 若取a=2,则自信息量的单位为bit;若取a=e,则其单位为nat;若取a=10, 则其单位为det。 对于一个以等概率出现的二进制码元(0,1)，它所包含的信息量为： 1(0)=I(1)=-log:bit=log,2bit=l(bit) 若有个m位的二进制数，其自信息量为：1=-lg:六bi=1e,2"b=mb 即需要mbit信息来指明这样的二进制数。 若有两个消息x,y同时出现，则其自信息量定义为：I(y)=-lgPy) p(y)为联合概率。 若x与y相互独立，即pxy)=px)Py)则有 I(x;y)=1(x)+1(y 若x与y的出现不是相互独立的，而是有联系的，此时，要用条件概率来表示 即在事件y出现的条件下，事件x发生的条件概率，其条件自信息量定义为： I(x;y)=-loga p(xy)
上式中的I称为随机事件的自信息量。它的单位与所采用的对数的底有关。 若取a = 2，则自信息量的单位为bit；若取a = e，则其单位为nat；若取a = 10， 则其单位为det。 对于一个以等概率出现的二进制码元（0，1），它所包含的信息量为： 若有一个m位的二进制数，其自信息量为： 即需要m bit信息来指明这样的二进制数。 若有两个消息xi，yj同时出现，则其自信息量定义为： p(xiyj )为联合概率。 若xi与yj相互独立，即 ，则有 若xi与yj的出现不是相互独立的，而是有联系的，此时，要用条件概率来表示， 即在事件yj出现的条件下，事件xi发生的条件概率，其条件自信息量定义为： 2 2 1 (0) (1) log bit log 2bit 1(bit) 2 I I = = − = = 2 2 1 log bit log 2 bit (bit) 2 m m I m = − = = ( ) log ( ) i j a i j I x y p x y = − ( ) ( ) ( ) i j i j p x y p x p y ( ) ( ) ( ) i j i j = I x y I x I y = + ( | ) log ( | ) i j a i j I x y p x y = −
例题2-1英文字母中“a”出现的概率为0.063，“c”出现的概率为0.023，“e” 出现的概率为0.105，分别计算它们的自信息量。 解：由自信息量的定义式，有 1(a)=-l0g2 0.063bit=3.96bit I(c)=-log,0.023bit 5.44bit I(e)=-log2 0.105bit =3.25bit 例题2-2将二信息分别编码为A和B进行传送，在接收端，A被误收作B的概 率为0.02；而B被误收作A的概率为0.01，A与B传送的频繁程度为2：1。若 接收端收到的是A,计算原发信息是A的条件自信息量。 解：设U0表示发送A,U1表示发送B;V0表示接收A,V1表示接收B。 由题意知： p(Uo)= 2-3 )-3 p1U)=0.02 p(Vo1Uo)=0.98 p%IU)=0.99 p(V1U)=0.01
例题2-1 英文字母中“a”出现的概率为0.063，“c”出现的概率为0.023，“e” 出 现的概率为0.105，分别计算它们的自信息量。 解： 由自信息量的定义式，有 例题2-2 将二信息分别编码为A和B进行传送，在接收端，A被误收作B的概 率为0.02；而B被误收作A的概率为0.01，A与B传送的频繁程度为2:1。若 接收端收到的是A，计算原发信息是A的条件自信息量。 解：设U0表示发送A，U1表示发送B；V0表示接收A，V1表示接收B。 由题意知： 2 I a( ) log 0.063bit 3.96bit = − = 2 I c( ) log 0.023bit 5.44bit = − = 2 I e( ) log 0.105bit 3.25bit = − = 0 2 ( ) 3 p U = 1 1 ( ) 3 p U = 1 0 p V U ( | ) 0.02 = 0 0 p V U ( | ) 0.98 = 0 1 p V U ( | ) 0.01 = 1 1 p V U ( | ) 0.99 = ， ， ，
则接收到A时，原发信息是A的条件概率为： p(U)=(o) p(VolU)p(Uo) p(Vo) p(Vo) p(VolU)p(Uo) pVU)p(U)+pVU)p(U) 0.98×2 098×2+0.01×3 2 3 196 197
则接收到A时，原发信息是A的条件概率为： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) 2 0.98 3 2 1 0.98 0.01 3 3 196 197 p U V p V U p U p U V p V p V p V U p U p V U p U p V U p U = = = + = + =
2.2.2离散信源熵 假设离散信息源是一个由个符号组成的集合，称为符号集。符号集 中每一个符号x在消息中是按一定的概率p()独立出现，其概率空间为： X 且有：∑p(x)=1则，x,.x所包含的信息量分别为： -10g2 p(x),-10g2 p(x2),.,-10g2 p(x) 于是，每个符号所含信息量的统计平均值，即平均信息量为 H(X)=p(x儿-log2px】+p(x2儿-log2px2】+.+pxn)[-log2p(xn】 =-∑pPx)log,px) i=1 由于H同热力学中的熵形式相似，故通常又称它为信息源的熵，简称 匍源熵，其单位为bit/符号
2.2.2 离散信源熵 假设离散信息源是一个由n个符号组成的集合，称为符号集。符号集 中每一个符号xi在消息中是按一定的概率p(xi)独立出现，其概率空间为: 且有： 。则 所包含的信息量分别为： 于是，每个符号所含信息量的统计平均值，即平均信息量为 由于H同热力学中的熵形式相似，故通常又称它为信息源的熵，简称 信源熵，其单位为bit/符号。 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) n n X x x x P p x p x p x = 1 ( ) 1 n i i p x = = 1 2 , , n x x x 2 1 2 2 2 log ( ), log ( ), , log ( ) − − − p x p x p xn 1 2 1 2 2 2 2 2 1 ( ) ( )[ log ( )] ( )[ log ( )] ( )[ log ( )] ( )log ( ) n n n i i i H X p x p x p x p x p x p x p x p x = = − + − + + − = −