第三节一阶微分方程在经济学中的综合应用一、微分方程在经济中的应用二、小结
一、微分方程在经济中的应用 二、小结 第三节 一阶微分方程在经济学中 的综合应用
一、微分方程在经济中的应用1，分析商品的市场价格与需求量（供应量）之间的函数关系例1某商品的需求量x对价格p的弹性为-pln3若该商品的最大需求量为1200（即p=0时，x=1200(p的单位为元，x的单位为干克）试求需求量x与价格p的函数关系，并求当价格为1元时市场上对该商品的需求量解dxP由已知-pln3dpx
１．分析商品的市场价格与需求量(供应量) 之间的函数关系 解 d ln3 d p x p x p 由已知 一 、微分方程在经济中的应用
dx即-x In3dpdx分离变量解此微分方程-In3dpxIn x = -pIn3+ InC两边积分得.. x = Ce-pln3再由p= 0,x=1200得，C=1200.:. x = 1200.3-p当价格为1元时，市场上对该商品的需求量为x = 1200·3-1 = 400(公斤)
d ln3 d x x p 即 分离变量解此微分方程 d ln3d x p x 两边积分得 ln x pln 3 lnC pln3 x Ce 再由 p 0, x 1200得， C 1200 p x 1200 3 1200 3 400 ( ) 1 1 公斤 当价格为 元时，市场上对该商品 的需求量为 x
例2设某种商品，它的价格主要由供求关系决定，设供给量S与需求量D均是依赖于价格的线性函数S=-a +bp(a,b,c,d为常数)D=c-dpa+c显然当供大于当供求平衡时，平衡价格pb+d求即S>D时，则价格p下降；当求大于供即D>S时，则价格p上升。现若价格是时间t的函数p=p(t），在时间t时，价格的变化率与此时刻的过剩需求量D-S成正比，即dpP=α(D-S)，其中α为大于0 的常数，试求价格pdt与时间t的函数关系.（设初始价格p(O)=Po)
dp解α>0牟由已知= α(D- S)dtdp即= α(c-dp+ a-bp) = α(a+c)-α(b+ d)pdtdp即+α(b+d)p=α(a+c)dt其通解为p= e- a a(te a"dt + c)这里p(t) =α(b+d),q(t) =α(a +c)α(a+c)-a(b+d)ta(b+d)所以p = ce-α(b+d)t Tα(b + d)
解 d ( ) d p D S t 由已知 d ( d ) ( ) ( ) d p c p a bp a c b d p t 即 d ( ) ( ) d p b d p a c t 即 ( )d ( )d ( ( ) d ) p t t p t t p e q t e t c 其通解为 这里p(t) (b d ),q(t) (a c) b d t b d t b d t e e b d a c p ce α ( ) α ( ) α ( ) α( ) α( ) 所以 0
a+c= ce -α(b+d)te-a(b+d)t + pceb+d由p(O)= Po代入上式，得c= P。-p故所求价格p与时间t的函数关系为=(Po -P)e-a(b+d) + P显然当t→8,p→P,即价格趋于平衡价格
ce p b d a c ce b d t b d t ( ) ( ) p p c p p 0 0 由 (0) 代入上式，得 故所求价格 p与时间 t的函数关系为 p p p e p b d t ( ) 0 ( ) 显然当t , p p,即价格趋于平衡价格
例3（逻辑斯谛曲线）在商品销售预测中，时刻t的销售量用x=x（t）表示，如果商品销售的增长速率dx(t)正比于销售量×（t）及与销售接近饱和水平的dt程度α一x(t)之乘积(α为饱和水平)求销售量函数atx(t) .解：据题意，可建立微分方程01dx()= ka(t)(α-x(1),其中k为比例因子dtdx(t)分离变量：=kdtx(t)(α -x(t)
解：据题意，可建立微分方 程 d ( ) ( )( ( )), d x t kx t x t k t 其中 为比例因子 d ( ) : d ( )( ( )) x t k t x t x t 分离变量 0 t x a
1dx(t)= kdtx(t)α-x(t)αx(t)Inα kt + C,(C,为任意常数a -x(t)x(t)αkt+C:C,eakt(C,为任意常数）*α -x(t)从而可得通解为aC,eaktα(C为任意常数）x(t1 + Ce -akt1 + C,eakt
1 1 1 d ( ) d ( ) ( ) x t k t x t x t α ( ) ( ) ( ) ln kt C1 C1为任意常数 a x t x t ( ) ( ) ( ) 2 2 e 1 C e C 为任意常数 x t x t kt C kt 从而可得通解为 ( ) 1 1 ( ) 2 2 C为任意常数 C e Ce C e x t kt kt kt
2，分析产量、收入、成本及利润之间的函数关系例4在某池塘内养鱼，由于条件限制最多只能养1000条.在时刻t的鱼数y是时间t的函数y=y（t），其变化率与鱼数y和1000-y的乘积成正比.现已知池塘内放养鱼100条，3个月后池塘内有鱼250条，求t月后池塘内鱼数y（t）的公式.问6个月后池塘中有鱼多少？解：dy由已知=250ky(1000-y), yl-= 100, ydt解此微分方程
例 4 在某池塘内养鱼，由于条件限制最多只能养 1000 条.在时刻 t 的鱼数 y 是时间 t 的函数 y=y(t)，其变化 率与鱼数 y 和 1000-y 的乘积成正比.现已知池塘内放养 鱼 100 条，3 个月后池塘内有鱼 250 条，求 t 月后池塘 内鱼数 y(t)的公式.问 6 个月后池塘中有鱼多少？ 解： 0 3 d (1000 ), 100, 250 d t t y ky y y y t 由已知 解此微分方程 ２．分析产量、收入、成本及利润之间的函 数关系
y1000kt=ce1000 - y将l=。 = 100,以l=3 = 250代入得100C1000-1002503000kce1000 -250In3解得C93000即月后鱼数与时间的函数关系为
kt ce y y 1000 1000 将y t0 100, y t3 250代入得 k ce c 3000 1000 250 250 1000 100 100 3000 ln 3 , 9 1 解得C k 即t月后鱼数与时间的函数 关系为