第二节一阶微分方程可分离变量的微分方程齐次方程二、三、一阶线性微分方程四、变量代换法解方程五、小结与思考题
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 四、变量代换法解方程 第二节 一阶微分方程 三、一阶线性微分方程 五、小结与思考题
、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程g(y)dy = f(x)dxdy2x"y5 =→ y5dy = 2x'dx,例如dx解法设函数g(y)和f(x)是连续的分离变量法g(y)dy = J f(x)dx设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和 f(x)的原函数，G(y)= F(x)+C 为微分方程的解
一、可分离变量的微分方程 g( y)dy f (x)dx 可分离变量的微分方程. 4 2 5 d 2 d y x y x 例如 4 5 2 y dy 2x dx, 解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的, g( y)dy f (x)dx 设函数G( y)和F( x)是依次为g( y)和 f ( x)的原函 数, G( y) F(x) C 为微分方程的解. 分离变量法
=2xy的通解。例1求微分方程dxdy.解分离变量-=2xdx,ydy=[2xdx,两端积分LInly=x2 +CIy=e+C =e+?Cery=±C,er.y=Ce*为所求通解
例1 求微分方程 d 2 . d y xy x 的通解 解 分离变量 d 2 d , y x x y 两端积分 d 2 d , y x x y 2 1 ln | y | x C . 2 y Ce x 为所求通解 2 2 2 1 1 2 | | . x C x C x y e e e C e 2 2 2 C . x x y C e e
dy例 2求解方程:kydx（指数增长与指数衰减方程）解dy = kdx两端积分，得yIny= kx +c（c为任意常数）kx+c=e°.ekx = Aekx24从而 =e'其中A=e°为任意正常数，所以y =(± A)ek = Bekx
例 2 求 解方程 d d y ky x 1 dy kdx y ln y kx c （指数增长与指数衰减方程） kx Be
y = (± A)ekx= Bekxdy= kx 的解由此可知，微分方程dx当 k>0时总是指数增长的，当 k<0 时，总是指数衰减的
kx Be d d y kx x
例3衰变问题：铀的衰变速度与未衰变原子含量M成正比,已知Mt=o = M,求衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律dM解衰变速度由题设条件dtdMdM-adt:-2M(2>0衰变系数)MdtdMt, In M=-2t+InC, 即M = Ce-^t-adt,M代入M|t=o =M。得 M,=Ce°= C,.. M = M,e-α衰变规律
例 3 衰变问题: 铀的衰变速度与未衰变原子含 量M 成正比,已知M t0 M0 ,求衰变过程中铀含 量M(t)随时间t变化的规律. 由题设条件 d d M t M d d , M t M 代入M t0 M0 ln M t lnC, , t M Ce 即 0 得 M0 Ce C, t M M e 0 衰变规律 解 , dM dt 衰变速度 M ( > 0衰变系数) dt dM
二、齐次方程=f()的微分方程称为齐次方程1.定义形如dxX作变量代换u=即y= xu,2.解法xdudyu+xdxdxdu代入原式,得f (u)u+xdxdu_f(u)-u即可分离变量的方程dxx
二、齐次方程 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 , x y 作变量代换 u 即 y xu, 代入原式,得 d d , d d y u u x x x d ( ), d u u x f u x 可分离变量的方程 1.定义 ( ) x y f dx dy 形如 . ( ) x f u u dx du 即
du当 f(u)-u≠0时, 得= InC,x,f(u)-udu(β(u) =即 x=Ce(u)f(u)-up(当)将u=二代入,得通解x=Cex当uo，使 f(u）-u=O，则u=u,是新方程的解代回原方程，得齐次方程的解 J=u,x
当 f (u) u 0时, , (u) x Ce 即 d ( ) ( ) u u f u u （ ） 将 代入, x y u , ( ) x y x Ce 得通解 , 当 u0 ( ) 0, 使 f u0 u0 , 则 u u0是新方程的解 代回原方程 , . 0 得齐次方程的解 y u x ln , ( ) C1 x f u u du 得
y例4求解微分方程(x-ycos=dy = 0.)dx+ xcosxx(x - ycos当)解y1y山xdxyyxxcos-xcosxx1dudu1+u,u+x即xdxcosudxcosudxsinu=-lnx +Ccosudu :xsin==-lnx+C.微分方程的通解为x
例4 求解微分方程 ( cos )d cos d 0. y y x y x x y x x 令 ， x y u d 1 , d cos u u x u x u d cos d , x u u x sinu ln x C, sin ln x C. x y 微分方程的通解为 解 ( cos ) d 1 , d cos cos y x y y y x x y y x x x x d 1 , d cos 即 u x x u
例4求解微分方程(x - ycos兰)dx + xcos兰dy = 0xx解令u=,则 dy = udx + xdu,x(x -uxcosu)dx + xcosu(udx + xdu) = 0dxcosudu=sinu=-lnx +C.x sin=-lnx+C.微分方程的通解为x
例4 求解微分方程 ( cos )d cos d 0. y y x y x x y x x 令 ， x y u (x uxcosu)dx xcosu(udx xdu) 0, d cos d , x u u x sinu ln x C, sin ln x C. x y 微分方程的通解为 解 则 dy udx xdu