S2牛顿－莱布尼茨公式显然，按定义计算定积分非常困难须寻找新的途径计算定积分.在本节中介绍牛顿一莱布尼茨公式，从而建立了定积分与不定积分之间的联系，大大简化了定积分的计算。返回后页前页
前页 后页 返回 显然, 按定义计算定积分非常困难, §2 牛顿－莱布尼茨公式 须寻找新的途径计算定积分. 在本节中, 介绍牛顿－莱布尼茨公式, 从而建立了 定积分与不定积分之间的联系, 大大简 化了定积分的计算. 返回
若质点以速度v=V（t)作变速直线运动，由定积楚义,质点从时该a到b所经过的路程为s=v(t)dt.另一方面，质点从某时刻a到时刻b所经过的路程记为 s(b)-s(a), 则 sdt)=v(t),于是s = 0 v(t)dt = s(b) - s(a).注意到路程函数s(t)是速度函数v(t)的原函数因此把定积分与不定积分联系起来了，这就是下面的牛顿一莱布尼茨公式邀回后页前页
前页 后页 返回 若质点以速度 v = v (t) 作变速直线运动,由定积 分 注意到路程函数 s(t) 是速度函数 v (t ) 的原函数, 定义,质点从时该a到b所经过的路程为 . 另一方面, 质点从某时刻 a到时刻 b 所经过的路 程记为 s(b)- s(a), 则 于是 因此把定积分与不定积分联系起来了, 这就是下 面的牛顿—莱布尼茨公式
定理9.1 (牛顿一莱布尼茨公式)函数f在[a,bl上满足条件(i)f在[a,bl上连续(ii)f 在[a,b] 上有原函数F,则(1)f 在[a,bl 上可积;(2) f(x)dx- F(x)。- F(b)- F(a).巡回后页前页
前页 后页 返回 定理9.1 (牛顿—莱布尼茨公式) 函数 f 在 [a, b] 上满足条件: (i) f 在 [a, b] 上连续, (ii) f 在 [a, b] 上有原函数 F, 则 (1) f 在 [a, b] 上可积;
"e>0, $d >0.证因f在[a,bl上一致连续当xg [a,b], x x<d 时,L f(xg- f(xke.任取 x, I [xi-1,x,l, i=1,2,L,n. 又F在[x,1,x,]上满足拉格朗日中值定理条件，Sh,i[x.i,xl,F(x,)- F(xi.1)= Fdh,)Dx, = f(h,)Dx;,于是后页巡回前页
前页 后页 返回 证 因 f 在 [a, b] 上一致连续, 则 任取 又 F 在 上满足拉格朗日中值定理条件, 于是
=a f(x,)Ax,- (F(b)- F(a)i-1af(x,)Ax, - a (F(x)- F(xi.1)一i-1i-104n-ar0,si-1i=1nfa If(x,)- f(h,)lAr, ta e Ax, =e(b- a).i-1i-1因此, 0 f(x)dx= F(b)- F(a)=F(x)后页巡回前页
前页 后页 返回
注1 以后将证明,若f 在[a,bl上连续,则f在[h必有原函数F(x).因此条件(ii)是多余的注2条件(i)不是必要条件，以后将举例说明，存数 f 在[a, bl 上有间断点,但 f 在[a, b]上仍积.例2求0rdx.解Yor"dx=(bn+1后页巡回前页
前页 后页 返回 注1 以后将证明, 若 f 在 [a, b]上连续, 则 f 在 [a, b] 注2 条件 (i)不是必要条件, 以后将举例说明, 存 在 例2 解 上必有原函数 F (x). 因此条件 (ii) 是多余的. 函 数 f 在 [a, b] 上有间断点, 但 f 在 [a, b]上仍 积可
dx例3 求1- x2解dx元-areinti-f.0-V1- x?例4求0xV4-x'dx.解380r/4-r'dx=.(4-ryA3用牛顿一莱布尼茨公式还可以求一些和式的极限巡回后页前页
前页 后页 返回 例3 解 例4 解 用牛顿—莱布尼茨公式还可以求一些和式的极限
"a例5求limnRYYi11-n"a在[0, 1]解易见lim是函数f(x)=1nR?1+xnn上黎曼和的极限.其中分割和介点分别为T, :0<1<L<"-l<1,nni =1, 2,L ,n.福n回后页前页
前页 后页 返回 例5 解 上黎曼和的极限.其中分割和介点分别为
oa因此limdxin-Q01+xnRYi-11 +n= In(1 + x) l, = In 2.例6 求 lim(1+ )(1+2)L (1+")nRYEnnno1解令,-Ig++(1+n6nn01aIn1+=2nni-1邀回后页前页
前页 后页 返回 因此 例6 解 令
则lima, =@In(1+ x)dxnRY=[(1 + x)In(1 + x) - (x +1),= 2ln2 - 1.因此1Onnlim(1+-)(1+=)L (1+=)nR?1nnn0Aliman2ln2- 1eee巡回后页前页
前页 后页 返回 因此 则