第五章第二节微积分基本公式实际问题一、二、积分上限函数三、微积分基本公式HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页返回下页结束
二、积分上限函数 三、微积分基本公式 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 微积分基本公式 第五章 一、实际问题
实际问题一、在变速直线运动中,已知位置函数 s(t)与速度函数v(t)之间有关系s'(t) = v(t)物体在时间间隔[T，T,1内经过的路程为v(t)dt = s(T2) - s(T)这里s(t)是v(t)的原函数这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性HIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束
一、实际问题 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t) = v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T = − 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
积分上限函数二、定理1.若f(x)EC[a,b],则变上限函数f(x)V=DD(x)=f(t)dtΦ(x)是f(x)在[α,bl上的一个原函数b xaXE证：Vx,x+he[a,b],则有x+hΦ(x + h)-Φ(x)cx+hf(t)dt-{f(t)dt ]hx+hf(t)dt=f(=) (x0HIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束机动
y = f (x) a b x o y (x) x x + h 二、积分上限函数 则变上限函数 = x a (x) f (t)d t 证: x , x + h [a , b] , 则有 h (x + h) − (x) h 1 = − + x a x h a f (t)d t f (t)d t + = x h x f t t h ( )d 1 = f ( ) (x x + h) h x h x h ( ) ( ) lim 0 + − = → lim ( ) 0 f h→ (x) = = f (x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理1. 若
说明：1）定理1证明了连续函数的原函数是存在的f(t)dt =-f(x)2)变限积分求导dx:rp(x)f(t)dt= f [p(x)lp'(x)dxadrp(x)p(x)a-f(t)dtf(t)dt :f(t)dt+y(x)dxJy(x)adxC= f [@(x)l@'(x)- f [y(x)ly'(x)HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 变限积分求导: ( ) ( )d d d x a f t t x = f [(x)](x) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ) ( ) ( )d d d x x f t t x = f [(x)](x) − f [ (x)](x) + = ( ) ( ) ( )d ( )d d d x a a x f t t f t t x
F(x)=J° (t2 +1)dsintF()=_dtF(x)=J。 sin(t2 +1)dtsinxF(x)=In (t2 + 2)dtcosxHIGHEDUCATION PRESS
t costdt/lim -例. 求x→01-cosxdtlimcos x例. 求x-0例.设f(x)在[0,+0)内连续,且f(x)>0J。tf(t)dt在 (0,+8)证明F(x)=J,f(t)dt内为单调递增函数HIGH EDUCATION PRESS说明目录上页下页返回结束
说明 目录 上页 下页 返回 结束 例. 求 例. 证明 在 内为单调递增函数 . 例. 求
三、微积分基本公式定理2.设F(x)是连续函数f(x)在[a,b]l上的一个原函数,则f(x)dx= F(b)-F(a）（牛顿-莱布尼兹公式)(f(x)dx是f(x)的一个原函数,故证：根据定理1，F(x)=[f(x)dx+C令x=a,F(a)=/" f(x)dx+C=C再令x=b，F(b)= /f(x)dx+C记作b[F(x)]°=F(x)f(x)dx = F(b)- F(a)OHIGHEDUCATIONPRESS机动目录上页下页返回结束
三、微积分基本公式 f (x)dx F(b) F(a) b a = − ( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: 根据定理 1, 故 F x f x x C x a = + ( ) ( )d 记作 定理2. 函数 , 则 ( ) ( )d a a F a f x x C C = + = ( ) ( )d b a F b f x x C = +
CV3dx 1+x|dx['Vx(1+ Vx)dx例.1+x到某处需要减例.汽车以每秒10m的速度行驶，刹车，问从开始刹速停车，设汽车以等加速度α=-1m/S车到停车走了多少距离？例．计算正弦曲线y=sinxy=sinx在[0,元]上与x轴所围成的面积元xHIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
例. ( ) 9 4 x x x 1 d + 例. 计算正弦曲线 的面积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y o x y = sin x 1 2 1 d x x − + 例. 汽车以每秒 10 m 的速度行驶 , 速停车, 刹车, 问从开始刹 到某处需要减 设汽车以等加速度 车到停车走了多少距离?
微积分基本公式设 f(x)EC[a,b],且 F'(x)= f(x)，则有f(x)dx = F(b)- F(a)f(x)dx = f()(b-a) = F'()(b -a) = F(b)- F(a)微分中值定理积分中值定理牛顿一莱布尼兹公式HIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回公式结束
微积分基本公式 = f x x b a ( )d 积分中值定理 = F( )(b − a) = F(b) − F(a) 微分中值定理 f ( )(b − a) 牛顿 – 莱布尼兹公式 公式 目录 上页 下页 返回 结束 f (x)dx F(b) F(a) b a = − 设 f (x)C[a,b], 且 F(x) = f (x), 则有