矩阵分析与应用 第六讲 Jordan标准型 信息工程学院 吕雅阳 2006-12-1
2006-12-1 矩阵分析与应用 信息工程学院 吕旌阳 第六讲 Jordan标准型
本讲主要内容 ·入一矩阵的概念 ·若当(Jordan)标准形 ·欧式空间 2006-12-1
2006-12-1 本讲主要内容 λ－矩阵的概念 若当(Jordan)标准形 欧式空间
引入 由第五讲知，n维线性空间V的线性变换在某组基下 的矩阵为对角形台T有个线性无关的特征向量 令T的所有不同特征子空间的维数之和等于. 可见，并不是任一线性变换都有一组基，使它在这 组基下的矩阵为对角形 本节介绍，在适当选择基条件下，一般的线性变换 的矩阵能化简成什么形状. 2006-12-1
2006-12-1 由第五讲知，n维线性空间V的线性变换在某组基下 的矩阵为对角形⇔ T 有n个线性无关的特征向量 . ⇔ T 的所有不同特征子空间的维数之和等于n . 可见，并不是任一线性变换都有一组基，使它在这 组基下的矩阵为对角形. 本节介绍，在适当选择基条件下，一般的线性变换 的矩阵能化简成什么形状. 引入
一、入一矩阵的概念 定义： 设K是一个数域，入是一个文字，P[2]是多项式环， 若矩阵A的元素是的多项式，即P[2]的元素，则 称A为1一矩阵，并把A写成A(2), 注： ①KcP[2],.数域K上的矩阵一数字矩阵也 是入一矩阵. 2006-12-1
2006-12-1 定义： 若矩阵A的元素是 的多项式，即 的元素，则 λ P[ ] λ 设K是一个数域， 是一个文字， 是多项式环， λ P[ ] λ 称A为λ ―矩阵，并把A写成 A( ). λ 一、λ－矩阵的概念 注： ① ∴ 数域 ∵K P ⊂ [ ], λ K上的矩阵—数字矩阵也 是 ―矩阵 λ
②入一矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算， 其定义与运算规律与数字矩阵相同 ③对于n×n的2一矩阵，同样有行列式|A(2), 它是一个九的多项式，且有 |A(2)B(2)=A(2)‖B(2)川. 这里A(2),B(2)为同级2一矩阵. ④与数字矩阵一样，λ一矩阵也有子式的概念. 几一矩阵的各级子式是2的多项式 2006-12-1
2006-12-1 其定义与运算规律与数字矩阵相同. ③ 对于 的 ―矩阵，同样有行列式 n n × λ | ( ) |, A λ 它是一个 的多项式，且有 λ | ( ) ( ) | | ( ) || ( ) | . A λ B AB λ λλ = 这里 为同级 ―矩阵 A( ), ( ) λ B λ λ . ④ 与数字矩阵一样， ―矩阵也有子式的概念 λ . λ ―矩阵的各级子式是 的多项式 λ . ② ―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算， λ
定义：若入一矩阵A(2)中有一个r(r≥1)级子式 不为零，而所有”+1级的子式（若有的话）皆为零， 则称A(2)的秩为r. 零矩阵的秩规定为0. 2006-12-1
2006-12-1 若 ―矩阵 中有一个 级子式 λ A( ) λ r r( 1) ≥ 不为零，而所有 级的子式（若有的话）皆为零， r + 1 则称 的 A( ) λ 秩为r . 定义： 零矩阵的秩规定为0
λ一矩阵的初等变换 入一矩阵的初等变换是指下面三种变换： 矩阵两行（列)互换位置； 行变换：→；列变换：C:分C) ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数k; 行变换： k灯 列变换： kCi ③ 矩阵的某一行（列)加另一行（列)的p(2)倍， p(2)是一个多项式. 行变换：+p(2)r列变换：C:+p()C 2006-12-1
2006-12-1 λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ① 矩阵两行（列）互换位置； ② 矩阵的某一行（列）乘以非零常数k； p( ) λ 是一个多项式. ③ 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的 倍， p( ) λ λ－矩阵的初等变换 －矩阵的初等变换 行变换： 列变换： i j r r ↔ i j c c ↔ 行变换： 列变换： i kr i kc 行变换： 列变换： ( ) i j rp r + λ ( ) i j cpc + λ
二、入一矩阵的行列式因子 行列式因子：D,(2)=最大公因式{A()的所有阶子式} 不交网千：风团=a2=1 初等因子：d(2)的不可约因式 注：考虑2一矩阵2-A,可得A的最小多项式 m(2)=dn()= Dn(2) Dn-1(2) 2006-12-1
2006-12-1 二、λ－矩阵的行列式因子 －矩阵的行列式因子 行列式因子： ( )=最大公因式{ 的所有k阶子式} Dk λ A( ) λ 不 变 因子： ( ) 0 1 ( ) () () 1 ( ) k k kD d D D λ λ λ − λ = = 初 等 因子： 的不可约因式 ( ) k d λ 注：考虑 －矩阵 ，可得 λ λI A− A的最小多项式 1 ( ) () () ( ) n n nD m d D λ λ λ − λ = =
「-110 例：已知A= 430 求λI-A的全体初等因子 102 元+1 -1 解： A-A= 4 D(2)=1 -1 因为4703=-35手°2=4(-2刘互质 所以D,(a)=1D,(2)=det(2I-A)=(2-2)(-1)》 不变因子为d41(2)=1,42(2)=1,d(2)=(2-1)2(2-2) 全体初等因子为(2-1)2，(2-2) 2006-12-1
2006-12-1 11 0 4 30 10 2 I A λ λ λ λ + − −= − − − 解： 例：已知 ，求 的全体初等因子 110 4 30 1 02 A − = λI A− 1 D () 1 λ = 因为 4 3 3与 互质 1 0 λ λ − = − − ( ) 4 0 4 2 1 2 λ λ = − − − 所以 2 D () 1 λ = ( ) ( )( )2 3 D IA ( ) det 2 1 λ λ λλ = − =− − 不变因子为 2 123 ddd ( ) 1, ( ) 1, ( ) ( 1) ( 2) λ = λ λλ λ = =− − 全体初等因子为 2 ( 1) ,( 2) λ − λ −
例、求人-矩阵的不变因子 n- 22+20 -2 -1 0 0 2-2 -1 8 0 九-2 0 -2 2006-12-1
2006-12-1 例、求 矩阵的不变因子 λ − ) () ( ) 2 2 0 0 1 00 00 1 A λ λ λ λ λ + = + ) () 21 0 0 0 21 0 2 0 0 21 000 2 A λ λ λ λ λ − − − − = − − −