《误差理论及测量平差基础》课程教学资源（授课教案）教案03

?成金娜内素古科技大学INNERMONGOLIAUNIVERSITYOFSCIENCE&TECHNOLOGY教案课程名称测量平差基础总学时数80学时使用班级测绘专 2013-1、2任课学期2014/2015学年第一学期任课教师燕志明编制时间2014年9月5日

教 案 课程名称 测量平差基础 总学时数 80 学 时 使用班级 测绘专 2013-1、2 任课学期 2014/2015 学年第一学期 任课教师 燕志明 编制时间 2014 年 9 月 5 日

内蒙古科技大学教案课程名称：测量平差基础授课章节.3方差和协方差传播定律（1）目的要求了解什么是协方差传播，掌握协方差传播率及其在实践的应用1、方差传播定律的理论推导重点难点2、方差传播定律线性函数的方差1.3方差和协方差传播定律（1）引入新课在实际工作中，一些未知量的求得，常常不是依靠直接测定或不可能直接测定，而是（约10分钟）要通过由观测值所组成的函数计算解出。如，平面三角形闭合差W就是通过三个内角的观测值计算所得，即w=180°-(L，+L，+L）。闭合差w无法直接测出。又如，在三角形 ABC 中，已测得两个角A、B及一条边a，则依b=“siB求b边sin A时，也是通过观测值计算函数b。再如，一个量n次等精度观测值的中数x=旦，要由观测值算出。n上面的W、b及x，都是观测值的函数。显然，由观测值计算所得函数值的精确与否，主要取决于作为自变量的观测值的质量好坏。一般地说，自变量带有的误差，必然以一定规律传播给函数值，所以对这样求得的函数值，也有个精度估计的问题。即由具有一定中误差的自变量计算所得的函数值，也应具有相应的中误差。这种一些量的中误差与这些量组成的函数的中误差之间的关系式，称为误差传播律。因为中误差的平方是方差的估值，所以中误差的传播关系可以通过方差和协方差的运算规律来导出。s1.3协方差的传播一、观测值线性函数的方差设随机向量X，其自协方差阵是Dxx：又假设有X的线性函数是z=KX+ko，其（约30分钟）KA中K和ko己知，K=(k,2,",kn)。由于A-= KAX =>A- = K(AXAXT)K那么z的方差是? = E(4-)= E[(=- E(2)]= E[K(AXAX)K ]- KE(AXAY)KI - KD.第2次第1页

内蒙古科技大学教案 课程名称：测量平差基础 授课章节 1.3 方差和协方差传播定律（1） 目的要求 了解什么是协方差传播，掌握协方差传播率及其在实践的应用。 重点难点 1、方差传播定律的理论推导 2、 方差传播定律线性函数的方差 1.3 方差和协方差传播定律（1） 在实际工作中，一些未知量的求得，常常不是依靠直接测定或不可能直接测定，而是 要通过由观测值所组成的函数计算解出。如，平面三角形闭合差 w 就是通过三个内角的观 测值计算所得，即 ( ) 1 2 3 0 w = 180 − L + L + L 。闭合差 w 无法直接测出。 又如，在三角形 ABC 中，已测得两个角 A 、 B 及一条边 a ，则依 A a B b sin sin = 求 b 边 时，也是通过观测值计算函数 b 。 再如，一个量 n 次等精度观测值的中数   n L x = ，要由观测值算出。 上面的 W 、b 及 x ，都是观测值的函数。显然，由观测值计算所得函数值的精确与否， 主要取决于作为自变量的观测值的质量好坏。一般地说，自变量带有的误差，必然以一定 规律传播给函数值，所以对这样求得的函数值，也有个精度估计的问题。即由具有一定中 误差的自变量计算所得的函数值，也应具有相应的中误差。这种一些量的中误差与这些量 组成的函数的中误差之间的关系式，称为误差传播律。 因为中误差的平方是方差的估值，所以中误差的传播关系可以通过方差和协方差的运 算规律来导出。 §1.3 协方差的传播 一、观测值线性函数的方差 设随机向量 n1 X ，其自协方差阵是 DXX ；又假设有 n1 X 的线性函数是 0 1 1 z K X k n n = +   ，其 中 K 和 0 k 已知， ( , , , ) 1 2 n K = k k  k 。 由于 z = KX ＝＞ T T z K( X X )K 2  =   那么 z 的方差是 ( )    T XX T T T T z KE X X K KD K E z E z E z E K X X K =   = =  = − =   ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2  引入新课 （约 10 分钟） （约 30 分钟） 第 2 次 第 1 页

而Grr0OxO x21Ox20xDxx =......0x,iQ:O-当自变量(X，X2"",x）木，）相互独立时，有o)0.000..Dxx =..00..a此时Ekg?合随机向量X中的各个分量随机独立时，几种特殊情况下的方差传播定律归纳如下：X线性函数A=>o?-ko?i=i=l倍数函数z=kx=>,=ko和差函数z=x,±x,±...±x,=>o70?1=1（约10分钟）【例题1】在1:500的地图上，量得某两点间的距离是d=23.4mm，d的量距误差是oa=±0.2mm。求两点间的实地距离S和其精度os。解：S=500d=500×23.4=11700mm=11.7ms=500ga=500×(±0.2)=±100mm=±0.1m最后写成S=11.7m±0.1m214（约5分钟）已知L、【例题2】设x是独立观测值L、L,和L,的函数，即：x777L,和L,的中误差是の,=±3mm、，=±2mm和；=±1mm，求函数x的精度。LL2L3第3次第2页

而               = 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x DXX                 当自变量 ( , , , ) 1 2 n x x  x 相互独立时，有               = 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 1 n x x x DXX           此时 = = = n i i x T z XX i KD K k 1 2 2 2   随机向量 n1 X 中的各个分量随机独立时，几种特殊情况下的方差传播定律归纳如下： 线性函数 = = n i i i z k x 1 ＝＞ = = n i z i xi k 1 2 2 2   倍数函数 z = kx ＝＞  z = k 和差函数 n z = x  x  x 1 2 ＝＞ = = n i z xi 1 2 2   【例题 1】在 1:500 的地图上，量得某两点间的距离是 d = 23.4mm， d 的量距误差是  d = 0.2mm 。求两点间的实地距离 S 和其精度  S 。 解： S = 500d = 50023.4 =11700mm =11.7m  S = 500 d = 500(0.2) = 100mm = 0.1m 最后写成 S =11.7m 0.1m 【例题 2】设 x 是独立观测值 L1、 L2 和 L3 的函数，即： 1 2 3 7 4 7 2 7 1 x = L + L + L 已知 L1、 L2 和 L3 的中误差是 1 = 3mm、 2 = 2mm 和  3 = 1mm ，求函数 x 的精度。 解：因为 L1、 L2 和 L3 是独立观测值，所以有 ： （约 10 分钟） （约 5 分钟） 第 3 次 第 2 页

解：因为L、L，和L，是独立观测值，所以有（4）=（1) o; = 0.840=±0.9mm约15分钟【例题3】设观测角β,和β,的中误差是,=，=±1.4"，协方差是Q12=-1()，求x=α-β,-β,的中误差，其中α无误差。(β解:由于 x=α-β,-β,=(-1 -1+α=Kβ+aβ,已经令向量β,B:K=(-1 -1)则LFDp8=1 1.96(2102这样96-1D k* -(-1 -0(° 10-) 192)=KD（约20分钟）C,=±1.4"二、随机向量函数向量的方差阵设随机向量X、Y，其自协方差阵分别是Dx、Dm，互协方差阵是Dxa，又设有函数向量U=AX+Ao，V=BY+B。，其中A、A、B、B。是常系数矩阵。xnxlXIPXrxmmxIfxl则有Duu = E[AU(AU) ]= AE(AXAX)A = ADxx ADw = E[AV(AV)]= BE(AYAY")B = BD BDu = E[AU(AV)"]- AE(4XAY")B" = ADx B"Dvu = E[AV(AU)"]- BE(AY")A = BDA" =(Duw)"第3次第3页

课解：因为 L1、 L2 和 L3 是独立观测值，所以有 0.84 7 4 7 2 7 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2  =       +       +       x =     x = 0.9mm 【例题 3】设观测角 1 和  2 的中误差是 1 = 2 = 1.4 ，协方差是 2 12  = −1() ，求 = − 1 −  2 x 的中误差  x ，其中  无误差。 解：由于         + = +         x = − − = − − K 2 1 1 2 ( 1 1) 已经令向量         = 2 1    ， K = (−1 −1) 则         − − =         = 1 1.96 1.96 1 2 21 2 12 2 1     D 这样 ( ) 2 2 1.92( ) 1 1 1 1.96 1.96 1 1 1 =          − −         − − = = − − T  x KDK = 1.4  x 二、随机向量函数向量的方差阵 设随机向量 n1 X 、 m1 Y ，其自协方差阵分别是 DXX 、DYY ，互协方差阵是 DXY ，又设 有函数向量 1 0 1 1     = + t t t n n U A X A ， 1 0 1 1     = + r r r m m V B Y B ，其中 A 、 A0 、 B 、 B0 是常系数矩阵。 则有   T XX T T T t t DUU = E U U = AE XX A = AD A  ( ) ( )   T YY T T T r r DVV = E V V = BE YY B = BD B  ( ) ( )   T XY T T T t r DUV = E U V = AE XY B = AD B  ( ) ( )   T UV T YX T T T r t DVU = E V(U) = BE(YX )A = BD A = (D )  约 15 分钟 （约 20 分钟） 第 3 次 第 3 页

课堂教学小结：1.方差、协方差阵，2. 单个线性西数的方差的传播;3.多个线性品额方差的传摄。第2次第4页

课堂教学小结： 1.方差、协方差阵； 2．单个线性函数的方差的传播； 3．多个线性函数方差的传播。 第 2 次 第 4 页