©中东X王大军 第四章线性方程组 第一节.线性方程组解的判别 第二节.齐次线性方程组 第三节.非齐次线性方程组 上页
第四章 线性方程组 第一节. 线性方程组解的判别 第二节. 齐次线性方程组 第三节. 非齐次线性方程组
柜餐 第一节 线性方程组解的判别 11x1+12x2+.+41mxn=b1 21X1+022X2+.+2mxn=b2 (1) amix1+am2x2++amnxn -bm 11 12 Ain 若记A= 21 L22 ,x= b= aml am2 则上述方程组可写成矩阵方程 Ax=b. 区回
第一节 线性方程组解的判别 设线性方程组 + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 若记 , 1 2 21 22 2 11 12 1 = m m mn n n a a a a a a a a a A , 2 1 = xn x x x 则上述方程组可写成矩阵方程 Ax = b. , 2 1 = mb b b b (1)
中东翟大写 11 12 称矩阵A=(A,b) 21 L22 02n Am2 为方程组()的增广矩阵。 当b,=0(i=1,2,.,m)时，齐次线性方程组 4X1 012X2 0 421X1 L22X2 十 @nXn 0 (2) am2X2 0 称为方程组(1)的导出组， 或称为（1)对应的齐次线性方程组
称矩阵 为方程组(1)的增广矩阵。 称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。 当 0 ( 1,2, , ) i b i m = = 时,齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 (2) 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = ( , ) , 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = = m m mn m n n b b b a a a a a a a a a A A b
⑤少本理工大军 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵 做初等行变换 ERT =(A,b) > S11 S12 Sir S1,r+1 0 S22 S2,r+1 化为行阶 梯形矩阵 0 0. Srr Srn 0 0 0 0 0 r+1 0 0. 0 0 0 .: 0 0 0 0 回
对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵 做初等行变换 ERT A = (A, b) → 11 12 1 1, 1 1 1 22 1 2, 1 2 2 , 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r n r r n rr r r rn r r s s s s s t s s s s t s s s t t + + + + ⎯⎯→ 化为行阶 梯形矩阵
©中东X王大军 1 0 0 C1,+1 Cin d 0 1. 0 C2,r+1 C2n : 化为行最 简形矩阵 0 0. 1 d (3) 0 0 0 0 0 d 0 0. 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 则以矩阵(3)为增广矩阵的方程组与方程组(1)同解
则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。 1, 1 1 1 2, 1 2 2 , 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (3) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r n r n r r rn r r c c d c c d c c d d + + + + ⎯⎯→ 化为行最 简形矩阵
©少本X上大军 由矩阵(3)可讨论方程组(1)的解的情况 1)若d,+1≠0，则方程组无解。 2)若d,+1=0,则方程组有解， 当 =n 有唯一解。 r<n 有无穷多解。 上页 这回
由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况 1) 若 dr+1 0 ， 2) 若 1 0, r d + = 则方程组有解， 当 r n r n = 有唯一解。 有无穷多解。 则方程组无解
©山东理大军 主王二二王王王王王 定理4.1.1线性方程组(1)有解←→ R(A)=R(A) 证： 设 2 B L1 b A=(A,B)= L21 L24 am? 则方程组(1)与x01+x202+.+x,0Cn=B 等价 必要性 若方程组有解，则β可由x,2,.,an,线性表示 于是41,2，.，0n与0，a2,an,B等价. 即秩{a,2,an}=秩{a,2,.,anB} R(A)=R(A) 上页
定理4.1.1 线性方程组(1)有解 R(A) = R(A) 证: 设 ( , ) , 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = = m m mn m n n b b b a a a a a a a a a A A 1 2 n 则方程组(1)与 1 1 2 2 n n x x x + + + = 等价. 必要性 若方程组有解,则 1 2 , , , , . 可由 n 线性表示 于是 1 2 1 2 , , , , , , , n n 与 等价. 即 R(A) = R(A) 秩 1 2 1 2 , , , , , , , n n = 秩
©少东理工大罩 充分性 若R(A)=R(A),即 秩{，a2,an}=秩{a,a2,an,B} 又因为 向量组01,02，.，Cn可由向量组01,02，0n,阝 线性表示， 因此向量组01,2，·，0n和向量组1，Q2,0nB有 王王 相同的最大无关组.因此B可由a,a2,an,线性表示 所以线性方程组(1)有解 推论1当R(4)≠R④时，方程组(1)无解. 推论2方程组(1)有唯一解←→R(A)=R(A) =n T推论3； 方程组(1)有无穷多解←→R(A)=R(A)<n 回
充分性 秩 1 2 1 2 , , , , , , , n n = 秩 若R(A) = R(A),即 1 2 , , , , . 因此 可由 n 线性表示 又因为 1 2 1 2 , , , , , , , 向量组 n n 可由向量组 线性表示, 1 2 1 2 , , , , , , , . 因此向量组 n n 和向量组 有 相同的最大无关组 所以线性方程组(1)有解. 推论1 当 R(A) R(A) 时,方程组(1)无解. 推论2 方程组(1)有唯一解 R A R A n ( ) ( ) = = 推论3 方程组(1)有无穷多解 R(A) = R(A) n
©)少东Y工大军 举例说明消元法具体步骤： 主主二二二主二二主主二二主二二王 2x X2 3x3 =1 例1：解线性方程组 4x 2x2 + 5x3 4 2x 4x3 =0 -1 3 一1 解： (A,b)= -2 2 -1 4 2 -1 3 0 0 -1 R(A)≠R(A)最后一行有0x3=1, 0 0 可知方程组无解 0
举例说明消元法具体步骤： 例1：解线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 4 2 5 4 2 4 0 x x x x x x x x x − + = − + = − + = 解： − − → 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 3 1 2 1 3 1 0 0 1 2 0 0 1 1 − → − − 最后一行有 3 0 1, x = 可知方程组无解。 2 1 3 1 ( , ) 4 2 5 4 2 1 4 0 A b − = − − R A R A ( ) ( )
2x2 + 3x3 4x4 =1 例2： 解线性方程组 2 x3 Xa =0 3.x2 一 3x4 = 1 7x2 3x3 X = 0 -2 4 1010 10 解： (A,b)= 3 0 1 -7 3 3 -4 1000 2100 148 1000 1000 、 -1 1 0 0 上页 回
例2：解线性方程组 1 2 3 4 2 3 4 1 2 4 2 3 4 2 3 4 1 0 3 3 1 7 3 0 x x x x xxx x x x xxx − + − = − + = + − = − + + = 解： (A,b) = 1 2 3 4 1 0 1 1 1 0 0 0 2 4 0 0 0 4 8 0 − − − → − − − − − − → 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 1 1 1 0 1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 0 1 1 1 0 1 3 0 3 1 0 7 3 1 0 − − − − −