河北工业大学计算机科学技术与软件学院：《离散数学》第五章 代数系统（郭永芳）

离散数学 Discrete Mathematics 郭永芳 guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 河北工业大学计算机科学技术与软件学晚

河北工业大学计算机科学技术与软件学院 离散数学 Discrete Mathematics 郭永芳 guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

第五章代数系统 代数系统的基本概念和基本性质 群论 同态与同构 今环与域 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn ❖ 代数系统的基本概念和基本性质 ❖ 群论 ❖ 同态与同构 ❖ 环与域

5-1代数系统的引入 定义:对于集合A,一个从An→B的映射 称集合A上的一个n元运算。 定义:一个非空集合A连同若干个定义在该 集合的运算f1,f2,…,f所组成的系统 称为一个代数系统,记作。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 5-1 代数系统的引入 定义:对于集合A，一个从A n→B的映射， 称集合A上的一个n元运算。 定义:一个非空集合A连同若干个定义在该 集合的运算f1,f2,…, fk所组成的系统， 称为一个代数系统，记作

定义:设A是一个非空集合,A到B的一个 映射(或函数)f:An→B,若BcA,则称映 射f关于集合A是封闭的(或称A对f是封闭 的)。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 定义:设A是一个非空集合，An到B的一个 映射(或函数) f：An→B，若BA，则称映 射f关于集合A是封闭的(或称A对f是封闭 的)

代数系统的引入 在实数集R上的每个数A≠0影射成它的倒数1/A R上的每个数Y变成[Y。 R上的任意两个数A,B,变成A+B或AXB。 R上的任意三个数X,Y,Z,变成R中的一个数,即进 行:IFⅩ THEN Y ELSE Z 上述运算都是集合R上封闭的运算。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 代数系统的引入 例： • 在实数集R上的每个数A≠0影射成它的倒数1/A。 • R上的每个数Y变成[Y]。 • R上的任意两个数A，B，变成A+B或A×B。 • R上的任意三个数X，Y，Z，变成R中的一个数，即进 行：IF X THEN Y ELSE Z。 上述运算都是集合R上封闭的运算

代数系统的引入 1)在正整数集I上,定义减法运算,则不封闭 2)如一架自动售货机,能接受一角和二角五分硬币,而 所对应的商品是橘子水、冰淇淋,当人们投入上述硬 币的任何两枚时,自动售货机供应出相应的商品 角 二角五 角 橘子水 可口可乐 二角五可口可乐 冰淇淋 此时,集合A中的元素经自动售货机变成B上的元素。 3)I上的元素A的倒数1/A不属于I 上述这些运算都不是封闭的。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 代数系统的引入 1) 在正整数集I+上，定义减法运算，则不封闭。 2) 如一架自动售货机，能接受一角和二角五分硬币，而 所对应的商品是橘子水、冰淇淋，当人们投入上述硬 币的任何两枚时，自动售货机供应出相应的商品。 一角 二角五 一角 橘子水 可口可乐 二角五 可口可乐 冰淇淋 此时，集合A中的元素经自动售货机变成B上的元素。 3) I上的元素A的倒数1/A不属于I。 上述这些运算都不是封闭的

代数系统的引入 1)I+与I上的“+运算可构成一个代数系统; 3)P(S)及P(S)上的“∩”、“∪”、“一”运算 可构成一个代数系统,称之 为集合代数; 个含有n个命题变元的命题的集合A与A上的 “∧”、“∨”、“-”可构成一个代数系统 ,称之为命题代数。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 代数系统的引入 1) I+与I+上的“+”运算可构成一个代数系统； 2) R上的“+” 、 “×”运算可构成一个代数系统； 3) P(S)及P(S)上的“∩” 、 “∪” 、 “―”运算 可构成一个代数系统，称之 为集合代数； 4) 一个含有n个命题变元的命题的集合A与A上的 “∧” 、 “∨” 、 “ ┐ ”可构成一个代数系统 ，称之为命题代数

5-2运算及其性质 定义设“*”是集合A上的二元运算,<A,* 是一个代数系统,对a,b,c∈A, 1)若a*b∈A,则称运算“*”是集合A上是封闭的。 2)若a*b=b*a,则称运算“*”是集合A上的可交换 的或称运算“*”在A上满足交换律。 3)若(a*b)*C=a*(b米c),则称运算“*”是集合A上 的可结合的或称运算“米”在A上满足结合律 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 5-2运算及其性质 定义 设“*”是集合A上的二元运算， 是一个代数系统，对a,b,cA， 1) 若a*b A ，则称运算“*”是集合A上是封闭的。 2) 若a*b＝b*a，则称运算“*”是集合A上的可交换 的或称运算“*”在A上满足交换律。 3) 若(a*b)*c＝a*(b*c)，则称运算“*”是集合A上 的可结合的或称运算“*”在A上满足结合律

运算及其性质 定律设“*”、“0”是集合A上的两个二元运算, 对va,b,c∈A 1)若ao(a*b)=aa*(aob)=a,则称运算“米” 与“o”在A上满足吸收律 2)若ao(b*C)=(aob)*(aoc),则称运算“o”对 “*”在A上满足左分配律(或第一分配律) 3)若(b*c)oa=(boa)*(coa),则称运算“o”对 “米”在A上满足右分配律(或第二分配律)。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 运算及其性质 定律 设“*” 、 “о”是集合A上的两个二元运算， 对a,b,cA 1) 若aо(a*b)＝a a*(aоb)＝a，则称运算“*” 与“о”在A上满足吸收律。 2) 若aо(b*c)＝(aоb)*(aоc)，则称运算“о”对 “*”在A上满足左分配律(或第一分配律)； 3) 若(b*c)оa＝(bоa)*(cоa)，则称运算“о”对 “*”在A上满足右分配律(或第二分配律)

运算及其性质 义设“*”是集合A上的二元运算,若彐a∈A,有: a*a=a,则称a为A上的幂等元。若A中的一切元素 都是幂等元,则称运算“*”在A上满足幂等律。 例:设有代数系统,对X∈P(S),都 有:X∩x=X,X∪X=X,所以,“∩”,“∪”在 P(S)上满足幂等律 例:设有代数系统,对0,1∈R,有:0+0 0,1×1=1,所以,R中仅有0,1分别是关于 “+”,“×”的幂等元;“+”,“×”在R上不满足幂 等律。 Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn

Guoyongfang.2006@yahoo.com.cn 运算及其性质 定义 设“*”是集合A上的二元运算，若aA，有： a*a＝a，则称a为A上的幂等元。若A中的一切元素 都是幂等元，则称运算“*”在A上满足幂等律。 例：设有代数系统，对XP(S)，都 有：X∩X＝X，X∪X＝X，所以，“∩” ， “∪”在 P(S)上满足幂等律。 例：设有代数系统，对0，1R，有：0+0 ＝0，1×1＝1，所以，R中仅有0，1分别是关于 “+” ， “×”的幂等元；“+” ， “×”在R上不满足幂 等律