题课
习 题 课
、主要内容 洛必达法则 0 0°,1 型 Cauchy 令 中值定理-型 0-0 型 取对数 g 「0.∞型 F(x)=x g 型 f·g g agrange (a)=f(b) 中值定理 Roe导数的应用 定理∥单调性,极值与最值 n=0 凹凸性,拐点,函数 Taylor 常用的 图形的描绘 中值定理 泰勒公式‖曲率;求根方法
洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 0 0 ,1 , 0 型 型 0 型 型 0 0 型 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 F( x) x f (a) f (b) n 0 g f f g 1 g f g f f g 1 1 1 1 取对数 令 g y f 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法. 导数的应用 一 、主要内容
1、罗尔中值定理 2、拉格朗日中值定理 3、柯西中值定理 4、洛必达法则 型及—型未定式 20.0·∞,0-∞,0,1∞,型未定式 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 注意:洛必达法则的使用条件
1、罗尔中值定理 2、拉格朗日中值定理 3、柯西中值定理 4、洛必达法则 型及 型未定式 0 0 1 .0 2 0 . 0 , ,0 0 ,1 , 0型未定式 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 . 注意：洛必达法则的使用条件
5、泰勒中值定理 常用函数的麦克劳林公式 e sinx cosx In(1+x), (1+x) Fermat定理 若f(x)在x处可导,且在x的某一邻域内,有 f(x)≥f(x0)(或f(x)≤f(x0),则f(x0)=0 中值定理揭示了导数与函数之间的 关系,是导数应用的理论基础,是利用 导数研究函数性质的有效工具。是沟通 导数的局部性质与函数在区间上的整体 性质的重要桥梁
5、泰勒中值定理 常用函数的麦克劳林公式 e ,sin x ,cos x ,ln(1 x) ,(1 x) x Fermat 定理 ( ) ( )( ( ) ( )) ( ) 0 ( ) , 0 0 0 0 0 f x f x f x f x f x f x x x 或 ，则 若 在 处可导，且在 的某一邻域内 有 中值定理揭示了导数与函数之间的 关系，是导数应用的理论基础，是利用 导数研究函数性质的有效工具。是沟通 导数的局部性质与函数在区间上的整体 性质的重要桥梁
6、导数的应用 (1)函数单调性的判定法 (2)函数的极值及其求法 极值必要条件、第一、第二充分条件 求极值的步骤: (3)最大值、最小值问题 (4)曲线的凹凸与拐点 (5)函数图形的描绘 (6)弧微分曲率曲率圆
6、导数的应用 (1) 函数单调性的判定法 (2) 函数的极值及其求法 极值必要条件、第一、第二充分条件 求极值的步骤: (3) 最大值、最小值问题 (4) 曲线的凹凸与拐点 (5) 函数图形的描绘 (6) 弧微分 曲率 曲率圆
、典型例题 5兀 例1验证罗尔定理对y= In sin x在>h6 上 的正确性 解∵D:2kπ<x<2kπ+π,(k=0,±1, 且在 π5汇 6’上连续 又 y =cotx 在( π5兀 ,)内处处存在 并且∫()=f()=-m2
例1 . ] 6 5 , 6 lnsin [ 的正确性 验证罗尔定理对 在 上 y x 解 D : 2k x 2k , (k 0,1,) ] . 6 5 , 6 且在 [ 上连续 又 在 )内处处存在 6 5 , 6 cot ( y x ) 6 5 ) ( 6 ( 并且 f f ln2 二、典型例题
函数y= Insinx在 π5兀 上满足罗尔定理 的条件 由y′=cotx=0, 在 6’6)内显然有解x=7 兀5兀 取ξ=。,则∫(ξ2)=0 这就验证了命题的正确性
. ] 6 5 , 6 lnsin [ 的条件 函数 在 上满足罗尔定理 y x 由 y cot x 0, 在 )内显然有解 6 5 , 6 ( . 2 x , 2 取 则 f () 0. 这就验证了命题的正确性
例2 Darboux定理没f(x)在a,b内可导 则f(x)必至少有一次取得介于f(a)与f(b) 之间的每一个值 证首先假定f'(a)·f'(b)0,f(b)<0 如右图所示 由假设知f(x)在a,b上连续 故f(x)在某点ξ处取得最大值 这里2≠a,b
例2 Darboux定理:设 f (x)在[a,b]内可导 之间的每一个值 则f (x)必至少有一次取得介于 f (a)与f (b) 证 首先假定 f (a) f (b) 0 不妨设 f (a) 0, f (b) 0 如右图所示 o y x a b 由假设知 f (x)在[a,b]上连续 故f ( x)在某点 处取得最大值 这里 a,b
由∫(a)>0→f(x)在x=a的右方邻近,有 f(x)>∫(a) 由f(b)∫(b →aC>f"(b) 引进辅助函数F(x)=f(x)-Cx 则F(x)在a,b内可导→F(x)=f(x)-C
由 f (a) 0 f ( x)在x a的右方邻近，有 f ( x) f (a) 由 f (b) 0 f ( x)在x b的左侧邻近，有 f (x) f (b) a b 由 Fermat 定理,得 f ( ) 0 其次，取介于 f (a)与f (b) 之间的任意数 C 为明确起见，不妨设 f (a) C f (b) 引进辅助函数 F( x) f (x) Cx 则 F(x)在[a,b]内可导 F(x) f (x) C
→F(a)=f(a)-C>0 F'(b)=f(b)-C<0 由上述已证知∈(a,b)使F'(2)=0 即f(4)=C 例3证明方程4ax3+3bx2+2cx=a+b+c 在(0,1)内至少有一实根 「分析]如令∫(x)=4ax3+3bx2+2cx-(a+b+c) 则f(0,f(1)的符号不易判别 不便使用介值定理 用Role定理来证
F(a) f (a) C 0 F(b) f (b) C 0 由上述已证知 (a,b)使F( ) 0 即 f ( ) C 例3 证明方程 4ax 3bx 2cx a b c 3 2 在(0,1)内至少有一实根 [分析] 如令 ( ) 4 3 2 ( ) 3 2 f x ax bx cx a b c 则f (0), f (1) 的符号不易判别 不便使用介值定理 用 Rolle 定理来证