幂级教习题课
幂级数习题课
、主要内容 函数项级数 幂级数 收敛半径R Taylor级数 Rn(x)→>0 收敛域 Taylor展开式
一、主要内容 函数项级数 幂级数 收敛半径R 收敛域 Taylor级数 Rn (x) → 0 Taylor展开式
幂级数 (1)定义 形如∑an(x-x0)的级数称为幂级数 n=0 当x=0时,∑ax其中a为幂级数系数 (2)收敛性 Abe定理对∑anx总存在正数R使得 H=1 当xR时幂级数发散; 当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散
１．幂级数 (1) 定义 形如 n n an (x x ) 0 0 = − 的级数称为幂级数. 0 , 当x0 = 时 n n n a x =0 其中an为幂级数系数. (2) 收敛性 Abel 定理 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当x = R与x = −R时,幂级数可能收敛也可能发散. 对 n=1 n n a x 总存在正数Ｒ使得
R一一收敛半径(一R,R)一一收敛区间 设im=p(limn=p) n->0 n (1)则当p≠0时,R=;(2)当p=0时,R=+∞; (3)当p=+0时,R=0 注①形如∑ulg(x)的级数,求收敛域 应先求出∑qy"的收敛半径R p(r<R 原级数的收敛点
Ｒ－－收敛半径（－Ｒ，Ｒ）－－收敛区间 设 = + → n n n a a 1 lim (或 = → n n n lim a ) (1) 则当 0时, = 1 R ; (2) 当 = 0时,R = +; (3) 当 = +时,R = 0. 注 ①形如 n n a [(x)] 的级数，求收敛域 n n a y 的收敛半径Ｒ |(x)| R －－原级数的收敛点 应先求出
(x)卜>R 原级数的发散点 再研究|o(x)=R的点的敛散性 ②用公式R=1m。”求收敛半径 n+1 an,an+1应是x",x+的系数,否则 可作代换或直接利用检比法或检根法来确定 ③求出收敛半径后必须用常数项级数 审敛法判定端点x=±R处的敛散性
|(x)| R －－原级数的发散点 再研究 |(x)|= R ②用公式 1 lim + → = n n n a a R 求收敛半径 1 , n n+ a a 应是 1 , n n+ x x 的系数， 否则 可作代换或直接利用检比法或检根法来确定 ③求出收敛半径后 必须用常数项级数 审敛法判定端点 x = R 处的敛散性 的点的敛散性
(3)幂级数的运算 a.代数运算性质: R=minRi, R2) b.和函数的分析运算性质 和函数连续,逐项微分,逐项积分 收敛半径不变
(3)幂级数的运算 a.代数运算性质: R = minR1 ,R2 b.和函数的分析运算性质: 和函数连续，逐项微分，逐项积分 收敛半径不变
(4)幂级数求和函数 利用几个已知的展开式,如e,simx, ,(1+x) 1±x 通过某些简单运算而求得 i.化成两个幂级数的和,差,积,商 ⅱi.作变量代换y=p(x) ii.求导或积分 2n+1 通项形如 或 先微后积 n2n+1 通项形如mxn或(2n+1)x2先积后微
⑷幂级数求和函数 利用几个已知的展开式，如 ,(1 ) 1 1 ,sin , x x e x x + 通过某些简单运算而求得 ⅰ．化成两个幂级数的和，差，积，商 ⅱ．作变量代换 y = (x) ⅲ．求导或积分 通项形如 2 1 2 1 + + n x n x n n 或 先微后积 通项形如 n n nx n x 1 2 (2 + 1) − 或 先积后微
步骤: ①求收敛域设(x)=∑anx n-=1 ②对(x)=∑ax”进行运算 n=1 s(x)保留所有的运算记号 ∑nx"的运算结果要具体算出 n= 化成易求和的形式 ③再进行上述运算的逆运算得S(x)
步骤： ①求收敛域 = = 1 ( ) n n n 设s x a x ②对 = = 1 ( ) n n s x an x 进行运算 s( x) 保留所有的运算记号 n=1 n an x 的运算结果要具体算出 化成易求和的形式 ③再进行上述运算的逆运算得 s( x)
2.幂级数展开式 (1)定义 (2)充要条件 (3)唯一性 (4)展开方法 a.直接法(泰勒级数法) (n) Xo), 步骤:(1)求an=n (2)讨论imR,=0或f(x)≤M, 则级数在收敛区间内收敛于f(x)
２．幂级数展开式 (1) 定义 (2) 充要条件 (3) 唯一性 (４) 展开方法 a.直接法(泰勒级数法) 步骤: ; ! ( ) (1) 0 ( ) n f x a n 求 n = (2) lim 0 ( ) , ( ) R f x M n n n = → 讨论 或 则级数在收敛区间内收敛于 f (x)
b.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过 变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积 分等方法,求展开式 (5)常见函数展开式 (6)应用 it 欧拉公式 e sint 2i el=cosxtisinx, "e cos t 2
根据唯一性, 利用常见展开式, 通过 变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积 分等方法,求展开式. b.间接法 (５) 常见函数展开式 (６) 应用 欧拉公式 e cos x isin x, i x = + , 2 cos it it e e t − + = , 2 sin i e e t it −it − =