清华大学出版社 000000 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 普通高校本科计算机专业特色教材精选 曹承志编著 智能技术
智能技术 普通高校本科计算机专业特色教材精选 曹承志 编著
清华大学出版社 000000 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 4.1模糊逻辑的数学基础 41.1模糊集合 41.2模糊集合的表示方法 413模糊集合的运算 414隶属函数确定方法 41.5模糊关系
4.1 模糊逻辑的数学基础 4.1.1 模糊集合 4.1.2 模糊集合的表示方法 4.1.3 模糊集合的运算 4.1.4 隶属函数确定方法 4.1.5 模糊关系
清华大学出版社 000000 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 4.1.1模糊集合 在人类的思维中,有许多模糊的概念,如大、小、冷、 热等,都没有明确的内涵和外延,只能用模糊集合来描述 有的概念具有清晰的内涵和外延,如男人和女人。我们把 前者叫做模糊集合,用大写字母下添加波浪线表示,如A 表示模糊集合,而后者叫做普通集合(或经典集合)。 一般而言,在不同程度上具有某种特定属性的所有元素 的总合叫做模糊集合。 例如,胖子就是一个模糊集合,它是指不同程度发胖的 那群人,它没有明确的界线,也就是说你无法绝对地指出 哪些人属于这个集合,而哪些人不属于这个集合,类似这 样的概念,在人们的日常生活中随处可见
4.1.1 模糊集合 • 在人类的思维中，有许多模糊的概念，如大、小、冷、 热等，都没有明确的内涵和外延，只能用模糊集合来描述； 有的概念具有清晰的内涵和外延，如男人和女人。我们把 前者叫做模糊集合，用大写字母下添加波浪线表示，如A 表示模糊集合，而后者叫做普通集合(或经典集合)。 • 一般而言，在不同程度上具有某种特定属性的所有元素 的总合叫做模糊集合。 • 例如，胖子就是一个模糊集合，它是指不同程度发胖的 那群人，它没有明确的界线，也就是说你无法绝对地指出 哪些人属于这个集合，而哪些人不属于这个集合，类似这 样的概念，在人们的日常生活中随处可见
清华大学出版社 000000 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 隶属函数 在普通集合中,曾用特征函数来描述集合,而对于模 糊性的事物,用特征函数来表示其属性是不恰当的。因为 模糊事物根本无法断然确定其归属。为了能说明具有模糊 性事物的归属,可以把特征函数取值0、1的情况,改为对 闭区间[0,1的取值。这样,特征函数就可取0~1之间的 无穷多个值,即特征函数演变成可以无穷取值的连续逻辑 函数。从而得到了描述模糊集合的特征函数——隶属函数, 它是模糊数学中最基本和最重要的概念,其定义为: 用于描述模糊集合,并在[0,1]闭区间连续取值的特征函 数叫隶属函数,隶属函数用A(x)表示,其中A表示模糊 集合,而是A的元素,隶属函数满足: 0≤/(x)≤1
隶属函数 在普通集合中，曾用特征函数来描述集合，而对于模 糊性的事物，用特征函数来表示其属性是不恰当的。因为 模糊事物根本无法断然确定其归属。为了能说明具有模糊 性事物的归属，可以把特征函数取值0、1的情况，改为对 闭区间[0，1]的取值。这样，特征函数就可取0～1之间的 无穷多个值，即特征函数演变成可以无穷取值的连续逻辑 函数。从而得到了描述模糊集合的特征函数——隶属函数， 它是模糊数学中最基本和最重要的概念，其定义为： 用于描述模糊集合，并在[0，1]闭区间连续取值的特征函 数叫隶属函数，隶属函数用μA (x)表示，其中A表示模糊 集合，而x是A的元素，隶属函数满足： 0≤μA (x)≤1
清华大学出版社 000000 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 表示青年的集合 有了隶属函数以后,人们就可以把元素对模 糊集合的归属程度恰当地表示出来。例如青年是 个集合,用普通集合表示时为集合A,并且有 A={x15岁≤x25岁} 则这时的特征函数如图4-1(a)所示。如果用模糊 集合A表示,并且有 d x)=e 则这时的隶属函数如图4-1(b)所示
表示青年的集合 有了隶属函数以后，人们就可以把元素对模 糊集合的归属程度恰当地表示出来。例如青年是 一个集合，用普通集合表示时为集合A，并且有 A＝{x|15岁≤x≤25岁} 则这时的特征函数如图4–1(a)所示。如果用模糊 集合A表示，并且有 μA (x)＝e 则这时的隶属函数如图4–1(b)所示。 2 ) 7 20 ( − − x
清华大学出版社 000000 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS HA 5 10 15 20 30 35 40II5 10 15 20 253035407 图4-1青年的特征函数和隶属函数 (a)特征函数(b)隶属函数
清华大学出版社 000000 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 从图4-1中可以看出,隶属函数较为正确地表示 了青年这个集合。因为青年不可能有特征函数那 样绝对明确地边界。它们的边界是不清晰的,具 有逐步过渡的性质。青年这一层以20岁为中心, 其隶属度为最大,距离中心越远,其隶属度也就 越小。 这样,一个模糊的概念,只要指定论域U中各 个元素对它的符合程度,这个模糊概念也就得到 种集合表示了。把元素对概念的符合程度看作 元素对集合的隶属程度,那么指定各个元素的隶 属度也就指定了一个集合。因此模糊集合完全可 由隶属函数所刻划
• 从图4–1中可以看出，隶属函数较为正确地表示 了青年这个集合。因为青年不可能有特征函数那 样绝对明确地边界。它们的边界是不清晰的，具 有逐步过渡的性质。青年这一层以20岁为中心， 其隶属度为最大，距离中心越远，其隶属度也就 越小。 • 这样，一个模糊的概念，只要指定论域U中各 个元素对它的符合程度，这个模糊概念也就得到 一种集合表示了。把元素对概念的符合程度看作 元素对集合的隶属程度，那么指定各个元素的隶 属度也就指定了一个集合。因此模糊集合完全可 由隶属函数所刻划
清华大学出版社 000000 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 4.1.2模糊集合的表示方法 模糊集合由于没有明确的边界,只能有一种描述方法 就是用隶属函数描述。 Zadeh于1965年曾给出下列定义: 设给定论域UA为倒到[0,1闭区间的任一映射, 9 X→→(X A 都可确定U的一个模糊集合A,HA称为模糊集合丛的隶属函 数。x∈U,HA(x称为元素x对的隶属函数,即x隶属于A 的程度。 当A(x)值域取值[0,1]闭区间两个端点时,即取值 0,1时,pA(x)即为特征函数,便转化为一个普通集 合。由此可见模糊集合是普通集合概念的推广,而普通集 合则是模糊集合的特殊情况
4.1.2 模糊集合的表示方法 模糊集合由于没有明确的边界，只能有一种描述方法， 就是用隶属函数描述。Zadeh于1965年曾给出下列定义： 设给定论域U，μA为U到[0，1]闭区间的任一映射， μA：U [0，1] x μA (x) 都可确定U的一个模糊集合A，μA称为模糊集合A的隶属函 数。x∈U，μA (x)称为元素x对A的隶属函数，即x隶属于A 的程度。 当μA (x)值域取值[0, 1]闭区间两个端点时，即取值 {0, 1}时，μA (x)即为特征函数，A便转化为一个普通集 合。由此可见模糊集合是普通集合概念的推广，而普通集 合则是模糊集合的特殊情况
清华大学出版社 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 1有限论域 若论域U且论域V={1,x2,…,xn},则U上的模 糊集合A可表示为 1(x)1(x)p(x2) 4( A=∑ 其中:4A(x2)(=1,2,…,n)为隶属度,x为论域中 的元素。当隶属度为0时,该项可以略去不写。例如: A=1/a+0.9/b+0.4/c+0.2/d+0/e 或 A=1/a+0.9/b+0.4/c+0.2/d 注意,与普通集合一样,上式不是分式求和,仅是一种表 示法的符号,其分母表示论域中的元素,分子表示相应 元素的隶属度,隶属度为0的那一项可以省略
1.有限论域 若论域U，且论域U＝{x1，x2，…，xn }，则U上的模 糊集合A可表示为： A＝ ＝ 其中：μA (xi )（i＝1，2，…，n）为隶属度，xi为论域中 的元素。当隶属度为0时，该项可以略去不写。例如： A＝1/a ＋ 0.9/b ＋ 0.4/c ＋ 0.2/d ＋ 0/e 或 A＝1/a ＋ 0.9/b ＋ 0.4/c ＋ 0.2/d 注意，与普通集合一样，上式不是分式求和，仅是一种表 示法的符号，其分母表示论域U中的元素，分子表示相应 元素的隶属度，隶属度为0的那一项可以省略。 = n i i A i x x 1 ( ) ~ n A A A n x x x x x x ( ) ...... ( ) ( ) 2 2 1 1 + + +
清华大学出版社 000000 TSINGHUA UNIVERSITY PRESS 2.无限论域 在论域是无限的情况下,上面的记法就不行了,为此 需将表示方法从有限论域推广至一般情况。 取一连续实数区间,这时L的模糊集合以用实函数来表 示。不论论域是否有限,都可以表示为: A A x-U X 其中:积分号不是高等数学中的积分意义,也不是求和号, 而是表示各个元素与隶属度对应的一个总括形式 当然,给出隶属函数的解析式子也能表示出一个模糊集
2．无限论域 在论域是无限的情况下，上面的记法就不行了，为此 需将表示方法从有限论域推广至一般情况。 取一连续实数区间，这时U的模糊集合A可以用实函数来表 示。不论论域是否有限，都可以表示为： A＝ 其中：积分号不是高等数学中的积分意义，也不是求和号， 而是表示各个元素与隶属度对应的一个总括形式。 当然，给出隶属函数的解析式子也能表示出一个模糊集。 x→U A x (x) ~