第6章树与森林 第6章树与森林 6-1写出用广义表表示法表示的树的类声明,并给出如下成员函数的实现: (1) operator>>()接收用广义表表示的树作为输入,建立广义表的存储表示; (2)复制构造函数用另一棵表示为广义表的树初始化一棵树 (3) operator=()测试用广义表表示的两棵树是否相等 (4) operator #define maxSub TreeNum 20 最大子树(子表)个数 class EntRee: ∥ Gen tree类的前视声明 lass GenTreeNode i 广义树结点类的声明 private 结点标志 Gen TreeNode s ne /dtpe=0,指向第一个 /tpe=1或2,指向同 ∥联合 char rootdata: type=0,根结点数据 har Childdata: /tpe=1,子女结点数据 Gen TreeNode *firstchild type=2,指向第一个子女的指针 public: if (tp=0)RootData= item; else ChildData=item; J ∥构造函数:构造广义表表示的树的数据结点 Gen TreeNode( GenTreeNode *son= NULL): utype(2), nextSibling (NULL), firstChild( son)U ∥构造函数:构造广义表表示的树的子树结点 ∥返回结点的数据类型 char GetData(i return data; 返回数据结点的值 GenTreeNode"GetFchild (return firstChild: j ∥返回子树结点的地址 历返回下一个兄弟结点的地址 void setlnfo( char item)( data=item; 3 ∥将结点中的值修改为item void set Child( Gen TreeNode *ptr)( firstChild=ptr; 1 ∥将结点中的子树指针修改为p void setNsinbilg( Gen TreeNode ptr)(nextSibling=ptr; 3 class entRee i ∥广义树类定义 private: en TreeNode "first; ∥根指针
第 6 章 树与森林 66 第 6 章 树与森林 6-1 写出用广义表表示法表示的树的类声明，并给出如下成员函数的实现： (1) operator >> ( ) 接收用广义表表示的树作为输入，建立广义表的存储表示； (2) 复制构造函数 用另一棵表示为广义表的树初始化一棵树； (3) operator == ( ) 测试用广义表表示的两棵树是否相等； (4) operator #define maxSubTreeNum 20; //最大子树(子表)个数 class GenTree; //GenTree 类的前视声明 class GenTreeNode { //广义树结点类的声明 friend class GenTree; private: int utype; //结点标志：=0, 数据; =1, 子女 GenTreeNode * nextSibling; //utype=0, 指向第一个子女; //utype=1 或 2, 指向同一层下一兄弟 union { //联合 char RootData; //utype=0, 根结点数据 char Childdata; //utype=1, 子女结点数据 GenTreeNode *firstChild; //utype=2, 指向第一个子女的指针 } public: GenTreeNode ( int tp, char item ) : utype (tp), nextSibling (NULL) { if ( tp == 0 ) RootData = item; else ChildData = item; } //构造函数：构造广义表表示的树的数据结点 GenTreeNode ( GenTreeNode *son = NULL ) : utype (2), nextSibling (NULL), firstChild ( son ) { } //构造函数：构造广义表表示的树的子树结点 int nodetype ( ) { return utype; } //返回结点的数据类型 char GetData ( ) { return data; } //返回数据结点的值 GenTreeNode * GetFchild ( ) { return firstChild; } //返回子树结点的地址 GenTreeNode * GetNsibling ( ) { return nextSibling; } //返回下一个兄弟结点的地址 void setInfo ( char item ) { data = item; } //将结点中的值修改为 item void setFchild ( GenTreeNode * ptr ) { firstChild = ptr; } //将结点中的子树指针修改为 ptr void setNsinbilg ( GenTreeNode * ptr ) { nextSibling = ptr; } }; class GenTree { //广义树类定义 private: GenTreeNode *first; //根指针
第6章树与森林 建树时的停止输入标志 ∥复制一个pt指示的子树 void Traverse( GenListNode*ptr ) ∥对p为根的子树遍历并输出 /将以p为根的广义树结构释放 friend int Equal( Gen TreeNode*s, GenTreeNodet ) ∥比较以s和t为根的树是否相等 ublic 构造函数 EntRee(; ∥析构函数 ∥判两棵树t与是否相等 friend istream& operator >> istream& in, Gen Tree& t); 输入 friend ostream& operator >()接收用广义表表示的树作为输入,建立广义表的存储表示 istream& operator >> istream& in, Gen Tree&t)i ∥友元函数,从输入流对象i接受用广义表表示的树,建立广义表的存储表示t。 t. ConstructTree( in, ret Value ) return in: void Gen Tree: ConstructTree( istream& in, char& value )i ∥从输入流对象n接受用广义表表示的非空树,建立广义表的存储表示te Stack st(max SubTreeNum); 用于建表时记忆回退地址 Gen TreeNode*p, q, r; Type ch cin > value ∥广义树停止输入标志数据 first=q= new GenTreeNode(0, ch ) ∥建立整个树的根结点 if( ch==()st Push(q) ∥接着应是`(,进栈 switch( ch)& case( new GenTreeNode (q); ∥建立子树,p-> firstchild=q r=st GetTop(: st Pop(; ∥从栈中退出前一结点 r->nextsibling ∥插在前一结点r之后 stPush(p ) st Push( q ) ∥子树结点及子树根结点进栈 case): q->nextSibling= NULL; st pop(; ∥子树建成,封闭链,退到上层 if( st Is Empty (==0)q=st GetTop(); ∥栈不空,取上层链子树结点 else return 0: ∥栈空,无上层链,算法结東 ir( isupper(ch)q= new Gen TreeNode(0,ch);∥大写字母,建根结点
第 6 章 树与森林 67 char retValue; //建树时的停止输入标志 GenTreeNode *Copy ( GenTreeNode * ptr ); //复制一个 ptr 指示的子树 void Traverse ( GenListNode * ptr ); //对 ptr 为根的子树遍历并输出 void Remove ( GenTreeNode *ptr ); //将以 ptr 为根的广义树结构释放 friend int Equal ( GenTreeNode *s, GenTreeNode *t ); //比较以 s 和 t 为根的树是否相等 public: GenTree ( ); //构造函数 GenTree ( GenTree& t ); //复制构造函数 ~GenTree ( ); //析构函数 friend int operator == ( GenTree& t1, GenTree& t2 ); //判两棵树 t1 与 t2 是否相等 friend istream& operator >> ( istream& in, GenTree& t ); //输入 friend ostream& operator > ( ) 接收用广义表表示的树作为输入，建立广义表的存储表示 istream& operator >> ( istream& in, GenTree& t ) { //友元函数, 从输入流对象 in 接受用广义表表示的树，建立广义表的存储表示 t。 t.ConstructTree ( in, retValue ); return in; } void GenTree :: ConstructTree ( istream& in, char& value ) { //从输入流对象 in 接受用广义表表示的非空树，建立广义表的存储表示 t。 Stack st (maxSubTreeNum); //用于建表时记忆回退地址 GenTreeNode * p, q, r; Type ch; cin >> value; //广义树停止输入标志数据 cin >> ch; first = q = new GenTreeNode ( 0, ch ); //建立整个树的根结点 cin >> ch; if ( ch == ‘(’ ) st.Push ( q ); //接着应是‘(’, 进栈 cin >> ch; while ( ch != value ) { //逐个结点加入 switch ( ch ) { case ‘(’ : p = new GenTreeNode ( q ); //建立子树, p->firstChild = q r = st.GetTop( ); st.Pop( ); //从栈中退出前一结点 r->nextSibling = p; //插在前一结点 r 之后 st.Push( p ); st.Push( q ); //子树结点及子树根结点进栈 break; case ‘)’ : q->nextSibling = NULL; st.pop( ); //子树建成, 封闭链, 退到上层 if ( st.IsEmpty ( ) == 0 ) q = st.GetTop( ); //栈不空, 取上层链子树结点 else return 0; //栈空, 无上层链, 算法结束 break; case ‘,’ : break; default : p = q; if ( isupper (ch) ) q = new GenTreeNode ( 0, ch ); //大写字母, 建根结点
第6章树与森林 else q=new GenTreeNode( 1, ch ) ∥排大写字母,建数据结点 (2)复制构造函数用另一棵表示为广义表的树初始化一棵树 GenTree: GenTree( const GenTree& t)i ∥共有函数 GenTreeNode* Gen Tree Copy( Gen TreeNode"ptr)t ∥私有函数,复制一个p指示的用广义表表示的子树 Gen TreeNode * q=NUll q= new Gen TreeNode( ptr->utype, NULL ) 传送值域 case 0: q->RootData= ptr-> RootData: break ∥传送根结点数据 case 1: q->Child Data= ptr->ChildData: break; ∥传送子女结点数据 case2:q-> firstchild=Copy(pr-> firstchild); break;∥递归传送子树信息 q->nextsibling= Copy( ptr->nexts ibling ) ∥复制同一层下一结点为头的表 return q; (3) operator==()测试用广义表表示的两棵树是否相等 int operator==( Gen Tree& tl, Gen Tree& 22) ∥友元函数:判两棵树t与是否相等,若两表完全相等,函数返回1,否则返回0 return Equal(tl. first, t2. first ) int Equal( Gen TreeNode tl, GenTreeNode t2)i 是 GenTreeNode的友元函数 if( tI ==NULL &&t2=NULL)return 1: ∥表t1与表都是空树,相等 f(t=NUL&&t2l=NULL&&tl->upe=口2->utpe){W两子树都非空且结点类型相同 switch( tl->utype ∥比较对应数据 case0: x=(tI->RootData==t2->RootData)? 1: 0; ∥根数据结点 se 1: x=(tI->ChildData ==t2->ChildData)? 1: 0; ∥)子女数据结点
第 6 章 树与森林 68 else q = new GenTreeNode ( 1, ch ); //非大写字母, 建数据结点 p->nextSibling = q; //链接 } cin >> ch; } } (2) 复制构造函数 用另一棵表示为广义表的树初始化一棵树； GenTree :: GenTree ( const GenTree& t ) { //共有函数 first = Copy ( t.first ); } GenTreeNode* GenTree :: Copy ( GenTreeNode *ptr ) { //私有函数，复制一个 ptr 指示的用广义表表示的子树 GenTreeNode *q = NULL; if ( ptr != NULL ) { q = new GenTreeNode ( ptr->utype, NULL ); switch ( ptr->utype ) { //根据结点类型 utype 传送值域 case 0 : q->RootData = ptr->RootData; break; //传送根结点数据 case 1 : q->ChildData = ptr->ChildData; break; //传送子女结点数据 case 2 : q->firstChild = Copy ( ptr->firstChild ); break; //递归传送子树信息 } q->nextSibling = Copy ( ptr->nextSibling ); //复制同一层下一结点为头的表 } return q; } (3) operator == ( ) 测试用广义表表示的两棵树是否相等 int operator == ( GenTree& t1, GenTree& t2 ) { //友元函数 : 判两棵树 t1 与 t2 是否相等, 若两表完全相等, 函数返回 1, 否则返回 0。 return Equal ( t1.first, t2.first ); } int Equal ( GenTreeNode *t1, GenTreeNode *t2 ) { //是 GenTreeNode 的友元函数 int x; if ( t1 == NULL && t2 == NULL ) return 1; //表 t1 与表 t2 都是空树, 相等 if ( t1 != NULL && t2 != NULL && t1->utype == t2->utype ) { //两子树都非空且结点类型相同 switch ( t1->utype ) { //比较对应数据 case 0 : x = ( t1->RootData == t2->RootData ) ? 1 : 0; //根数据结点 break; case 1 : x = ( t1->ChildData == t2->ChildData ) ? 1 : 0; //子女数据结点 break;
第6章树与森林 case 2: x= Equal(tl->firstChild, t2-> firstChild )i ∥递归比较其子树 if (x)return Equal( tl->nextsibling, t2->nextSibling )i ∥相等,递归比较同一层的下一个结点;不等,不再递归比较 eturn 0: (4) operatorutype ==0)out RootData utype=1)i ∥子女数据结点 Data; I= NULL)out ∥子树结点 traverse( ptr->firstChild ) m向子树方向搜索 if( ptr->nextSibling I=NULL )out nextSibling ) ∥向同一层下一兄弟搜索 5)析构函数清除一棵用广义表表示的树 GenTree :EntRee(i ∥用广义表表示的树的析构函数,假定frst≠NULL Remove( first )i void GenTree Remove( Gen ptr )t Gen TreeNode*p; while( ptr I=NULL)( p= ptr->nextSibling; if( p->utype ==2)Remove( p->firstChild ) ∥在子树中删除
第 6 章 树与森林 69 case 2 : x = Equal ( t1->firstChild, t2->firstChild ); //递归比较其子树 } if ( x ) return Equal ( t1->nextSibling, t2->nextSibling ); //相等, 递归比较同一层的下一个结点; 不等, 不再递归比较 } return 0; } (4) operator utype == 0 ) out RootData utype == 1 ) { //子女数据结点 out ChildData; if ( ptr->nextSibling != NULL ) out firstChild ); //向子树方向搜索 if ( ptr->nextSibling != NULL ) out nextSibling ); //向同一层下一兄弟搜索 } else out nextSibling; if ( p->utype == 2 ) Remove ( p->firstChild ); //在子树中删除
第6章树与森林 ptr->nextSibling=p->nextSibling: delete(p); ∥释放结点 6-2列出右图所示二叉树的叶结点、分支结点和每个结点的层次 【解答】 二又树的叶结点有⑥、⑧、⑨。分支结点有①、②、③、④、⑤、⑦。④ 结点①的层次为0:结点②、③的层次为1:结点④、⑤、⑥的层次 为2;结点⑦、⑧的层次为3:结点⑨的层次为4 6-3使用(1)顺序表示和(2)二叉链表表示法,分别画出右图所示二叉树的存储表示。 【解答】 01234 6789 ②|③ ⑤⑥⑦ 园內 囚人 顺序表示 回A 叉链表表示 6-4用嵌套类写出用链表表示的二叉树的类声明 【解答】 #include template class Binary Tree t private: template class Bin TreeNode i BinTreeNode *leftChild, *rightChild ata: Type dat Type Revalue; BinTreeNode*root; BinTreeNode*Parent( BinTreeNode*start, BinTreeNode*current ) int Insert( BinTreeNode*current, const Type& item )i t Find( BinTreeNode*current, const Type& item )const; void destroy( BinTreeNode *current )i void Traverse( BinTreeNode *current, ostream& out)const public: Binary Tree () root( NULL) Binary Tree( Type value): RefValue( value ) root( NULL Binary Tree(i destroy(root);) BinTreeNode ( leftChild( NUlL ) right Child(NULL)0 BinTreeNode( Type item ) data( item ) left Child( NUll ) rightChild NULL)0
第 6 章 树与森林 70 ptr->nextSibling = p->nextSibling; delete ( p ); //释放结点 p } } 6-2 列出右图所示二叉树的叶结点、分支结点和每个结点的层次。 【解答】 二叉树的叶结点有⑥、⑧、⑨。分支结点有①、②、③、④、⑤、⑦。 结点①的层次为 0；结点②、③的层次为 1；结点④、⑤、⑥的层次 为 2；结点⑦、⑧的层次为 3；结点⑨的层次为 4。 6-3 使用 (1) 顺序表示和 (2) 二叉链表表示法，分别画出右图所示二叉树的存储表示。 【解答】 6-4 用嵌套类写出用链表表示的二叉树的类声明。 【解答】 #include template class BinaryTree { private: template class BinTreeNode { public: BinTreeNode *leftChild, *rightChild; Type data; } Type RefValue; BinTreeNode * root; BinTreeNode *Parent ( BinTreeNode *start, BinTreeNode *current ); int Insert ( BinTreeNode *current, const Type& item ); int Find ( BinTreeNode *current, const Type& item ) const; void destroy ( BinTreeNode *current ); void Traverse ( BinTreeNode *current, ostream& out ) const; public: BinaryTree ( ) : root ( NULL) { } BinaryTree ( Type value ) : RefValue ( value ), root ( NULL ){ } ~BinaryTree ( ) { destroy (root); } BinTreeNode ( ) : leftChild ( NULL), rightChild ( NULL) { } BinTreeNode ( Type item ) : data ( item ), leftChild ( NULL ), rightChild ( NULL ) {} ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑨ ⑧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ 顺序表示 二叉链表表示
第6章树与森林 Type& Get Data()const i return data: 1 GetLeft(const return leftChild; j BinTreeNode* GetRight ()const( return right Child; 3 void SetData( const Type& item )i data=item; j void SetLeft( BinTreeNode*L)(leftChild=L;) void SetRight( BinTreeNode *R )RightChild =R; j int IsEmpty (i return root==NULL? 1: 0; BinTreeNode"Parent( BinTreeNode *current f return root=NULL I root rent NULL Parent( root, current ); BinTreeNode" LeftChild( BinTreeNode*currer i return current I= NULL current-> leftChild: NULL; J BinTreeNode*RighttChild( Bin TreeNode *current i return current != NULL? current->right Child NULL int Insert( const Type& item ) BinTreeNode* Find( const Type& item ) friend istream& operator >> istream& in, Binary Tree& Tree ) 输入二叉树 friend ostream& operator&Tree;输出二叉树 6-5在结点个数为n(m>1)的各棵树中,高度最小的树的高度是多少?它有多少个叶结点?多少个分支结 点?高度最大的树的高度是多少?它有多少个叶结点?多少个分支结点? 【解答】 结点个数为n时,高度最小的树的高度为1,有2层;它有n-1个叶结点,1个分支结点;高度最 大的树的高度为n1,有n层:它有1个叶结点,n-1个分支结点 6-6试分别画出具有3个结点的树和3个结点的二叉树的所有不同形态 【解答】 具有3个结点的树 具有3个结点的二叉树 6-7如果一棵树有n个度为1的结点,有n个度为2的结点,…,mm个度为m的结点,试问有多少个度 为0的结点?试推导之 【解答】 总结点数n=n+n1+n2 总分支数e=n-1=n+n1+n2+…+nm-1 m*nm+(m-1)*nm-1+…+2°n2+n1 则有n=(5-m)+1
第 6 章 树与森林 71 Type& GetData ( ) const { return data; } BinTreeNode* GetLeft ( ) const { return leftChild; } BinTreeNode* GetRight ( ) const{ return rightChild; } void SetData ( const Type& item ){ data = item; } void SetLeft ( BinTreeNode *L ) { leftChild = L; } void SetRight ( BinTreeNode *R ){ RightChild =R; } int IsEmpty ( ) { return root == NULL ? 1 : 0; } BinTreeNode *Parent ( BinTreeNode *current ) { return root == NULL|| root == current ? NULL : Parent ( root, current ); } BinTreeNode * LeftChild ( BinTreeNode *current ) { return current != NULL ? current->leftChild : NULL; } BinTreeNode * RighttChild ( BinTreeNode *current ) { return current != NULL? current->rightChild : NULL; } int Insert ( const Type& item ); BinTreeNode * Find ( const Type& item ); BinTreeNode * GetRoot ( ) const { return root; } friend istream& operator >> ( istream& in, BinaryTree& Tree ); //输入二叉树 friend ostream& operator & Tree ); //输出二叉树 } 6-5 在结点个数为 n (n>1)的各棵树中，高度最小的树的高度是多少？它有多少个叶结点？多少个分支结 点？高度最大的树的高度是多少？它有多少个叶结点？多少个分支结点？ 【解答】 结点个数为 n 时，高度最小的树的高度为 1，有 2 层；它有 n-1 个叶结点，1 个分支结点；高度最 大的树的高度为 n-1，有 n 层；它有 1 个叶结点，n-1 个分支结点。 6-6 试分别画出具有 3 个结点的树和 3 个结点的二叉树的所有不同形态。 【解答】 具有 3 个结点的树 具有 3 个结点的二叉树 6-7 如果一棵树有 n1 个度为 1 的结点, 有 n2 个度为 2 的结点, … , nm个度为 m 的结点, 试问有多少个度 为 0 的结点? 试推导之。 【解答】 总结点数 n = n0 + n1 + n2 + … + nm 总分支数 e = n-1 = n0 + n1 + n2 + … + nm-1 = m*nm + (m-1)*nm-1 + … + 2*n2 + n1 则有 ( 1) 1 2 0 + = − = m i ni n i
第6章树与森林 6-8试分别找出满足以下条件的所有二叉树 (1)二叉树的前序序列与中序序列相同; (2)二叉树的中序序列与后序序列相同 (3)二叉树的前序序列与后序序列相同 【解答】 (1)二叉树的前序序列与中序序列相同:空树或缺左子树的单支树; (2)二叉树的中序序列与后序序列相同:空树或缺右子树的单支树 (3)二叉树的前序序列与后序序列相同:空树或只有根结点的二叉树 6-9若用二叉链表作为二叉树的存储表示,试针对以下问题编写递归算法: (1)统计二叉树中叶结点的个数 (2)以二叉树为参数,交换每个结点的左子女和右子女 【解答】 (1)统计二叉树中叶结点个数 int Binary Tree : leaf BinTreeNode*ptr)t if( ptr ==NULL )return 0; else if( ptr->leftChild nULL & ptr->rightChild NULL )return 1; else return leaf ptr->leftChild )+ leaf( ptr->rightChild ) (2)交换每个结点的左子女和右子女 void Binary Tree: exchange( BinTreeNode*ptr)i BinTreeNode *temp if( ptr->leftChild NULL II ptr->rightChild!=NULL ) temp= ptr->leftChild: ptr->left Child= ptr->rightChild: change( ptr->leftChild ) exchange( ptr->rightChild ) 6-10一棵高度为h的满k叉树有如下性质:第h层上的结点都是叶结点,其余各层上每个结点都有k棵 非空子树,如果按层次自顶向下,同一层自左向右,顺序从1开始对全部结点进行编号,试问 (1)各层的结点个数是多少? (2)编号为i的结点的父结点(若存在)的编号是多少? (3)编号为i的结点的第m个孩子结点(若存在)的编号是多少? (4)编号为i的结点有右兄弟的条件是什么?其右兄弟结点的编号是多少? (5)若结点个数为n,则高度h是n的什么函数关系 【解答】 (1)k(i=0,1,……,h) k
第 6 章 树与森林 72 6-8 试分别找出满足以下条件的所有二叉树: (1) 二叉树的前序序列与中序序列相同; (2) 二叉树的中序序列与后序序列相同; (3) 二叉树的前序序列与后序序列相同。 【解答】 (1) 二叉树的前序序列与中序序列相同：空树或缺左子树的单支树； (2) 二叉树的中序序列与后序序列相同：空树或缺右子树的单支树； (3) 二叉树的前序序列与后序序列相同：空树或只有根结点的二叉树。 6-9 若用二叉链表作为二叉树的存储表示，试针对以下问题编写递归算法： (1) 统计二叉树中叶结点的个数。 (2) 以二叉树为参数，交换每个结点的左子女和右子女。 【解答】 (1) 统计二叉树中叶结点个数 int BinaryTree :: leaf ( BinTreeNode * ptr ) { if ( ptr == NULL ) return 0; else if ( ptr->leftChild == NULL && ptr->rightChild == NULL ) return 1; else return leaf ( ptr->leftChild ) + leaf ( ptr->rightChild ); } (2) 交换每个结点的左子女和右子女 void BinaryTree :: exchange ( BinTreeNode * ptr ) { BinTreeNode * temp; if ( ptr->leftChild != NULL || ptr->rightChild != NULL ) { temp = ptr->leftChild; ptr->leftChild = ptr->rightChild; ptr->rightChild = temp; exchange ( ptr->leftChild ); exchange ( ptr->rightChild ); } } 6-10 一棵高度为 h 的满 k 叉树有如下性质: 第 h 层上的结点都是叶结点, 其余各层上每个结点都有 k 棵 非空子树, 如果按层次自顶向下, 同一层自左向右, 顺序从 1 开始对全部结点进行编号, 试问: (1) 各层的结点个数是多少? (2) 编号为 i 的结点的父结点(若存在)的编号是多少? (3) 编号为 i 的结点的第 m 个孩子结点(若存在)的编号是多少? (4) 编号为 i 的结点有右兄弟的条件是什么? 其右兄弟结点的编号是多少? (5) 若结点个数为 n, 则高度 h 是 n 的什么函数关系? 【解答】 (1) k i ( i = 0, 1, ……, h ) (2) + − k i k 2
第6章树与森林 (3)(i-1)*k+m+1 (4)(1)%k≠0或is+k-2|k时有右兄弟,右兄弟为计+1 (5)h=logk(n*(k-1)+1)-1(n=0时h=-1) 6-11试用判定树的方法给出在中序线索化二叉树上: 【解答】 (1)搜索指定结点的在中序下的后继 设指针q指示中序线索化二叉树中的指定结点,指针p指示其后继结点。 q->rightThread==1? g->righIChild== NULL? q的后继为q的右子树中 中序下的第一个结点 q无后继 q的后继为q-> righIChild 找q的右子树中在中序下的第一个结点的程序为: p=q->rightChild; whie(p-> leftThread=1)p=p-> leftchild;∥p即为q的后继 (2)搜索指定结点的在前序下的后继。 q的后继为q-> reich g->rightThree 的后继为q-> righIChild p-4 while( p->rightThread== l & p->righIChild != NULl)p=p->righI child if(p-> righichild==NUL)q无后继 (3)搜索指定结点的在后序下的后继。 (p= parent(q ))==NULL? q无后继 p->right'Thread==1 II g->rightchild= q的后继为p q的后继为p的右子树中后序下的第一个结点 可用一段遍历程序来实现寻找p的右子树中后序下的第一个结点:即该子树第一个找到的叶结点。 找到后立即返回它的地址。 6-12已知一棵完全二叉树存放于一个一维数组T[n中,Tn中存放的是各结点的值。试设计一个算法 从T0开始顺序读出各结点的值,建立该二叉树的二叉链表表示 【解答】 template ∥建立二叉树 istream& operator >> istream& in, Binary Tree& t)i cout>n:
第 6 章 树与森林 73 (3) ( i-1)*k + m + 1 (4) ( i-1 ) % k 0 或 * k k i k 2 i + − 时有右兄弟，右兄弟为 i + 1。 (5) h = logk (n*(k-1)+1)-1 (n = 0 时 h = -1 ) 6-11 试用判定树的方法给出在中序线索化二叉树上： 【解答】 (1) 搜索指定结点的在中序下的后继。 设指针 q 指示中序线索化二叉树中的指定结点，指针 p 指示其后继结点。 找 q 的右子树中在中序下的第一个结点的程序为： p = q->rightChild; while ( p->leftThread == 1 ) p = p->leftChild; // p 即为 q 的后继 (2) 搜索指定结点的在前序下的后继。 (3) 搜索指定结点的在后序下的后继。 可用一段遍历程序来实现寻找 p 的右子树中后序下的第一个结点：即该子树第一个找到的叶结点。 找到后立即返回它的地址。 6-12 已知一棵完全二叉树存放于一个一维数组 T[n]中，T[n]中存放的是各结点的值。试设计一个算法， 从 T[0]开始顺序读出各结点的值，建立该二叉树的二叉链表表示。 【解答】 template //建立二叉树 istream& operator >> ( istream& in, BinaryTree& t ) { int n; cout > n; q->rightThread == 1? = ≠ q->rightChild == NULL ? = q 无后继 ≠ q 的后继为 q->rightChild q 的后继为 q 的右子树中 中序下的第一个结点 q->leftThread == 0 ? = q的后继为 q->leftChild ≠ q->rightThread == 0 ? = q 的后继为 q->rightChild ≠ p = q; while ( p->rightThread == 1 && p->rightChild != NULL ) p = p->rightChild; if ( p->rightChild ==NULL ) q 无后继; else 的后继为 p->rightChild ( p = parent (q ) ) == NULL ? = q 的后继为 p ≠ p->rightThread == 1 || p->rightChild == q ?= ≠ q 的后继为 p 的右子树中后序下的第一个结点 q 无后继
第6章树与森林 Type "A= new Type[n+1]; for int 1=0; i>A0; t. ConstructTree( T, n, O,ptr ∥以数组建立一棵二叉树 []A return in: template void Binary Tree: ConstructTree( Type TI int n, int 1, BinTreeNode*& ptr )i ∥有函数:将用Tn]顺序存储的完全二叉树,以i为根的子树转换成为用二叉链表表示的 ∥以pt为根的完全二叉树。利用引用型参数pt将形参的值带回实参。 if (i >=n) ptr =NULL; tr= new BinTreeNode(To); ∥建立根结点 ConstructTree(T, n, 2 i+l, ptr->leftChild ) ConstructTree(T, n, 2*i+2, ptr->rightChild ) 6-13试编写一个算法,把一个新结点1作为结点s的左子女插入到一棵中序线索化二叉树中,s原来的 左子女变成l的左子女。 【解答】 template void thre ead Tree: leftlnsert(ThreadNode*s, ThreadNode"I)i (sI= NULL &&Il=NULL )i l-> leftchild=s-> leftchild;l-> leftthread=s-> leftThread;∥预先链接 1->rightChild =s; 1->rightThread =1 新插入结点的后继为s s->leftchild =I: s->leftThread =03 ∥成为*s的左子女 if (l->leftThread ==0) ∥1的左子女存在 ThreadNodeleftChild while( p->rightThread ==0) ∥找1的左子树中序下最后一个结点 p=p-right Child: p->rightChild =I; ∥该结点的后继为 6-14写出向堆中加入数据4,2,5,8,3,6,10,14时,每加入一个数据后堆的变化。 【解答】以最小堆为例:
第 6 章 树与森林 74 Type *A = new Type[n+1]; for ( int i = 0; i > A[i]; t. ConstructTree( T, n, 0, ptr ); //以数组建立一棵二叉树 delete [ ] A; return in; } template void BinaryTree :: ConstructTree ( Type T[ ], int n, int i, BinTreeNode *& ptr ) { //私有函数 : 将用 T[n]顺序存储的完全二叉树, 以 i 为根的子树转换成为用二叉链表表示的 //以 ptr 为根的完全二叉树。利用引用型参数 ptr 将形参的值带回实参。 if ( i >= n ) ptr = NULL; else { ptr = new BinTreeNode ( T[i] ); //建立根结点 ConstructTree ( T, n, 2*i+1, ptr->leftChild ); ConstructTree ( T, n, 2*i+2, ptr->rightChild ); } } 6-13 试编写一个算法，把一个新结点 l 作为结点 s 的左子女插入到一棵中序线索化二叉树中，s 原来的 左子女变成 l 的左子女。 【解答】 template void ThreadTree :: leftInsert ( ThreadNode *s, ThreadNode * l ) { if ( s != NULL && l != NULL ) { l->leftChild = s->leftChild; l->leftThread = s->leftThread; //预先链接 l->rightChild = s; l->rightThread = 1; //新插入结点*l 的后继为*s s->leftChild = l; s->leftThread = 0; //*l 成为*s 的左子女 if ( l->leftThread == 0 ) { //*l 的左子女存在 ThreadNode * p = l->leftChild; while ( p->rightThread == 0 ) //找*l 的左子树中序下最后一个结点 p = p->rightChild; p->rightChild = l; //该结点的后继为*l } } } 6-14 写出向堆中加入数据 4, 2, 5, 8, 3, 6, 10, 14 时，每加入一个数据后堆的变化。 【解答】以最小堆为例： 4 4 2 4 4 4 2 2 5 5 5 2 2 8 8 4 3
第6章树与森林 6-16请画出右图所示的树所对应的二叉树。 【解答】 对应二叉树 6-17在森林的二叉树表示中,用link存储指向结点第一个子女的指针,用 rlink存储指向结点下一个兄 弟的指针,用data存储结点的值。如果我们采用静态二叉链表作为森林的存储表示,同时按森林的先根 次序依次安放森林的所有结点,则可以在它们的结点中用只有一个二进位的标志tag代替link,用rtag 代替 rlink。并设定若ltag=0,则该结点没有子女,若tag≠0,则该结点有子女;若rtag=0,则该结点 有下一个兄弟,若rtag≠0,则该结点有下一个兄弟。试给出这种表示的结构定义,并设计一个算法 将用这种表示存储的森林转换成用link-rink表示的森林 【解答】 对应二叉树 234567 森林的左子女-右兄弟 rinks 3-1-17-1-110-1 表示的静态二叉链表 2345678910 dataA BCde 森林的双标记表示 (1)结构定义 template class LchRsibNode i ∥左子女右兄弟链表结点类的定义 protecte Type data ∥结点数据
第 6 章 树与森林 75 6-16 请画出右图所示的树所对应的二叉树。 【解答】 6-17 在森林的二叉树表示中，用 llink 存储指向结点第一个子女的指针，用 rlink 存储指向结点下一个兄 弟的指针，用 data 存储结点的值。如果我们采用静态二叉链表作为森林的存储表示，同时按森林的先根 次序依次安放森林的所有结点，则可以在它们的结点中用只有一个二进位的标志 ltag 代替 llink，用 rtag 代替 rlink。并设定若 ltag = 0，则该结点没有子女，若 ltag 0，则该结点有子女；若 rtag = 0，则该结点 没有下一个兄弟，若 rtag 0，则该结点有下一个兄弟。试给出这种表示的结构定义，并设计一个算法， 将用这种表示存储的森林转换成用 llink - rlink 表示的森林。 【解答】 (1) 结构定义 template class LchRsibNode { //左子女-右兄弟链表结点类的定义 protected: Type data; //结点数据 5 2 8 3 4 5 2 8 3 4 6 5 2 8 3 4 6 10 5 2 8 3 4 6 10 14 1 对应二叉树 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 6 8 8 7 A B C D E F G H K I J A B C D E F G H I K J 对应二叉树 llink data rlink 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -1 -1 4 -1 6 -1 8 9 -1 -1 A B C D E F G H I K J 5 2 3 -1 -1 7 -1 -1 10 -1 -1 森林的左子女-右兄弟 表示的静态二叉链表 ltag data rtag 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 A B C D E F G H I K J 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 森林的双标记表示