第五章 向量与空间解析几何 一、知识结构 向量定义 线性运算 向量 数量积 量积 尽在小程 义 点法式方程 平面 三点式方程 裁距式方程 一般式方程 向量与空间解析儿何 平面、曲面 柱面 曲面 旋转曲面 二次曲面 定义 点向式方程 直线 参数式方程 直线、曲线 般式方程 曲线 般式方程 参数式方程 二、归纳总结 1.向量的运算 向量的运算，重点是用向量的坐标进行运算。要做到运算正确、熟练，首先应熟记一 些常用的公式 1
高等数学习题全解与学习指导（下册】 a=(a.a,.a,).b (b.b,.b). 向量的模：a=√+a+位 方向余弦：c0a= a d ，c03=- cosy = +a+ @+a+a 层++a 线性运算：a±b=(a,6,8，±6，a:±6，Aa=(AaA,Aa 数量积：a·b=a,b,+a,b,+a,b |1了k| 向量积：a×b=a,a,a 两向量的线角：一品e= a11b 向量的投能：防b:合网a-守 向量平行的充要条作：60。》受受Aa为实数 向量垂直的充要条件：a·b=0中a⊥b白a,6+a,6,+a,b,=0. 以a、b为邻边的平行四边形的面积：S=a×b 2.平面和直线 根据几何条件，求出平面或直线的方程是这部分的主要内容 平面方程有三种基本形式： ()点法式方程：A(x-0)十8y-)+C(:-)=0 (2)一般方程：x+By+C:+D=0. 直线方程也有三种基本形式： ()点向式。二加.-为 m 下=0+m1, (2)参数式：y=0+, =+pl. (3)一式：+By+G+n=0 A1x+By+C1:+D1=0, 3.曲面与曲线 旋转曲面：)0仍面上曲线L:y,:)=0绕：轴旋转所形成的旋转曲面方程为（± √P+了，)=0.绕y轴旋转所形成的旋转曲面方程为爪y,±√P+了)=0. 柱面：准线是xO,面上的曲线C,母线平行于：轴的柱面方程为F(x,y)=0. 二次曲面： 。2
第五章向量与空问解析几何 (2)锥面：2=a2x2+62y2(a,b>0),特别地.：=P+ (3)抛物面：2=a2x2+62y2(a,6>0),特别地.2=x2+y2 曲线方程： (1)一般式： F(x,y,)=0 lG(x,y,)=0. r=p(), (2)参数式：y=(), =() 三、例题解析 例1（考研直题：2006年数学一）点(2,1.0)到平面3x+4y+5:=0的距离d 解本题直接利用点到平面距离公式 d=。+B。+G+D √+B+G 进行计算即可。其中(，0,0)为点的坐标，A:+局+G+D=0为平面方程 d=3×2+4×1+5×0-5 √3+4+5 例2已知向量a=3-j+5k.b=2i+3对7k,试求一向量x,使它与：轴垂直且满足 xa=5,xb=-4. 3x-y+5a=5. 解设向量x=(x,y,).由2x+3y-7z=-4,得x=(1,-2,0) e=0, 例3已知a,b是两个模都为2的向量，且它们的夹角为织，若c1=a×b, 2=(1×a)xb,c=(c×a)×b,求lcl 解由向量积定义可知c,=ab1号=25，由6上a, ▣▣ 1b,G×a与a,b共面，且G×a1b,故(G×a6)=红-三 3 石，lc,×al=clam号=45：同理. lsl=lc×allb1img=25.(xa,b)=g,le×al=lealin号=25g l6=6×ab1m石=25：依次类推， lcl=lc-×alb1m石=2"5 3
高等数学习题全解与学习指导（下册】 例4求通过三平面2x+y-:=2,x-3y+:+1=0和x+y+:-3=0的交点，且平 行于平面x+y+2二=0的平面方程 解所求平面平行于x+y+2:=0,所以该平面的法向量为(1,1,2) 2+y-2=0. 三平面的交点为红-3y+:+1=0,解得x=1,y=1,:=1. +y+:-3=0. 所以所求平面为(x-1)+(y-1)+2(:-1)=0,即 x+y+2z-4=0 5求，在平商，：0上的软售线 例题解析 方程 解过已知直线作垂直于平面x+y+:=0的平面，称为投影平 面，投影平面与已知平面的交线即为投影直线 由有玫有程氨，过直仁，的平有方程可2为 ▣ (x+y-:-1)+A(y-x-1)=0, 即(1-A)x+(1+A)y-(1+A):-(1+A)=0. 例题解析 上述平面与平面x+y+:=0垂直，所以2 (1-A)·1+(1+A)1-(1+A)·1=0, 得到A=1.于是投影平面为 2y-2:-2=0, 所求投影直线方程为 1=0 x+y+:=0. 例6求线，只-在平面：-+2么-10上的影直线6的方 程，并求。绕y轴旋转一周所成的曲面方程。 解的方程可写：：0所以注1的方程可写 y+:-1=0. (x-y-1)+A(y+:-1)=0 即 x+(A-1)y+A:-(1+A)=0. 因它与已知平面垂直，即1-(A-1)+2以=0，解得 ▣的 入=-2. 创随解析 所以过1与已知平面垂直的平面方程为x-3y-2+1=0,故6的方程为 x-y+2:-1=0, x-3y-2z+1=0. =2y, 4
第五章向量与空问解桥几何 于是。绕y轴旋转一周所成的曲面方程为 2+2=4时+gg-1) 4x2-17y2+42+2y-1=0. 四、习题详解 习题5-1向量及其运算 1.填空题 (1)已知点A(2,-1,1),则点A与：轴的距离是 与y轴的距离是 与x轴的销距离是 (2)向量a=(-2.6.-3)的模为a= ,方向余弦为cosa= _cosy ,其同方向的单位向量e。= (3)设a、B、y是向量a的三个方向角，则sin2a+in2B+in2y= (4)设向量a=(2,-1,4)与向量b=(1,k,2)平行，则k= (5)已知三点M(L.-2,3),M2(1,1,4),M(2,0,2),则M,m·M,= 、MxM= (6)设点A(2,-1,-2),B(0,2.1),C(2,3,0),以AB,AC为邻边，作平行四 边形，此平行四边形的面积等于 (7)向量a=(4,-3,1)在b=(2,1,2)上的投影Pm6a= b在a上的投影 (8)设a=(1.2.3).b=(-2.k,4).而a⊥b.则k= 解(1)A与：轴的鹿离d,=√P+了=√2+（-1)下=5： 与y轴的距离山，#√+正=√2+下=5： 与x轴的距离4，=√+子=-1)+下=2. (2)1a=√++7=√-2+6+(-3下=√4g=7: cosy (3)sin2a +sin'B sin'y (1-cos'a)+(1 cos'B)+(1-cos'y) =3-(cos2a cos'B cos2y)=3-I =2. (4)因为两向量平行，故对应坐标成比例.即 从面长=一号 5
高等数学习题全解与学习指导（下册】 (5)M102=(1.1.4)-(1.-2.3)=(0.3,1). 1=(2,0,2)-(1,-2.3)=(1,2,-1) M7.M,m=(0.3,1)·(1,2.-1)=0+3·2+1·(-1)=5 Mn×M,n=(03.1)×(1,2,-1)=(-5.1,-3). (6)AB=(0-2,2-(-1),1-(-2)=(-2,3,3): AC=(2-2.3-(-1).0-(-2)=(0.4.2). s。=1店×元=1(-2.3.3)×(0.4.2)川 =|(-6.4,-8)=16=229 /02+12+22 b=42-2.是 +(-3+下 √26 (8)因为a⊥b,所以a与b的数量积为零，即 a·b=(1,2,3)·(-2,k,4)=-2+2k+12=0 从而素=-5. 2.一向量与x轴和y轴的夹角相等，而与：轴的夹角是与x轴、y轴夹角的两倍，求向 量的方向角. 解 已知a=B,y=2a,故由cn2a+co2a+cns2(2a)=1得 2cos'a(2cos'a -1)=0. 得a0及m号于是 aBe2,y和或u=B=子，y=受 3.给定M(-2,0.,1),N(2,3,O)两点，在x轴上有一点A,满足|4M川=|AW,求 点A的坐标 解因为点A在x轴上，可设所求点为A(x,0,O),依题设AM川=MN,即 √x+2)2+Π=√x-2)+3, 所以x=1,从而所求点为A(1,0,0). 4.从点A(2.-1,7)沿向量a=(8,9,-12)方向取长为34的线段AB,求点B的坐标 解设点B的坐标为(x,y,),店=(x-2,y+1,:-7),又丽∥a,故设 AB=A@,即x-2=8A,y+1=9A,:-7=-12A, 34=|AB1=√(x-2)+(y+1)2+(:-7)=√/(8A)+(9A)+(-12A)7, 解得A=2,从而点B的坐标为(18,17，-17). 5.设点P在y轴上，它到点P(巨，0,3)的距离为到点P(1,0,-1)的距离的两 倍，求点P的坐标 解因为点P在y轴上，设点P的坐标为(O,y,0), IPp,=√2)2+y2+32=星+i.1P=+y2+(-1)下=√P+2. .6
第五章向量与空问解桥几何 因为1PP|=2PP2l.即 √F+1Π=2P+2」 解得y=±1.所求点为(0,1,0)，(0，-1,0) 6,设点A位于第I卦限，向径与x轴.)轴的夹角依次为受和牙，且=6，求 点A的坐标 解。=行，B=子由关系式cor2a+cmB+co2y=, 得 =-份)-9 因为点A在第1卦限，知my>0,故my=宁 于是=回m=6行受》=0,3，功，点4的座标3,3点，动 7.证明：Pmj.(Aa)=APi.a. 证明记(a,u)=中，(Aa,u)=P1, 当A>0时，e,=g,Pm.(Aa)=laalcose1=alcasp=APi.a 当A0),且le|=I,因此|al=Ae.l=A,即 a=|ae.,注意到a0,故结论成立. 9.求平行于向量a=6d+)-6k的单位向量. 解所求向量有两个，一个与a同向，一个与a反向 由于 la=√6+7+(-6)7=11 从而6=合片+导或-6品品品+品 10.设向量a与各坐标轴成相等的锐角，|a=25,求向量a的坐标表达式. 解因为向量a与各坐标轴成相等的锐角，所以a的三个方向角a=B=Y,又因为 cos'a cos'B cos'y =I 因此3wal,aa后 因为：同有的单位育量：一后言局、从 (1111 a=ae=26后后肩2.22 7
高等数学习题全解与学习指导（下册） 11.已知a=(1.1.-4),b=(1,-2,2),求： (1)a·b:(2)a与b的夹角0：(3)a在b上的投影 解(1)a·b=1·1+1·(-2)+(-4)·2=-9 2a的方从面0-号 a.b （)因为ab=bPa,所以Pma==-3 a.b 12.已知两点M(2,2,万)和M(1,3,0),计算向量MM的模、方向余弦和方 向角. 解1,0=(1-2,3-2.0-2)=(-1,1，-2) W,=-+P+(-=+1+7==2: a要B=导7识 小程 13设lal=3,bl=2.(ab)=,求： (1)(3a+2b)·(2a-5b):(2)1a-b12. 解(1)(3a+2b)·(2a-5b)=61a2-15a·b+4h·a-10lb =6laP-11a·b-101bP =6lal2-11lallblcos(a.B)-10 1b12 256·32-132·-102=-19 (2)la-b2=(a-b)·(a-b)=a2+|b2-2a·b =lal2+1b12-2lallblcos(a.b) =32+2-232=7 14.已知点A(1,-3,4),B(-2,1.-1),C(-3,-1,1),求： (1)∠B4C: (2)A店在A元上的投影. 解(1)AB=(-2-1,1-(-3),-1-4)=(-3,4,-5), A元=(-3-1，-1-(-3)，1-4)=(-4,2，-3)， A店.A元 cos∠BAC= (-3.4.-5)·(-4.2,-3) 1B1记1√-3)+4+(-5下√-42+2+（-3 5露 ∠BAC=arcs 7 8
第五章向量与空问解桥几何 (2)Pc .花35 15.已知a=(2,3,1),b=(1.-2,1),求a×b及b×a 解a×b=(2.3.1)×(1.-2.1)=231=(5,-1,-7): 1-21 b×a=(1,-2,1)×(2,3.1)=1-21=(-5.1,7) 231 16.已知向量a=(2,-3,1),b=(1,-1,3),c=(1,-2,0),求： (1)(a+b)×(b+c):(2)(a×b)·c:(3)(axb)×c:(4)(a·b)c-(a·c)b 解(1)a+b=(2+1,-3+(-1),1+3)=(3,-4,4). b+c=(1+1,-1+(-2),3+0)=(2,-3,3). ij k (a+b)×(b+c)=(3,-4.4)×(2,-3,3)=3-44=(0.-1,-1 2-33 (2)a×b=(2,-3,1)×(1,-1,3)=2-31=(-8,-5,1), 人1-13 (a×b)·c=(-8,-5,1)·(1,-2,0)=-8+(-5)(-2)+0=2 (3)(a×b)×c=(-8,-5,1)×(1,-2,0)=-8-51=(2,1,21). 1-20 (4)a·b=(2,-3.1)·(1,-1,3)=2+(-3)(-1)+3=8, a·c=(2,-3.1)·(1,-2.0)=2+(-3)(-2)+0=8. (a·b)c-(a·c)b=8(1,-2.0)-8(1,-1,3)=(0,-8,-24) 17.求与a=31-2对+4k,b=1+j-2k都垂直的单位向量. 解c=a×b=a,a,a,=3-24=10+5k. b,6,6,11-2 18.已知空间四点A(-1,0,3),B(0,2,2),C(2,-2,-1),D(1,-1,1),求 与AB、CD都垂直的单位向量. 解店=(0-(-1)，2-0,2-3)=(1,2，-1). C7=(1-2.-1-(-2),1-(-1)=(-1,1,2). i j k A×c而=(1,2，-1)×(-1.1,2)=12-1=(5，-1,3) -112 .9
高等数学习题全解与学习指导（下册】 1A店×C=√F+(-1)严+3=35，则与店和C⑦垂直的单位向量为 店xc而(5 e= -13 x而（秀秀厉 -3 或 -e=- A×c币(-5 丽x而后''示 19.设向量a=2i+人，b=-1+2k,求以a,b为邻边的平行四边形的面积 ii k 解a×b=(2,1,0)×(-1,0,2)=210=(2.-4,1) -102 s=la×b=22+（-4)+下=√2I. 0i0-2.122 20.求以点A(1,2,3),B(0,0,1),C(3,1,0)为顶点的三角形的面积. AC=(3-1,1-2,0-3)=(2,-1,-3), 1了k 话×4元=(-1，-2.-2)×(2-1，-3)=-1-2-2=(4.-7.5) 2●2-1-3 s=丽×C+(+9: 21.设A=2a+b,B=ka+b,其中|al=1,1b=2,a1b.间： (1)法为何值时，A1B: (2)k为何值时，以A与B为邻边的平行四边形的面积为6. 解(1)因为a⊥b,故a·b=0,所以 0=A·B=(2a+b)·(ka+b)=2k|aP+lbP=2张+4，k=-2: (2)A×B=(2a+b)×(ka+b)=(2-k)(a×b), 平行四边形面积为A×B的模，所以 6=A×B=l2-k|lallblsin(a,b)=l2-k小2,6-2=±3 所以 =5,=-1. 22.已知a=2m+3n.b=3m-m,m、n是两个互相垂直的单位向量，求： (1)a.b:(2)la×b 解(1)a·b=(2m+3)·(3m-n)=6m2+7 mllnlcos(m,n)-3n =6·12+7.0-3·12=3: (2)a×b=(2m+3n)×(3m-n)=6m×m-2m×n+9n×m-3n×n =-11m×n, la×b=11lm×n=11 mllalsin(m,n)=1L. 23.设a、b、c满足a+b+c=0. ()证明：a.b+bc+c.a=-2(a+b+lcP: