第2章矩阵与向量 一、基本要求 (1)了解线性方程组的加减消元法与矩阵的初等行变换的关系， (2)熟悉掌握向量的线性运算及其运算律. (3)熟练掌握用矩阵的初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵以及行最简形的 方法. (4)熟悉向量线性组合以及线性相关性的概念、性质、定理和有关结论，并能 用以判断向量组的线性相关性， (⑤)熟悉向量组等价的概念、性质以及常用结论，并能用以判断向量组是否 等价 (6)熟悉向量组的最大无关组的概念、性质，掌握求向量组的最大无关组的方法」 (7)了解向量组和矩阵的秩的概念，并能熟练地使用矩阵的初等行变换求秩 (8)重点掌握用向量组的秩判断向量组线性相关性、用初等行变换求向量组 的最大无关组的方法，以及用初等变换找出向量间的线性关系的方法. (9)初步了解向量空间、基、维数、子空间等概念，会求向量在一个基下的 坐标. 二、内容提要 1.概念 1)矩阵 由m×n个数a(i=1,2,.,m;j=1,2,.,n)排成的m行n列的数表 「ana2.am A= a2a2a2w 称为m行n列矩阵，简记为A=(a）m×n或Am×m 2)阶梯形矩阵 形如
·36 线性代数学习指导 00.cmcr+. 00.00.0 L00.0 0.0 的矩阵称为阶梯形矩阵， 阶梯形矩阵的特点为：每个阶梯只有一行：元素不全为零的行（非零行）的第一 个非零元素所在列的下标随着行标的增大而严格增大（列标一定不小于行标）：元 素全为零的行（如果有的话）必在矩阵的最下面. 3)行最简形 在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全为1，且这个1所在列的其余 元素全为零，则该矩阵称为行最简形 4)标准形 矩阵 [10.00.0 101.00.0 1mxm=00.10. 0 00.00. 0 L00.00.0 称为矩阵Am×.的标准形 5)初等变换 下列三种变换称为矩阵的初等行（列）变换 (1)交换矩阵的i,j两行（列），记作rr,(c,+c,): (2)以非零数飞乘以矩阵的第i行（列）的所有元素，记作r×k(c,×k): (3)把第j行（列）所有元素的k倍加到第i行（列）的对应元素上，记作十 kr,(c十kc). 矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换 6)矩阵的等价 矩阵A经过初等变换化为矩阵B,称A与B等价，记作A一B
第2章矩阵与向量 ·37· 7)向量 n个实数构成的有序数组(a1,a2,a.)称为一个n维行向量，记作a,即 a=(a1,a2.,an）. 称 a (a1a,.,an) 为n维列向量。 以上实数a,称为向量a的第i个分量. 所有分量均为零的向量称为零向量，记作0=(0,0，·，0). n维向量a=(a1,a2,.,an)的负向量一a=（一a1,一a2,.,一am）. 如果n维向量a=(a1,a2,.,an),B=(b,b,.,b.)的对应分量都相等，即 a,=b,i=1,2,.,n, 则称向量a与B相等，记作a=B 8)向量的线性运算 设向量a=(a1,ae.,a),B=(b,b,.,bn) (1)加法：a+B=(a1十b,a2十h.,a.+b)》 (2)数与向量的乘法：a=(aa1,aa2,.,Aan)(a∈R) 9)线性组合 对于向量a,a1,a2,.,a,如果存在一组数k1,k2,.,k.,使得 a=k1a1十k2a2十.+ka 成立，则称向量a是向量a1,a2,.,a.的线性组合，或称向量a可由向量组a1, a2,.,am线性表示. 10)向量组的等价 若向量组1，a2,.,a中的每个向量a(i=1,2,.,s)都可由向量组B,.,B 线性表示，则称向量组a1,a.,a,可由向量组B:,B,·,B线性表示. 如果两个向量组可以互相线性表示，则称这两个向量组等价 11)线性相关性 对于向量组a1,a2,.,am,如果存在不全为零的数k1,k2,.,km,使得 k1a1+ka2+.十knam=0
·38· 线性代数学习指导 成立，则称向量组a2.,am线性相关；否则，即仅当k1,k2,.,kn全为零时上 式成立，称向量组a1,a2,.,gm线性无关. 12)最大无关组 若向量组T的一个部分组a1,a2,.,a,同时满足： (1)a1,a2,.,a线性无关： (2)a∈T,向量组a,a1,a2,.,a,线性相关（或向量a可由向量组a,a,., a,线性表示)，则称向量组a,a2,.,a,为向量组T的一个最大无关向量组，简称 最大无关组， 13)向量组的秩 向量组T的最大无关组a1,a2,a,所含向量的个数r称为向量组T的秩， 记作R(T),即R(T)=r. 只含零向量的向量组的秩规定为0. 14)k阶子式 在矩阵Amx.中，任取k行k列(k≤min(m,n),位于这些行和列的交叉处的 k个元素，不改变它们在矩阵A×中所处的位置次序而得到的阶行列式，称为 矩阵Am×n的k阶子式 15)矩阵的秩 矩阵A的行、列向量组的秩相等，统称为矩阵A的秩，记作R(A) 矩阵的秩也可这样定义：矩阵A的不为零的最高阶子式的阶数r称为矩阵A 的秩，记作R(A),即R(A)=r 16)向量空间、基、维数、子空间 若n维非空向量集合V对于向量的加法及数与向量的乘法运算封闭，则称V 为向量空间. 向量空间V的一个最大无关组称为V的一个基：基中所含向量的个数（即向 量组V的秩)称为向量空间V的维数 若向量空间V,CV2,则称V是V,的子空间 2.性质 向量的线性运算满足以下运算规律（其中α，B,Y,0是同维数的行或列向量，入， 4是数)： (1)a十B=B+a: (2)a+(B+Y)=(a+B)+Y (3)a十0=a: (4)a+(-a)=0: (5)a(a十B)=Aa+B；
第2章矩阵与向量 ·39· (6)(a十a)a=λa十ua (7)A(ua)=(Ap)a: (8)1a=a. 3.定理 定理2.1任一矩阵可经有限次初等行变换化为阶梯形矩阵 推论任一矩阵可经有限次初等行变换化为行最简形 定理2.2任一矩阵可经有限次初等变换化为标准形. 定理2.3向量组a1,a2,.,am线性相关台a1,a2,am中至少有一个向量 可由其余m一1个向量线性表示. 定理2.4若向量组a1,2,.,a.线性无关，而向量组a,2,am,a线性 相关，则向量a能由向量组a1,a2.,a线性表示，且表达式是唯一的. 定理2.5若线性无关的向量组a1,a2,.,a,可由向量组B1,B,B线性表 示，则≤. 推论1等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量 推论2等价向量组的最大无关组含有相同个数的向量。 推论3等价向量组的秩相等。 推论4向量组a1,a2,.,a.线性无关台R(a1,a2,.,am)=m 定理2.6初等变换不改变矩阵的秩. 定理2.7初等行（列）变换不改变矩阵列（行）向量间的线性关系。 推论若矩阵A~B,则R(A)=R(B). 4.常用结论 (1)一个向量a线性相关=a=0, (2)如果向量组a,a2,a.中有两个向量a,a,(i≠j)的对应分量成比例 那么a1,a2,.,a线性相关. (3)含有零向量的向量组必线性相关. (4)若向量组的一个部分组线性相关，那么，该向量组线性相关，或者说，线性 无关向量组的任意一个部分组必定线性无关， (5)n维向量组 a=(a1,a2,.,an)(i=1,2,.,n)线性无关 a1a2.aw 台行列式aa. ≠0
·40 线性代数学习指导 (6)任意n十1个n维向量必定线性相关 (7)设有r维向量组 a=(a1a2,.,aw),i=1,2.,s 及(>r)维向量组 a=(anaa.,.,a)i=1,2,.,s 如果向量组a1,a2,.,a,线性无关，则向量组a,a,.,a线性无关 (8)向量组与其最大无关组等价. (9)同一个向量组的任意两个最大无关组等价 (10)设A是非零矩阵，则R(A)=r曰A的不为零的子式的最高阶数是r(即 A至少存在一个不为零的r阶子式，而所有的十1阶子式全为零). (11)n维单位坐标向量组 0 0 .1 是线性无关向量组.由此生成的向量空间 R={a=a181十a2B2+.+a,e|a1a2,.,an∈R 称为n维向量空间，数a1,a2,.,4m称为向量a在基61，B2,.,8。下的坐标 (12)设a1,a.,a,:B,B.,B.都是r维向量空间V的基，且 B=cma1十c12a2十.十Ca B2=c1a1十c22a+.十c2,a, B.=c11+c2a1十.+ca, 称矩阵 C cc2.c 为由基a1,a2,.,a到基B1,B,.,B.的过渡矩阵。 5.方法归纳 1)一个向量B能否由向量组a1,a2,am线性表示？如何表示？
第2章矩阵与向量 ·41· 方法一用定义。 由于 k1a+ka十.十kam=B(a1a2.an)x=B 「k 其中(a12.am)是以a1,a2,.,am为列向量构成的矩阵，向量x km 若方程组(a1a.a)x=B无解，则B不能由a1,a.,am线性表示. 若方程组(a1a2·am)x=B有解，则B可由a1,a2,am线性表示，且 方程组有唯一的解时，表示法唯一：方程组有无穷多解时，表示法不唯一一 方法二用初等行变换， 以a1,a2,.,am·B为列向量构成矩阵(a1a.am)后，用初等行变换 将其化为阶梯形矩阵，并求R(aa2.a)及R(a1a·am). 若R(a1a.an)<R(a1a.a),则B不能由a1,a.,a 线性表示. 若R(aa.an)=R(a1a.aB),则B可由a1,a2.,am线 性表示.此时，继续用初等行变换将矩阵(a1a2.am)化为行最简形后，行 最简形第m十1列的数即为将B用a1,a2,.,a线性表示时相应的系数. 特别地，取n维单位坐标向量组1,82，8作为R”的一个最大无关组时，对 y ae ∈R,有 =a181十a28十.十aen a 2)向量组B,B,.,B能否由向量组a1,a2.,a线性表示？ 方法一用定义， 证明每一个向量B(i=1,2,.,s)均可由a1,a2,.,am线性表示. 方法二用向量组的秩 向量组B,B,B能由向量组a1,a,.,am线性表示 =R(B,.,B)≤R(a1,ae.,an）=R(a1,a.,am.BB.,B)
·42· 线性代数学习指导 3)两向量组a1,ag.,amB,及，.，B是否等价？ 方法一用定义 证明每一个向量B(i=1,2,.,s)均可由向量组a1,a2,.,am线性表示，且每 一个向量a,(i=1,2,.,m)均可由向量组B,B,.,B.线性表示 方法二用向量组的秩 若两个向量组的秩相等，且其中一个向量组可由另一向量组线性表示，则这两 个向量组等价. 方法三用有关结论。 向量组与其最大无关组等价：同一个向量组的任意两个最大无关组等价：等价 向量组的两个最大无关组等价等， 4)求向量组（或矩阵）的秩的一般方法 方法一用初等变换 用已知向量a1,a2,.,am构成矩阵A,并用初等变换将A化为阶梯形矩阵. 设阶梯形矩阵的非零行数为r,则 R(a1,a2,an）=R(A)=r 方法二用有关结论. 等价向量组（或矩阵）的秩相等：向量组(I)可由向量组（Ⅱ）线性表示，则 R(I)≤R(Ⅱ)：可逆矩阵是满秩矩阵等， 5)判断向量组线性相关性的一般方法 方法一以下命题等价： an an (1)向量组a1= an 422 ,.,gm 线性无关： (2)仅当k1,k2,.,kn全为零时，有k,a1十k2a2十.十kam=0 d1k十a21k2十.十=0, (3)齐次线性方程组 ak十a十十ak.=0仅有零解 a1,k1十a2,k:+.十aknm=0 (4)向量组a1,a2,.,am为最大无关组： aua21.aml] (5)R(a1,a.,an)=R
第2章矩阵与向量 ·43· 特别地， an an 向量组a: a a 线性无关 an .aml a12 .a 行列式 a.a a2a .a2 ≠0. 方法二用有关结论. 可逆矩阵的行（列）向量组是线性无关组（第3章）；若B×mAm×m=E(n≤m)。 则矩阵Ax,的列向量组线性无关（第3章）：齐次线性方程组的基础解系是线性无 关组（第4章）：与一方阵不同特征值对应的特征向量是线性无关的（第5章）：正交 向量组是线性无关组（第5章）等。 6)求向量组的最大无关组的一般方法 方法一用定义逐个选录。 方法二用初等变换」 用已知向量构成矩阵，并用初等变换将其化为阶梯形矩阵.此时，阶梯形矩阵 的每一非零行的第一个非零元素所在行或列对应的原向量组中的向量构成了向量 组的一个最大无关组 方法三用有关结论 在用已知向量构成的矩阵中，找出一个阶数最高的非零子式，与这个子式的行 或列对应的原向量组中的向量就是向量组的一个最大无关组：齐次线性方程组的 一个基础解系是其全部解向量的一个最大无关组等。 三、典型例题解析 例1讨论下列向量组的线性相关性： (1)(1,2,1).(2.4.5): (2)(1,1.-1).(0.2,3),(2,1,2): (3)(1,1,0),(1,1,1),(1,0,0),(3,4,5): (4)(1.2,1,2),(0,1.-1.1),(1.3,0,3) 分析上述向量组的线性相关性均可利用矩阵的初等变换，求出每个向量组 的秩后进行判断.考虑到向量组线性相关性的判定方法有很多，以下仅就每个向量 组的特点给出一种解法
·44· 线性代数学习指导 解(1)向量组仅含两个向量，其对应分量不成比例，故向量组(1)线性无关 (2)向量组由3个三维向量组成.由行列式 11-1 023=11≠0 212 可知，向量组(2)线性无关 (3)向量组由4个三维向量组成，故线性相关 (4)对向量组中的向量构成的矩阵进行初等变换如下： 12120 1212 1212 01-1101-1i 01-11 1303J L01-11 0000 07 1011 1017 成？13801 1 011 1-10=2m0-1-1000 213别 1 1 000 右端阶梯形矩阵的非零行数2就是该向量组的秩，它小于向量组中向量的个数3， 故向量组线性相关. 注求向量组的秩时，用已知向量作为矩阵的行向量还是列向量，对矩阵进行 的初等变换是行变换还是列变换，均不影响矩阵或向量组的秩 例2判断向量组 a1=(1.-2,3,-1.2)'.a2=(3,-1,5,-3-1)' a=(5,0.7,-5,-4)',a1=(2,1,2.-2,-3)/ 的线性相关性，求其秩及一个最大无关组，并将剩余向量用最大无关组线性表示 分析判断向量组线性相关性有多种方法，解题时可根据需要，尽量选用一法 多解（即用一种方法能同时解决求向量组的秩、判断线性相关性、求最大无关组，以 及将剩余向量用最大无关组线性表示)的方法 解解法一逐个选取. 向量a≠0，故R(a,a2,a,a:)≥1：由向量a,a:的对应分量不成比例知， a1,a2线性无关，R(a1,a2,a,a)≥2：而由a=2a一a1以及a=a一a1知，向量 组a1,a2,a1,1线性相关，且R(a1,a2,a,a,)=2. 取a1,a2作为向量组a:,a2,a,a:一个最大无关组时，有 a3=2a-a1,a=a-a 解法二将a1,a,a,a:作为矩阵的列向量，并对矩阵作初等行变换如下：