第二章矩阵与向量 第二章 矩阵与向量 。§2.1消元法与矩阵的初等变换 §2.2向量及其线性运算 ·§2.3向量组的线性相关性 ●§2.4矩阵的秩
第二章 矩阵与向量 第二章 矩阵与向量 §2.1消元法与矩阵的初等变换 §2.4矩阵的秩 §2.2向量及其线性运算 §2.3向量组的线性相关性
第二章矩阵与向量 §2.1消元法与矩阵的初等变换 消元法解线性方程组 矩阵的初等变换 三、矩阵的几种等价形式
第二章 矩阵与向量 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、矩阵的几种等价形式 §2.1 消元法与矩阵的初等变换
第二章矩阵与向量 、 消元法解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程 引例求解线性方程组 2x1-x2+2x3=4 x1+x2+2x3=1 (1) 4x1+x2+4x3=2
第二章 矩阵与向量 引例 一、消元法解线性方程组 求解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程． 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 4 2 1 (1) 4 4 2 x x x x x x x x x − + = + + = + + =
第二章矩阵与向量 解： x1+2+2x3=1 ①←→② (1) 2x1-x2+2x3=4 (2) 4x1+x2+4x3=2 x1+x2+2x3=1 -2①+2 -4①+3 -3x2-2x3=2 (3) +3x2-4x3=-2
第二章 矩阵与向量 解： (1) 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 2 4 (2) 4 4 2 x x x x x x x x x + + = − + = + + = -2 1 + 2 -4 1 + 3 1 2 3 2 3 2 3 2 1 3 2 2 (3) 3 4 2 x x x x x x x + + = − − = + − = −
第二章矩阵与向量 x1+x2+2x3=1 -②+③ -3x2-2x3=2 (4) -2x3=-4 x1+X2 =-3 -③+2 -3X2 =2 (5) 3+① -2x3=-4
第二章 矩阵与向量 - 2 + 3 1 2 3 2 3 3 2 1 3 2 2 (4) 2 4 x x x x x x + + = − − = − = − - 3 + 2 3 + 1 1 2 2 3 3 3 2 (5) 2 4 x x x x + = − − = − = −
第二章矩阵与向量 3+0 X1 =-1 1 北2=-2 2 X4=2 注意： 1.在上述变换过程中，始终把方程组看作一 个整体变形，用到下面的三种形式的变换，分 别为
第二章 矩阵与向量 3 1 3 2 1 + 3 1 3 − 1 2 − 1 2 4 1 2 2 x x x = − = − = 注意： 1. 在上述变换过程中，始终把方程组看作一 个整体变形，用到下面的三种形式的变换，分 别为
第二章矩阵与向量 (1)交换方程次序； (2)以不等于0的数乘某个方程； (3)一个方程加上另一个方程的倍. 我们把以上三种变换叫做方程组的初等变换 于是，加减消元法解线性方程组就是用初等变换 来化简方程组
第二章 矩阵与向量 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． 我们把以上三种变换叫做方程组的初等变换. 于是，加减消元法解线性方程组就是用初等变换 来化简方程组
第二章矩阵与向量 2.上述三种变换都是可逆的。 若(0i0(B,则(B)7(A: 若(A)①Xk(B,则(B)①÷k(A); 若(A①+k(B,则(B)(A 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的
第二章 矩阵与向量 2．上述三种变换都是可逆的． 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的． i j 若(A) (B), 则(B) (A); i j + k 若(A) (B), i j 若(A) (B), i k 则(B) (A); i k 则(B) (A). − k j i
第二章矩阵与向量 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的 系数和常数进行运算，未知量并未参与运算，因此 在线性方程组中将未知数省略后，引入下面概念 定义2.1.1由m×n个数4g(i=1,2,m;j=1,2,n) 排成的m行n列的数表 411 12 A= 21 a2 0m2 称为m×n矩阵.简称m×n阵
第二章 矩阵与向量 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的 系数和常数进行运算，未知量并未参与运算,因此 在线性方程组中将未知数省略后，引入下面概念 由 m n 个数 m n a (i m j n) ij = 1,2, , ; = 1,2, , 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a = 称为mn矩阵.简称m n阵. 定义2.1.1 排成的 行 列的数表
第二章矩阵与向量 这m×个数称为4A的元素，简称为元，叫做矩阵A 的第行第列元素.元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵 矩阵简记为A=Anx=(a)nn=(a} 行数与列数都等于n的矩阵，称为n阶方阵. .035 例如 6 43 是一个2×4实矩阵， 13 6 2i 2 2 2 是一个3阶方阵 2 2
第二章 矩阵与向量 矩阵简记为 ( ) ( ). ij m n A = Am n = aij = a , , . m n A a A ij i j 这 个数称为 的 简称为 叫做矩阵 的第 行第 素 元 列元素 元 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶方阵. 例如 1 0 3 5 9 6 4 3 − 是一个 24 实矩阵, 13 6 2 2 2 2 2 2 2 i 是一个3 阶方阵