一章行列式 §1.3n阶行列式的计算 本节将简单介绍利用行列式按行（列）展开的 定理和行列式的性质计算行列式的方法，主要涉及 的方法有如下几种。 1.化行列式为特殊类型的行列式 2.降阶法 3.拆行拆列法 4.升阶法（加边法）
第一章 行列式 §1.3 n阶行列式的计算 本节将简单介绍利用行列式按行（列）展开的 定理和行列式的性质计算行列式的方法,主要涉及 的方法有如下几种。 1.化行列式为特殊类型的行列式 3.拆行拆列法 2.降阶法 4.升阶法（加边法）
第一章行列式 5.递推法 6.利用数学归纳法 下面分别通过相应的例子来阐述上述几种方法
第一章 行列式 5.递推法 6.利用数学归纳法 下面分别通过相应的例子来阐述上述几种方法
第一章行列式 例1计算 4 1 3 -1 -2 -6 5 3 1 2 -1 0 3 5 2 4 解： 1 2 -1 0 1 2 -1 0 2+2 1分3 -2 -6 5 3 3-4r 0 -2 3 3 D 4 1 3 -1 4-31 0 -7 3 5 2 4 0 -1 5
第一章 行列式 例1 计算 4 1 3 1 2 6 5 3 1 2 1 0 3 5 2 4 − − − − 1 3 1 2 1 0 2 6 5 3 4 1 3 1 3 5 2 4 r r D − − − = − − 2 1 3 1 4 1 2 4 3 1 2 1 0 0 2 3 3 0 7 7 1 0 1 5 4 r r r r r r + − − − − = − − − − 解：
第一章行列式 1 2 0 1 0 -1 5 4 3-72 0 -1 5 4 = 0 -7 7 -1 4-220 0 -28 -29 0 -2 3 3 0 0 -7 -5 1 2 -1 0 1 2 -1 0 4 0 -1 5 4 r4-43 0 -1 0 0 -7 -5 0 0 0 0 -28 -29 0 0 0 =-1×(-1)×(-7)×(-9)=63
第一章 行列式 2 4 1 2 1 0 0 1 5 4 0 7 7 1 0 2 3 3 r r − − = − − − 3 2 4 2 7 2 1 2 1 0 0 1 5 4 0 0 28 29 0 0 7 5 r r r r − − − − = − − − − 3 4 1 2 1 0 0 1 5 4 0 0 7 5 0 0 28 29 r r − − = − − − − − 4 3 4 1 2 1 0 0 1 5 4 0 0 7 5 0 0 0 9 r r − − − = − − − − = − − − − = 1 ( 1) ( 7) ( 9) 63
第一章行列式 注意：例1是利用行列式的性质2、5将行列式主对 角线下方的元素全化为零（即化为上三角行列式） 行列式的值为主对角线上元素的连乘积.由于化简过 程具有程序化，因此工程技术上，常用计算机程序 计算高阶行列式的值. 例2设多项式 1 2 3 2-x2 2 3 f(x)= 2 3 1 5 2 3 1 9-x2 试求x)的根
第一章 行列式 注意：例1是利用行列式的性质2、5将行列式主对 角线下方的元素全化为零（即化为上三角行列式） 行列式的值为主对角线上元素的连乘积.由于化简过 程具有程序化，因此工程技术上，常用计算机程序 计算高阶行列式的值. 例2 设多项式 2 2 1 1 2 3 1 2 2 3 ( ) 2 3 1 5 2 3 1 9 x f x x − = − 试求f(x)的根
第一章行列式 解（方法一） 1 0 0 0 C2-C1 c3-2c1 1 1-x2 0 0 f(x) 4-3C1 2 1 -3 -1 2 -3 3-x2 1 0 0 0 C4- 1 1-x2 0 0 =-31-x2)(4-x2) 2 1 -3 0 2 -3 4-x2 求得x)=0的根为x1=-1,x2=1,X3=-2,X4=2
第一章 行列式 解 (方法一) 2 1 3 1 4 1 2 2 3 2 1 0 0 0 1 1 0 0 ( ) 2 1 3 1 2 1 3 3 c c c c c c x f x x − − − − = − − − − 4 3 1 2 3 2 1 0 0 0 1 1 0 0 2 1 3 0 2 1 3 4 c c x x − − = − − − 2 2 = − − − 3(1 )(4 ) x x 求得f(x)=0的根为x1=-1，x2=1，x3=-2，x4=2
第一章行列式 (方法二)有性质2推论3知，当2-x2=1或9-x2=5时， fx)=0.故x1=-1,x2=1,x3=-2,x4=2为fx)=0的根， 由于fx)为x的4次多项式，因此fx)=0只有4个根. 例3计算n阶行列式 L b b b b b D 6 b b b b L
第一章 行列式 (方法二）有性质2推论3知，当2-x 2=1或9-x 2=5时， f(x)=0.故x1 =-1，x2=1，x3 =-2，x4=2为f(x)=0的根. 由于f(x)为x的4次多项式，因此f(x)=0只有4个根. 例3 计算 n 阶行列式 b b b a b b a b b a b b a b b b D =
第一章行列式 解：将第2,3，n列都加到第1列得 a+(n-1)b b b a+(n-1)b a b b D = a+(n-1)b b b a+(n-1)b b b 1 b 1 b b =[a+(n-1)b]1 b b
第一章 行列式 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 a n b b b b a n b a b b D a n b b a b a n b b b a + − + − = + − + − 解：将第2,3,.，n列都加到第1列得 b b a b a b a b b b b b a n b 1 1 1 1 = + ( − 1)
第一章行列式 a-b =a+(n-1b] a-b =[a+(n-1)b]a-b). a-b 注意：行列式的每一行的个元素之和相等时常用 此法.例如下面的行列式 x-m X2 x1 D x2-m Xn X1 X2 xn-m
第一章 行列式 a b a b a b b b b a n b − − − = + − 1 ( 1) 0 0 ( 1) ( ) . −1 = + − − n a n b a b 注意：行列式的每一行的n个元素之和相等时常用 此法. 例如下面的行列式 x x x m x x m x x m x x D n n n − − − = 1 2 1 2 1 2
第一章行列式 2、降阶法 例4计算行列式 a b C d L a+b a+b+c a+b+c+d D= a 2a+b 3a+2b+c 4a+3b+2c+d a 3a+b 6a+3b+c10a+6b+3c+d 解： a b C d 4-3 5-2 0 a+b a+b+c D 二 2-1 0 a 2a+b 3a+2b+c 0 a 3a+b 6a+3b+c
第一章 行列式 例4 计算行列式 2 3 2 4 3 2 3 6 3 10 6 3 a b c d a a b a b c a b c d D a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d + + + + + + = + + + + + + + + + + + + 4 3 3 2 2 1 0 0 2 3 2 0 3 6 3 r r r r r r a b c d a a b a b c D a a b a b c a a b a b c − − − + + + = + + + + + + 解： 2、降阶法