《摩擦学——摩擦与磨粒》PPT课件：固体物理——纯金属电阻率的统计模型

固体物理典型教案 §6.7纯金属电阻率的统计模型 电阻率的本质比喻 1.纯金属具有电阻率的本质:金属的电阻率p与外电场E和电流密度j的关系为=pj 外电场E一定,电阻率ρ大的金属电流密度j就小。而电流密度j正比于电子在电场方向 的飘逸速度。这就是说电阻率p大的金属,电子的飘逸速度就小。电子的飘逸速度小,表 明电子在外电场作用下的定向运动受到的阻力大。对于纯金属,这个阻力只能是来自晶格, 是晶格的振动引起了电子的散射,使电子的运动方向随时发生变化,减缓了在外电场方向 的飘逸速度 2.比喻:拿做广播体操作比喻。把穿越体操阵列者比喻成电子,做操者比喻成振动的原子。 旦做起操来,要想穿过这体操阵列,为了避开做操者,穿越者不得不东躲西闪。这样以 来,穿过这体操阵列花费的时间就长了,穿越速度就降低了。 二.实验规律 高温:纯金属电阻率∝T,甚低温:p∝T 问题:为什么纯金属电阻率与温度会有如此的奇异关系? 三.前人的工作 包括J. Bardeen在内的不少人对纯金属电阻率与温度的依赖关系进行过研究,但“处理方法、 数学积分及至结果表达式都是相当令人生畏的。”[R.J. Elliot and a.F. Gibson, AnIntroduction to Solid State Physics and its applications,311(1976)],这些研究 难以以基础课的内容让学生们接受。 问题:能否用更简单明了的模型来揭示纯金属电阻率与温度的关系? 四.提出“纯金属电阻率的统计模型”的基础与思路 1.基础 纯金属具有电阻率,是晶格的振动引起了电子的散射,使电子的运动方向随时发生了变化。电 子运动方向发生变化,说明电子与晶格之间发生了能量和动量的交换。在第三章中把晶格振 动谱测定中的光子与晶格的能量和动量的交换,看成是光子与声子的相互碰撞。同理,我们 也可以把电子与晶格之间的相互作用,看成是电子与声子之间的相互碰撞。 2.基础二 第三章中晶格热容是一个宏观物理量,是晶格振动的统计平均效应。爱因斯坦采取了一个平 均频率的简单模型,取得了很成功的结果。电阻率也是一个宏观物理量,是电子与晶格作用 的统计平均效应。是否可采取平均声子的模型来处理纯金属电阻率问题呢?所谓平均声子模 型,是假定声子系统由平均声子来构成,在这个系统中,每个声子的动量等于原声子系统中 声子的平均动量。 3.基础三 由上一节(§6.6)已知,对电导有贡献的只是费密面上的电子,因此纯金属电阻率可看成是 费密面上的电子与平均声子相互碰撞的结果。金属的电阻率 电子浓度n,电子电荷e,费密面上电子的有效质量m可看成与温度无关。可见电阻率与温

固体物理典型教案 §6.7 纯金属电阻率的统计模型 一．电阻率的本质 比喻 1．纯金属具有电阻率的本质：金属的电阻率  与外电场  和电流密度 j 的关系为  =  j 。 外电场  一定，电阻率  大的金属电流密度 j 就小。而电流密度 j 正比于电子在电场方向 的飘逸速度。这就是说电阻率  大的金属，电子的飘逸速度就小。电子的飘逸速度小，表 明电子在外电场作用下的定向运动受到的阻力大。对于纯金属，这个阻力只能是来自晶格， 是晶格的振动引起了电子的散射，使电子的运动方向随时发生变化，减缓了在外电场方向 的飘逸速度。 2．比喻：拿做广播体操作比喻。把穿越体操阵列者比喻成电子，做操者比喻成振动的原子。 一旦做起操来，要想穿过这体操阵列，为了避开做操者，穿越者不得不东躲西闪。这样以 来，穿过这体操阵列花费的时间就长了，穿越速度就降低了。 二．实验规律 高温：纯金属电阻率   T ， 甚低温： 5   T 问题：为什么纯金属电阻率与温度会有如此的奇异关系？ 三．前人的工作 包括 J.Bardeen 在内的不少人对纯金属电阻率与温度的依赖关系进行过研究，但“处理方法、 数 学 积 分 及 至 结 果 表 达 式 都 是 相 当 令 人 生 畏 的 。” [R.J.Elliot and A.F.Gibson, AnIntroduction to Solid State Physics and its Applications, 311(1976) ]，这些研究 难以以基础课的内容让学生们接受。 问题：能否用更简单明了的模型来揭示纯金属电阻率与温度的关系？ 四．提出“纯金属电阻率的统计模型”的基础与思路 1．基础一 纯金属具有电阻率，是晶格的振动引起了电子的散射，使电子的运动方向随时发生了变化。电 子运动方向发生变化，说明电子与晶格之间发生了能量和动量的交换。在第三章中把晶格振 动谱测定中的光子与晶格的能量和动量的交换，看成是光子与声子的相互碰撞。同理，我们 也可以把电子与晶格之间的相互作用, 看成是电子与声子之间的相互碰撞。 2．基础二 第三章中晶格热容是一个宏观物理量，是晶格振动的统计平均效应。爱因斯坦采取了一个平 均频率的简单模型，取得了很成功的结果。电阻率也是一个宏观物理量，是电子与晶格作用 的统计平均效应。是否可采取平均声子的模型来处理纯金属电阻率问题呢？所谓平均声子模 型，是假定声子系统由平均声子来构成，在这个系统中，每个声子的动量等于原声子系统中 声子的平均动量。 3. 基础三 由上一节（§6.6）已知，对电导有贡献的只是费密面上的电子，因此纯金属电阻率可看成是 费密面上的电子与平均声子相互碰撞的结果。金属的电阻率   2 * ne m = ， （1） 电子浓度 n ，电子电荷 e ，费密面上电子的有效质量 * m 可看成与温度无关。可见电阻率与温

度的依赖关系,实际是弛豫时间τ的倒数与温度的依赖关系。由§6.5节可知 ∑(k,4X1-cosb) 采用平均声子模型,上式简化成 zokk, k', 0)u-cose 其中Z是一常数,是除k态外,费密面上其它电子态的总和,θ是电子与一个平均声子碰撞 所产生的散射角 五.电阻率与声子参数的关系 6()是波矢为k的电子在单位时间内与一个平均声子的碰撞几率,也即波矢为k的电子在 单位时间内与一个平均声子的碰撞次数。把电子和声子看成气体分子,按照经典统计理论,A气体 分子与B气体分子的碰撞次数,正比于A和B分子的平均相对速度 和B分子的浓度.费密面附近电子的平均速度M/m’,是一常数;按照德拜模型,声子的速度 为金属中的声速,也是常数。所以已(6)只正比于声子的浓度n。若只考虑正常散射过程,由下 图可知 无 2 2k 2nk 0 (c -coS0=2sin 2(M) (2)式变成 u'n,(hg)=unpo 于是 n园mnq 因为q是声子的平均动量,由此推出重要结论:纯金属的电阻率与声子浓度和声子平均动量的平 方成正比 六.纯金属电阻率与温度的依赖关系 晶格振动采用德拜理论,O=qvs,声子浓度 n n(@D(odo (4) 其中 n(o) ee/kgT

度的依赖关系，实际是弛豫时间  的倒数与温度的依赖关系。由§6.5 节可知 ( )(  )  , ' 1 cos 1 ' =  k k − k Θ . 采用平均声子模型, 上式简化成 (  )(  )  Z , ' , 1 cos 1 = Θ k k − , （2） 其中 Z 是一常数，是除 k 态外，费密面上其它电子态的总和，  是电子与一个平均声子碰撞 所产生的散射角。 五．电阻率与声子参数的关系 Θ (  )是波矢为 k 的电子在单位时间内与一个平均声子的碰撞几率，也即波矢为 k 的电子在 单位时间内与一个平均声子的碰撞次数。把电子和声子看成气体分子，按照经典统计理论，A 气体 分子与 B 气体分子的碰撞次数，正比于 A 和 B 分子的平均相对速度 1/ 2 2 2 ( ) A B  r =  + 和 B 分子的浓度. 费密面附近电子的平均速度 * kF / m , 是一常数; 按照德拜模型, 声子的速度 为金属中的声速, 也是常数。所以 Θ (  )只正比于声子的浓度 p n 。若只考虑正常散射过程，由下 图可知 F F k q k q   2 2 2 sin = =  . (1-cos  )= 2 2 2 2( ) ( ) 2 2sin F k q   =  . （2）式变成 2 2 ' ( ) 1  np q  nP q  =  = , 于是 2 * 2 ne m np q  = . (3) 因为 q 是声子的平均动量，由此推出重要结论：纯金属的电阻率与声子浓度和声子平均动量的平 方成正比。 六．纯金属电阻率与温度的依赖关系 晶格振动采用德拜理论，  = q S , 声子浓度  = D n D d V nP     0 ( ) ( ) 1 , (4) 其中 1 1 ( ) / − = kBT e n   

3 声子的平均波矢 ln(oD(o)do 取变量变换 k 将以上诸式代入(3)式得 xdx P=ATS x dx 其中常数 A Bum ka In(eke)h'l 高温时e2≈1+x,得到 At 在甚低温时,/T→∞,得到 17.6AT (8) 可见由平均声子模型得到的理论结果与实验规律是相符的 七.高低温电阻率与温度的关系存在差异的原因 高温时:由(4)式得,n2∝T,由(5)式得,可是一常数,因此p∝T。 甚低温时:由(4)式得,n2∝T3,由(5)式得,q∝T;因此p∝r3 八.小结 1.本节是认识和理解电子与声子相互作用的最典型的例子之 2.费密面上的电子遭受声子散射是纯金属具有电阻率的根源 3.纯金属的电阻率与声子浓度和声子平均动量的平方成正比。此结论把纯金属的电阻率与声 子的参数联系了起来

2 3 2 2 3 ( ) S V D     = . 声子的平均波矢 n V n D d q P S D          =       0 ( ) ( ) . (5) 取变量变换 k T x B  = , 将以上诸式代入(3)式得   −       − = Θ T x Θ T x D D e x dx e x dx AT / 0 2 2 / 0 3 5 1 1  , (6) 其中常数 2 3 5 * 5 4 ( ) 3 F S B n ek m k A     = . 高温时,e x 1+x, 得到 Θ T 4 9 2  = A D . (7) 在甚低温时, ΘD /T→ , 得到 =17.6A 5 T . ( 8) 可见由平均声子模型得到的理论结果与实验规律是相符的. 七．高低温电阻率与温度的关系存在差异的原因 高温时：由(4)式得, np  T , 由(5)式得, q 是一常数; 因此   T 。 甚低温时: 由(4)式得, 3 np  T , 由(5)式得, q  T ; 因此 5   T 。 八. 小结 1. 本节是认识和理解电子与声子相互作用的最典型的例子之一。 2. 费密面上的电子遭受声子散射是纯金属具有电阻率的根源。 3. 纯金属的电阻率与声子浓度和声子平均动量的平方成正比。此结论把纯金属的电阻率与声 子的参数联系了起来