第三章地理信息系统的空间问题3.1地球椭球体基本要素地球椭球体3.1.1地球的形状为了从数学上定义地球，必须建立一个地球表面的几何模型。这个模型由地球的形状决定的。它是一个较为接近地球形状的几何模型，即椭球体，是由一个椭圆绕着其短轴旋转而成。地球自然表面是一个起伏不平、十分不规则的表面，有高山、丘陵和平原，又有江河湖海。地球表面约有71%的面积为海洋所占用，29%的面积是大陆与岛屿。陆地上最高点与海洋中最深处相差近20公里。这个高低不平的表面无法用数学公式表达，也无法进行运算。所以在量测与制图时，必须找一个规则的曲面来代替地球的自然表面。当海洋静止时，它的自由水面必定与该面上各点的重力方向（铅垂线方向）成正交，我们把这个面叫做水准面。但水准面有无数多个，其中有一个与静止的平均海水面相重合。可以设想这个静止的平均海水面穿过大陆和岛屿形成一个闭合的曲面，这就是大地水准面（图4-1）。电球表团TTT糖球体中等海水面天地水准面m图1：大地水准面大地水准面所包围的形体，叫大地球体。由于地球体内部质量分布的不均匀，引起重力方向的变化，导致处处和重力方向成正交的大地水准面成为一个不规则的，仍然是不能用数学表达的曲面。大地水准面形状虽然十分复杂，但从整体来看，起伏是微小的。它是一个很接近于绕自转轴（短轴）旋转的椭球体。所以在测量和制图中就用旋转椭球来代替大地球体，这个旋转球体通常称地球椭球体，简称椭球体。3.1.2地球的大小关于地球椭球体的大小，由于采用不同的资料推算，椭球体的元素值是不同
第三章 地理信息系统的空间问题 3.1 地球椭球体基本要素 地球椭球体 3.1.1 地球的形状 为了从数学上定义地球，必须建立一个地球表面的几何模型。这个模型由地 球的形状决定的。它是一个较为接近地球形状的几何模型，即椭球体，是由一个 椭圆绕着其短轴旋转而成。 地球自然表面是一个起伏不平、十分不规则的表面，有高山、丘陵和平原， 又有江河湖海。地球表面约有 71%的面积为海洋所占用，29%的面积是大陆与岛 屿。陆地上最高点与海洋中最深处相差近 20 公里。这个高低不平的表面无法用 数学公式表达，也无法进行运算。所以在量测与制图时，必须找一个规则的曲面 来代替地球的自然表面。当海洋静止时，它的自由水面必定与该面上各点的重力 方向（铅垂线方向）成正交，我们把这个面叫做水准面。但水准面有无数多个， 其中有一个与静止的平均海水面相重合。可以设想这个静止的平均海水面穿过大 陆和岛屿形成一个闭合的曲面，这就是大地水准面（图 4-1）。 图 1：大地水准面 大地水准面所包围的形体，叫大地球体。由于地球体内部质量分布的不均匀， 引起重力方向的变化，导致处处和重力方向成正交的大地水准面成为一个不规则 的，仍然是不能用数学表达的曲面。大地水准面形状虽然十分复杂，但从整体来 看，起伏是微小的。它是一个很接近于绕自转轴（短轴）旋转的椭球体。所以在 测量和制图中就用旋转椭球来代替大地球体，这个旋转球体通常称地球椭球体， 简称椭球体。 3.1.2 地球的大小 关于地球椭球体的大小，由于采用不同的资料推算，椭球体的元素值是不同
的。现将世界各国常用的地球椭球体的数据列表如下：表1：各种地球椭球体模型椭球体名称年代长半轴(米）短半轴 （米）扁率白塞尔（Bessel）1841637739763560791:299.15克拉克（Clarke）1880637824963565151:293.5克拉克（Clarke）1866637820663565841:295.019106378388海福特（Hayford)63569121:297克拉索夫斯基1940637824563568631:298.3I. U.G. G1967637816063567751:298.251:300.8埃维尔斯特183063772766356075(Everest)3.1.3椭球体的半径地球椭球体表面是一个规则的数学表面。椭球体的大小，通常用两个半径：长半径a和短半径b，或由一个半径和扁率来决定。扁率a表示椭球的扁平程度。扁率的计算公式为：a=（a-b）/a。这些地球椭球体的基本元素a、b、a等，由于推求它的年代、使用的方法以及测定的地区不同，其结果并不一致，故地球椭球体的参数值有很多种。中国在1952年以前采用海福特（Hayford）椭球体，从1953-1980年采用克拉索夫斯基椭球体。随着人造地球卫星的发射，有了更精密的测算地球形体的条件。1975年第16届国际大地测量及地球物理联合会上通过国际大地测量协会第一号决议中公布的地球椭球体，称为GRS（1975），中国自1980年开始采用GRS（1975）新参考椭球体系。由于地球椭球长半径与短半径的差值很小，所以当制作小比例尺地图时，往往把它当作球体看待，这个球体的半径为6371公里。3.1.4高程地面点到大地水准面的高程，称为绝对高程。如图2所示，PP。为大地水准面，地面点A和B到P.P的垂直距离H和H为A、B两点的绝对高程。地面点到任一水准面的高程，称为相对高程。如图2中，A、B两点至任一水准面PP的垂直距离H和He为A、B两点的相对高程
的。现将世界各国常用的地球椭球体的数据列表如下： 表 1：各种地球椭球体模型 椭球体名称 年代 长半轴（米） 短半轴（米） 扁率 白塞尔(Bessel) 1841 6377397 6356079 1：299.15 克拉克(Clarke) 1880 6378249 6356515 1：293.5 克拉克(Clarke) 1866 6378206 6356584 1：295.0 海福特(Hayford) 1910 6378388 6356912 1：297 克拉索夫斯基 1940 6378245 6356863 1：298.3 I．U．G．G 1967 6378160 6356775 1：298.25 埃维尔斯特 (Everest) 1830 6377276 6356075 1：300.8 3.1.3 椭球体的半径 地球椭球体表面是一个规则的数学表面。椭球体的大小，通常用两个半径： 长半径 a 和短半径 b，或由一个半径和扁率来决定。扁率α表示椭球的扁平程度。 扁率的计算公式为：α=（a-b）/a。这些地球椭球体的基本元素 a、b、α等， 由于推求它的年代、使用的方法以及测定的地区不同，其结果并不一致，故地球 椭球体的参数值有很多种。中国在 1952 年以前采用海福特（Hayford）椭球体， 从 1953-1980 年采用克拉索夫斯基椭球体。随着人造地球卫星的发射，有了更精 密的测算地球形体的条件。1975 年第 16 届国际大地测量及地球物理联合会上通 过国际大地测量协会第一号决议中公布的地球椭球体，称为 GRS（1975），中国 自 1980 年开始采用 GRS（1975）新参考椭球体系。由于地球椭球长半径与短半 径的差值很小，所以当制作小比例尺地图时，往往把它当作球体看待，这个球体 的半径为 6371 公里。 3.1.4 高程 地面点到大地水准面的高程，称为绝对高程。如图 2 所示，P0P0'为大地水准 面，地面点 A 和 B 到 P0P0'的垂直距离 HA和 HB为 A、B 两点的绝对高程。地面点到 任一水准面的高程，称为相对高程。如图 2 中，A、B 两点至任一水准面 P1P1'的 垂直距离 HA'和 HB'为 A、B 两点的相对高程
2E图2：地面点的高程3.2地图比例尺3.2.1比例尺表示法地图比例尺通常认为是地图上距离与地面上相应距离之比。地图比例尺可用下述方法表示。1）数字比例尺这是简单的分数或比例，可表示为1：1000000或1/1000000，最好用前者。这意味着，地图上（沿特定线）长度1毫米、1厘米或1英寸（分子），代表地球表面上的1000000毫米、厘米或英寸（分母）。2）文字比例尺这是图上距离与实地距离之间关系的描述。例如，1：1000000这一数字比例尺可描述为“图1毫米等于实地1公里”。3）图解比例尺或直线比例尺这是在地图上绘出的直线段，常常绘于图例方框中或图廓下方，表示图上长度相当于实地距离的单位。4）面积比例尺这关系到图上面积与实地面积之比，表示图上1单位面积（平方厘米）与实地上同一种平方单位的特定数量之比。3.2.2比例系数表明确定的比例尺与实际比例尺数值之间的关系叫做比例系数（SF）。可以这样理解比例系数，首先将地球缩小为所选比例尺的地球仪地图；然后将该球形地图转换为平面地图。上述平面地图的数字比例尺就是地球仪的比例尺，叫做主比例尺（或名义比例尺）：真实比例尺就是平面地图上的实际比例尺，当然各处
图 2：地面点的高程 3.2 地图比例尺 3.2.1 比例尺表示法 地图比例尺通常认为是地图上距离与地面上相应距离之比。地图比例尺可用 下述方法表示。 1）数字比例尺 这是简单的分数或比例，可表示为 1：1000000 或 1/1000000，最好用前者。 这意味着，地图上（沿特定线）长度 1 毫米、1 厘米或 1 英寸（分子），代表地 球表面上的 1000000 毫米、厘米或英寸（分母）。 2）文字比例尺 这是图上距离与实地距离之间关系的描述。例如，1：1000000 这一数字比 例尺可描述为“图 1 毫米等于实地 1 公里”。 3）图解比例尺或直线比例尺 这是在地图上绘出的直线段，常常绘于图例方框中或图廓下方，表示图上长 度相当于实地距离的单位。 4）面积比例尺 这关系到图上面积与实地面积之比，表示图上 1 单位面积（平方厘米）与实 地上同一种平方单位的特定数量之比。 3.2.2 比例系数 表明确定的比例尺与实际比例尺数值之间的关系叫做比例系数（SF）。可以 这样理解比例系数，首先将地球缩小为所选比例尺的地球仪地图；然后将该球形 地图转换为平面地图。上述平面地图的数字比例尺就是地球仪的比例尺，叫做主 比例尺（或名义比例尺）；真实比例尺就是平面地图上的实际比例尺，当然各处
是不相同的。比例系数可按下式计算：SF=实际比例尺/主比例尺该公式表明，比例系数是实际比例尺与单位（1）主比例尺之比。当比例系数为2时，实际比例尺为主比例尺的两倍。比例系数只在小比例尺世界地图上比较明显。在大比例尺地图上，各处的比例系数对于1只有很小的变化。3.3坐标系所谓坐标系，包含两方面的内容：一是在把大地水准面上的测量成果化算到椭球体面上的计算工作中，所采用的椭球的大小；二是椭球体与大地水准面的相关位置不同，对同一点的地理坐标所计算的结果将有不同的值。因此，选定了个一定大小的椭球体，并确定了它与大地水准面的相关位置，就确定了一个坐标系。3.3.1地理坐标地球除了绕太阳公转外，还绕着自己的轴线旋转，地球自转轴线与地球椭球体的短轴相重合，并与地面相交于两点，这两点就是地球的两极，北极和南极。垂直于地轴，并通过地心的平面叫赤道平面，赤道平面与地球表面相交的大圆圈（交线）叫赤道。平行于赤道的各个圆圈叫纬圈（纬线）（Parallel），显然赤道是最大的一个纬圈。通过地轴垂直于赤道面的平面叫做经面或子午圈（Meridian），所有的子午圈长度彼此都相等。（图1）本子午线经度=入9赤道
是不相同的。 比例系数可按下式计算：SF=实际比例尺/主比例尺 该公式表明，比例系数是实际比例尺与单位（1）主比例尺之比。当比例系 数为 2 时，实际比例尺为主比例尺的两倍。比例系数只在小比例尺世界地图上比 较明显。在大比例尺地图上，各处的比例系数对于 1 只有很小的变化。 3.3 坐标系 所谓坐标系，包含两方面的内容：一是在把大地水准面上的测量成果化算到 椭球体面上的计算工作中，所采用的椭球的大小；二是椭球体与大地水准面的相 关位置不同，对同一点的地理坐标所计算的结果将有不同的值。因此，选定了一 个一定大小的椭球体，并确定了它与大地水准面的相关位置，就确定了一个坐标 系。 3.3.1 地理坐标 地球除了绕太阳公转外，还绕着自己的轴线旋转，地球自转轴线与地球椭球 体的短轴相重合，并与地面相交于两点，这两点就是地球的两极，北极和南极。 垂直于地轴，并通过地心的平面叫赤道平面，赤道平面与地球表面相交的大圆圈 （交线）叫赤道。平行于赤道的各个圆圈叫纬圈（纬线）（Parallel），显然赤 道是最大的一个纬圈。 通过地轴垂直于赤道面的平面叫做经面或子午圈（Meridian），所有的子午 圈长度彼此都相等。（图 1）
图1：地球的经线和纬线3.3.2纬度（Latitude）设椭球面上有一点P（图1），通过P点作椭球面的垂线，称之为过P点的法线。法线与赤道面的交角，叫做P点的地理纬度（简称纬度），通常以字母Φ表示。纬度从赤道起算，在赤道上纬度为0度，纬线离赤道愈远，纬度愈大，至极点纬度为90度。赤道以北叫北纬、以南叫南纬。3.3.3经度（Longitude）过P点的子午面与通过英国格林尼治天文台的子午面所夹的二面角，叫做P点的地理经度（简称经度），通常用字母入表示。国际规定通过英国格林尼治天文台的子午线为本初子午线（或叫首子午线），作为计算经度的起点，该线的经度为0度，向东0-180度叫东经，向西0-180度叫西经。3.3.4地面上点位的确定地面上任一点的位置，通常用经度和纬度来决定。经线和纬线是地球表面上两组正交（相交为90度）的曲线，这两组正交的曲线构成的坐标，称为地理坐标系。地表面某两点经度值之差称为经差，某两点纬度值之差称为纬差。例如北京在地球上的位置可由北纬39°56”和东经116°24°来确定。3.4平面上的坐标系地理坐标是一种球面坐标。由于地球表面是不可展开的曲面，也就是说曲面上的各点不能直接表示在平面上，因此必须运用地图投影的方法，建立地球表面和平面上点的函数关系，使地球表面上任一点由地理坐标（Φ、入）确定的点，在平面上必有一个与它相对应的点，平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐标表示。3.4.1平面直角坐标系的建立在平面上选一点0为直角坐标原点，过该点0作相互垂直的两轴X'OX和Y”OY而建立平面直角坐标系，如图5所示。直角坐标系中，规定OX、OY方向为正值，OX、OY方向为负值，因此在坐标系中的一个已知点P，它的位置便可由该点对OX与OY轴的垂线长度唯一地确定，即x=AP，y=BP，通常记为P（x，y）
图 1：地球的经线和纬线 3.3.2 纬度（Latitude） 设椭球面上有一点 P（图 1），通过 P 点作椭球面的垂线，称之为过 P 点的 法线。法线与赤道面的交角，叫做 P 点的地理纬度（简称纬度），通常以字母φ 表示。纬度从赤道起算，在赤道上纬度为 0 度，纬线离赤道愈远，纬度愈大，至 极点纬度为 90 度。赤道以北叫北纬、以南叫南纬。 3.3.3 经度（Longitude） 过 P 点的子午面与通过英国格林尼治天文台的子午面所夹的二面角，叫做 P 点的地理经度（简称经度），通常用字母λ表示。国际规定通过英国格林尼治天 文台的子午线为本初子午线（或叫首子午线），作为计算经度的起点，该线的经 度为 0 度，向东 0-180 度叫东经，向西 0-180 度叫西经。 3.3.4 地面上点位的确定 地面上任一点的位置，通常用经度和纬度来决定。经线和纬线是地球表面上 两组正交（相交为 90 度）的曲线，这两组正交的曲线构成的坐标，称为地理坐 标系。地表面某两点经度值之差称为经差，某两点纬度值之差称为纬差。例如北 京在地球上的位置可由北纬 39°56'和东经 116°24'来确定。 3.4 平面上的坐标系 地理坐标是一种球面坐标。由于地球表面是不可展开的曲面，也就是说曲面 上的各点不能直接表示在平面上，因此必须运用地图投影的方法，建立地球表面 和平面上点的函数关系，使地球表面上任一点由地理坐标（φ、λ）确定的点， 在平面上必有一个与它相对应的点，平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐 标表示。 3.4.1 平面直角坐标系的建立 在平面上选一点 O 为直角坐标原点，过该点 O 作相互垂直的两轴 X’OX 和 Y’ OY 而建立平面直角坐标系，如图 5 所示。 直角坐标系中，规定 OX、OY 方向为正值，OX、OY 方向为负值，因此在坐标 系中的一个已知点 P，它的位置便可由该点对 OX 与 OY 轴的垂线长度唯一地确定， 即 x=AP，y=BP，通常记为 P(x，y)
3.4.2平面极坐标系（PolarCoordinate）的建立个XXBYQYOAYVox平面直角坐标系平面极坐标系图4-5：平面直角坐标系和极坐标系如图5所示，设0”为极坐标原点，0”0为极轴，P是坐标系中的一个点，则0P称为极距，用符号p表示，即p=0”P。Z00’P为极角，用符号8表示，则00”P=8。极角8由极轴起算，按逆时针方向为正，顺时针方向为负。极坐标与平面直角坐标之间可建立一定的关系式。由图5可知，直角坐标的x轴与极轴重合，二坐标系原点间距离00’用Q表示，则有：X=Q- p cos 8Y=psin83.4.3直角坐标系的平移和旋转一、坐标系平移如图1所示，坐标系XOY与坐标系XO'Y”相应的坐标轴彼此平行，并且具有相同的正向。坐标系X'O’Y'是由坐标系XOY平行移动而得到的。设P点在坐标系xOY中的坐标为(x，y)，在X'OY’中坐标为(x，y’），而(a，b)是O'在坐标系XOY中的坐标，于是：x=x'+ay=y' +b上式即一点在坐标系平移前后之坐标关系式
3.4.2 平面极坐标系（Polar Coordinate）的建立 平面直角坐标系 O B P Y X A O X Y Y Q X P O' 平面极坐标系 δ ρ X' Y' 图 4-5：平面直角坐标系和极坐标系 如图 5 所示，设 O’为极坐标原点，O’O 为极轴，P 是坐标系中的一个点， 则 O’P 称为极距，用符号ρ表示，即ρ=O’P。∠OO’P 为极角，用符号δ表示， 则∠OO’P=δ。极角δ由极轴起算，按逆时针方向为正，顺时针方向为负。 极坐标与平面直角坐标之间可建立一定的关系式。由图 5 可知，直角坐标的 x 轴与极轴重合，二坐标系原点间距离 OO’用 Q 表示，则有： X=Q–ρcosδ Y=ρsinδ 3.4.3 直角坐标系的平移和旋转 一、坐标系平移 如图 1 所示，坐标系 XOY 与坐标系 X’O’Y’相应的坐标轴彼此平行，并且 具有相同的正向。坐标系 X’O’Y’是由坐标系 XOY 平行移动而得到的。设 P 点 在坐标系 XOY 中的坐标为(x，y)，在 X’O’Y’中坐标为(x’，y’)，而(a，b) 是 O’在坐标系 XOY 中的坐标，于是： x=x’+a y=y’+b 上式即一点在坐标系平移前后之坐标关系式
+ohVaOY图1：坐标平移二、坐标系旋转如图2所示，如坐标系XOY与坐标系X”OY的原点重合，且对应的两坐标轴夹角为0，坐标系XOY是由坐标系XOY以O为中心逆时针旋转e角后得到的。x=x'coso+y'sin0y=y'cos 0-x'sin 0上式即为经过旋转角后的二直角坐标系中某一点坐标的关系式。个XY6V图2：坐标旋转三、坐标系平移和旋转如图3所示，坐标系x'O”Y’的原点在坐标系xOY中的坐标为a、b，X轴与X'轴之夹角为0。可以认为坐标系X'OY’原是与坐标系XOY重合，后因为0分别平移了a、b之距离，并且坐标系二坐标轴0'x与0'Y”又相对Ox与OY逆时针旋转了0角而得到的。在二坐标系之间引入一个辅助坐标系X”0Y”，使它的二坐标轴OX”与O'Y”分别与OX、OY平行。在x”O’Y”系中有一点P，其坐标为（x”，y”），则由坐标系平移公式与
O' O X Y X' b Y' a P 图 1：坐标平移 二、坐标系旋转 如图 2 所示，如坐标系 XOY 与坐标系 X’O’Y’的原点重合，且对应的两坐 标轴夹角为θ，坐标系 X’O’Y’是由坐标系 XOY 以 O 为中心逆时针旋转θ角后 得到的。 x=x’cosθ+y’sinθ y=y’cosθ-x’sinθ 上式即为经过旋转θ角后的二直角坐标系中某一点坐标的关系式。 O X Y X' Y' P θ 图 2：坐标旋转 三、坐标系平移和旋转 如图 3 所示，坐标系 X’O’Y’的原点在坐标系 XOY 中的坐标为 a、b，X 轴 与 X’轴之夹角为θ。可以认为坐标系 X’O’Y’原是与坐标系 XOY 重合，后因 为 O’分别平移了 a、b 之距离，并且坐标系二坐标轴 O’X’与 O’Y’又相对 OX 与 OY 逆时针旋转了θ角而得到的。 在二坐标系之间引入一个辅助坐标系 X”O’Y”，使它的二坐标轴 O’X”与 O’Y”分别与 OX、OY 平行。 在 X”O’Y”系中有一点 P，其坐标为(x”，y”)，则由坐标系平移公式与
坐标系旋转公式可得：x=x" +ay=y" +b故有x"=x' cos @ +y" sin 0y”"=y'cos -x'sin 0即x=x'cos0+ysin0+ay"=y'cosQ-x'sino+b上式即坐标系平移和旋转后新、旧坐标系中某一点坐标之关系式。个AX"小VY'Y"82O0Y图3：坐标平移和旋转地图投影的基本问题3.4.4地图投影的概念在数学中，投影（Project）的含义是指建立两个点集间一一对应的映射关系。同样，在地图学中，地图投影就是指建立地球表面上的点与投影平面上点之间的一一对应关系。地图投影的基本问题就是利用一定的数学法则把地球表面上的经纬线网表示到平面上。凡是地理信息系统就必然要考虑到地图投影，地图投影的使用保证了空间信息在地域上的联系和完整性，在各类地理信息系统的建立过程中，选择适当的地图投影系统是首先要考虑的问题。由于地球椭球体表面是曲面，而地图通常是要绘制在平面图纸上，因此制图时首先要把曲面展为平面，然而球面是个不可展的曲面，即把它直接展为平面时，不可能不发生破裂或褶皱。若用这种具有破裂或褶皱的平面绘制地图，显然是不实际的，所以必须采用特殊的方法将曲面展开，使其成为没有破裂或褶皱的平面
坐标系旋转公式可得： x=x”+a y=y”+b 故有 x”=x’cosθ+y’sinθ y”=y’cosθ-x’sinθ 即 x=x’cosθ+y’sinθ+a y”=y’cosθ-x’sinθ+b 上式即坐标系平移和旋转后新、旧坐标系中某一点坐标之关系式。 O X Y X' Y' P θ O' Y'' X'' 图 3：坐标平移和旋转地图投影的基本问题 3.4.4 地图投影的概念 在数学中，投影（Project）的含义是指建立两个点集间一一对应的映射关 系。同样，在地图学中，地图投影就是指建立地球表面上的点与投影平面上点之 间的一一对应关系。地图投影的基本问题就是利用一定的数学法则把地球表面上 的经纬线网表示到平面上。凡是地理信息系统就必然要考虑到地图投影，地图投 影的使用保证了空间信息在地域上的联系和完整性，在各类地理信息系统的建立 过程中，选择适当的地图投影系统是首先要考虑的问题。由于地球椭球体表面是 曲面，而地图通常是要绘制在平面图纸上，因此制图时首先要把曲面展为平面， 然而球面是个不可展的曲面，即把它直接展为平面时，不可能不发生破裂或褶皱。 若用这种具有破裂或褶皱的平面绘制地图，显然是不实际的，所以必须采用特殊 的方法将曲面展开，使其成为没有破裂或褶皱的平面
3.5地图投影的变形3.5.1变形的种类地图投影的方法很多，用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。用地图投影的方法将球面展为平面，虽然可以保持图形的完整和连续，但它们与球面上的经纬线网形状并不完全相似。这表明投影之后，地图上的经纬线网发生了变形，因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物，也必然随之发生变形。这种变形使地面事物的何特性（长度、方向、面积）受到破坏。把地图上的经纬线网与地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在长度、面积和角度三个方面，分别用长度比、面积比的变化显示投影中长度变形和面积变形。如果长度变形或面积变形为零，则没有长度变形或没有面积变形。角度变形即某一角度投影后角值与它在地球表面上固有角值之差。1）长度变形即地图上的经纬线长度与地球仪上的经纬线长度特点并不完全相同，地图上的经纬线长度并非都是按照同一比例缩小的，这表明地图上具有长度变形在地球仪上经纬线的长度具有下列特点：第一，纬线长度不等，其中赤道最长，纬度越高，纬线越短，极地的纬线长度为零；第二，在同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等；第三，所有的经线长度都相等。长度变形的情况因投影而异。在同一投影上，长度变形不仅随地点而改变，在同一点上还因方向不同而不同。2）面积变形即由于地图上经纬线网格面积与地球仪经纬线网格面积的特点不同，在地图上经纬线网格面积不是按照同一比例缩小的，这表明地图上具有面积变形。在地球仪上经纬线网格的面积具有下列特点：第一，在同一纬度带内，经差相同的网络面积相等。第二，在同一经度带内，纬线越高，网络面积越小。然而地图上却并非完全如此。如在图4-9-a上，同一纬度带内，纬差相等的网格面积相等，这些面积不是按照同一比例缩小的。纬度越高，面积比例越大。在图4-9-b上，同一纬度带内，经差相同的网格面积不等，这表明面积比例随经度的变化而变化了。由于地图上经纬线网格面积与地球仪上经纬线网格面积的特点不同，在地图上经纬线网格面积不是按照同一比例缩小的，这表明地图上具有面积变形
3.5 地图投影的变形 3.5.1 变形的种类 地图投影的方法很多，用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。用地图 投影的方法将球面展为平面，虽然可以保持图形的完整和连续，但它们与球面上 的经纬线网形状并不完全相似。这表明投影之后，地图上的经纬线网发生了变形， 因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物，也必然随之发生变形。这种变 形使地面事物的几何特性（长度、方向、面积）受到破坏。把地图上的经纬线网 与地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在长度、面积和角度三个方 面，分别用长度比、面积比的变化显示投影中长度变形和面积变形。如果长度变 形或面积变形为零，则没有长度变形或没有面积变形。角度变形即某一角度投影 后角值与它在地球表面上固有角值之差。 1）长度变形 即地图上的经纬线长度与地球仪上的经纬线长度特点并不完全相同，地图上 的经纬线长度并非都是按照同一比例缩小的，这表明地图上具有长度变形。 在地球仪上经纬线的长度具有下列特点：第一，纬线长度不等，其中赤道最 长，纬度越高，纬线越短，极地的纬线长度为零；第二，在同一条纬线上，经差 相同的纬线弧长相等；第三，所有的经线长度都相等。长度变形的情况因投影而 异。在同一投影上，长度变形不仅随地点而改变，在同一点上还因方向不同而不 同。 2）面积变形 即由于地图上经纬线网格面积与地球仪经纬线网格面积的特点不同，在地图 上经纬线网格面积不是按照同一比例缩小的，这表明地图上具有面积变形。 在地球仪上经纬线网格的面积具有下列特点：第一，在同一纬度带内，经差 相同的网络面积相等。第二，在同一经度带内，纬线越高，网络面积越小。然而 地图上却并非完全如此。如在图 4-9-a 上，同一纬度带内，纬差相等的网格面积 相等，这些面积不是按照同一比例缩小的。纬度越高，面积比例越大。在图 4-9-b 上，同一纬度带内，经差相同的网格面积不等，这表明面积比例随经度的变化而 变化了。由于地图上经纬线网格面积与地球仪上经纬线网格面积的特点不同，在 地图上经纬线网格面积不是按照同一比例缩小的，这表明地图上具有面积变形
面积变形的情况因投影而异。在同一投影上，面积变形因地点的不同而不同。3）角度变形是指地图上两条所夹的角度不等于球面上相应的角度，如在图4-9-b和图4-9-c上，只有中央经线和各纬线相交成直角，其余的经线和纬线均不呈直角相交，而在地球仪上经线和纬线处处都呈直角相交，这表明地图上有了角度变形。角度变形的情况因投影而异。在同一投影图上，角度变形因地点而变。地图投影的变形随地点的改变而改变，因此在一幅地图上，就很难笼统地说它有什么变形，变形有多大。(a)(b)(c)图4-9：地图投影变形3.5.2变形椭圆变形椭圆是显示变形的几何图形，从图4-9可以看到，实地上同样大小的经纬线在投影面上变成形状和大小都不相同的图形（比较图4-9中三个格网）。实际中每种投影的变形各不相同，通过考察地球表面上一个微小的圆形（称为微分圆）在投影中的表象一一变形椭圆的形状和大小，就可以反映出投影中变形的差异（图4-10）。X图4-10：微分圆表示投影变形3.6地图投影的分类
面积变形的情况因投影而异。在同一投影上，面积变形因地点的不同而不同。 3）角度变形 是指地图上两条所夹的角度不等于球面上相应的角度，如在图 4-9-b 和图 4-9-c 上，只有中央经线和各纬线相交成直角，其余的经线和纬线均不呈直角相 交，而在地球仪上经线和纬线处处都呈直角相交，这表明地图上有了角度变形。 角度变形的情况因投影而异。在同一投影图上，角度变形因地点而变。 地图投影的变形随地点的改变而改变，因此在一幅地图上，就很难笼统地说 它有什么变形，变形有多大。 图 4-9：地图投影变形 3.5.2 变形椭圆 变形椭圆是显示变形的几何图形，从图 4-9 可以看到，实地上同样大小的经 纬线在投影面上变成形状和大小都不相同的图形（比较图 4-9 中三个格网）。实 际中每种投影的变形各不相同，通过考察地球表面上一个微小的圆形（称为微分 圆）在投影中的表象——变形椭圆的形状和大小，就可以反映出投影中变形的差 异（图 4-10）。 图 4-10：微分圆表示投影变形 3.6 地图投影的分类