第九章习题习 题9.11.讨论下列级数的收敛性。收敛的话，试求出级数之和。1.2n7(1)(2)3n+1台n(n+2)128(11(3)(4)>=(2"= n(n+ 1)(n+ 2)3h35"-1 +4m71(5)(6)132mn=I2n-1(n+2-2/n+1+n)(7)(8)>3n二ln=l2n"cosm(9)(/qk1)n=02．确定x的范围，使下列级数收敛。".1(1)(2)台(1- x)"n=l2x(1-x).(3)=3.求八进制无限循环小数（36.0736073607…）：的值。[x2(1-x)"dx，求级数x，的和。4.设x,=n=l15.设抛物线1,：y=nx2+=和 I': y=(n+1)x? +的交点的横坐标的绝对值为a，n+1n(n=12,...).(1）求抛物线1,与1，所围成的平面图形的面积S，；(2)求级数之兴的和。A=ian习题9.21.求下列数列的上极限与下极限2n元n+1n(2) x, =n+(-1)"(1)x, =cOS-2n+1Sn元(4)x,=/n+1 +sin(3)x, = -n [(-1)" + 2];3n(n-1)(5) x, = 2 (-1)p+1 +3(-1)2.证明：1
第九章习题 习 题 9.1 1. 讨论下列级数的收敛性。收敛的话，试求出级数之和。 ⑴ ∑ ∞ =1 ( + 2) 1 n n n ; ⑵ ∑ ∞ =1 3 +1 2 n n n ; ⑶ ∑ ∞ =1 ( +1)( + 2) 1 n n n n ; ⑷ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 3 1 2 1 n n n ; ⑸ ∑ ∞ =1 1 n n n ; ⑹ ∑ ∞ = − + + 1 2 1 1 3 5 4 n n n n ; ⑺ ∑ ∞ = + − + + 1 ( 2 2 1 ) n n n n ; ⑻ ∑ ∞ = − 1 3 2 1 n n n ; ⑼ ∑ ∞ =0 cos n n q nx (| q |< 1). 2. 确定 x 的范围，使下列级数收敛。 ⑴ ∑ ∞ =1 (1− ) 1 n n x ; ⑵ ∑ ∞ =1 e n nx ; ⑶ ∑ ∞ = − 1 (1 ) n n x x . 3. 求八进制无限循环小数 (36.0736073607 . )8 的值。 4. 设 ，求级数 的和。 ∫ = − 1 0 2 x x (1 x) dx n n ∑ ∞ n=1 n x 5. 设抛物线ln ： n y nx 2 1 = + 和 nl′ ： 1 1 ( 1) 2 + = + + n y n x 的交点的横坐标的绝对值为 （ ）。 n a n = 1,2," (1) 求抛物线ln 与 nl′ 所围成的平面图形的面积 Sn ； (2) 求级数∑ ∞ n=1 n n a S 的和。 习 题 9.2 1. 求下列数列的上极限与下极限 (1) x = n 2n +1 n 5 2 cos nπ ； (2) x = n + (-1) n n n n 1 2 + ； (3) x = -n [ (-1) n n + 2]； (4) x = n n n +1 + sin 3 nπ ； (5) x = 2 (-1) n n+1 +3 2 ( 1) ( 1) − − n n 。 2. 证明： 1
climxa,c>0,(1) lim(-xn)=-lim x, :(2) lim (cx,)=n→0co1→n→0limx,limyn.lim(x,y,)=n→0n01→0习题9.31.讨论下列正项级数的收敛性：2n?2_4n2(1)(2)合n+i台n+3n8V1(3)(4)LβIn?n2(E元(6)(5)1-cos"n)2N-1):(7)(8)n台n=l2Ptcr(9)(10)22m+1n=lSre:32"n!()(12)2nZ(n +1- Vn2 -1);Z(2n-n2+1-Vn2-1);(13)(14)n=ln=lMnor1mn2+122in(15)(16)n?-1nn=3n=2a"7.(17)(a>0)。L=I (1+a)(1+a)...(I+α")2.利用级数收敛的必要条件，证明：n"(2n)!(1) lim=0;lim(2) =0。2 n(n+1)"-→" (n!)?n→003.利用Raabe判别法判断下列级数的收敛性2
(1) n→∞ lim (- x ) = - n n→∞ lim xn ； (2) n→∞ lim (c x ) = n ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ →∞ →∞ lim , 0. lim , 0, c x c c x c n n n n 3. 证明： (1) n→∞ lim ( xn + yn ) ≥ n→∞ lim xn + n→∞ lim n y ； (2) 若 lim 存在，则 n→∞ n x n→∞ lim ( x + )= + n n y n→∞ lim xn n→∞ lim n y 。 4. 证明：若 lim = x，-∞ ＜ x ＜ 0, 则 n→∞ xn n→∞ lim ( x )= n n y lim n→∞ ⋅ n x n→∞ lim n y ； n→∞ lim ( x )= n n y lim n→∞ ⋅ n x n→∞ lim n y 。 习 题 9.3 1. 讨论下列正项级数的收敛性： ⑴ ∑ ∞ =1 +4 1 4 n n n ; ⑵ ∑ ∞ =1 +3 2 3 2 n n n n ; ⑶ ∑ ∞ =2 2 ln 1 n n ; ⑷ ∑ ∞ =1 ! 1 n n ; ⑸ ∑ ∞ =1 2 ln n n n ; ⑹ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 cos n n π ; ⑺ ∑ ∞ =1 1 n n n ; ⑻ ( 1) 1 ∑ − ∞ n= n n ; ⑼ ∑ ∞ =1 2 n 2n n ; ⑽ ∑ ∞ = + + − 1 2 1 2 [2 ( 1) ] n n n n ; ⑾ ∑ ∞ = − 1 2 e n n n ; ⑿ ∑ ∞ =1 2 ! n n n n n ; ⒀ ∑ ∞ = + − − 1 2 2 ( 1 1) n n n ; ⒁ ∑ ∞ = − + − − 1 2 2 (2 1 1) n n n n ; ⒂ ∑ ∞ = − + 2 2 2 1 1 ln n n n ; ⒃ ∑ ∞ =3 ln cos n n π ; ⒄ ∑ ∞ =1 + + + 2 n (1 )(1 ) (1 ) n n a a a a " (a＞0)。 2. 利用级数收敛的必要条件，证明： (1) lim n→∞ 2 (n!) nn = 0； (2) lim n→∞ ( 1) 2 (2 )! n n+ n = 0。 3. 利用 Raabe 判别法判断下列级数的收敛性： 2
n!2(1)(a>0);= (a+1)(a+2)..(a+n)(2)(3)7n=/3lnn;(24.讨论下列级数的收敛性：2mm SinxxV2dx:dx:(1)(2)JoVi-xx2Jntn=lne/2 0++) x.(3)Jon=l门a+idx5.利用不等式证明：n+1xn111lim1+-Inn+...+23n-→0n存在（此极限为Euler常数一见例2.4.8)。6. ≥±。与≥。是两个正预级数。若一0 或 +0，请问这两个级数的收敏性关n-→* ynn=lR=l系如何？7.设正项级数之x，收敛，则之也收敛；反之如何？n=ln=1是正素三。收。当时。很张言心11收敛；又问当00，证明级数(2)=in111. 设x, >0, >1-（n=1,2），证明x，发散。Xn=. 正损缓数≥ 发股（ 0 =12 ）, 证明必存在发股的正缓数12.>y.n=ln=l使得lim=0。-o X,（提示：设S=Zx，令y=Si,y,= /S, - /S. (n=2,3,4,))k=l3
(1) ∑ ∞ =1 ( +1)( + 2) ( + ) ! n a a a n n " (a＞0)； (2) ∑ ∞ =1 ln 3 1 n n ； (3) n n 1 2 1 1 1 2 1 + + + ∞ = ∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ " 。 4. 讨论下列级数的收敛性： (1) ∑∫ ∞ =1 − 1 0 d n 1 n x x x ； (2) ∑∫ ∞ = π π 1 2 2 2 d sin n n n x x x ； (3) ∑∫ ∞ = + 1 1 0 ln(1 ) d n n x x 。 5. 利用不等式 1 1 n + ＜ ∫ n+1 d n x x ＜ n 1 ，证明： lim n→∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + − n n ln 1 3 1 2 1 1 " 存在(此极限为 Euler 常数 γ — 见例 2.4.8)。 6. 设∑ 与∑ 是两个正项级数，若 ∞ n=1 n x ∞ n=1 n y lim n→∞ n n y x = 0 或 +∞，请问这两个级数的收敛性关 系如何? 7. 设正项级数∑ 收敛，则 也收敛；反之如何? ∞ n=1 n x ∑ ∞ =1 2 n n x 8. 设正项级数∑ 收敛，则当 p＞ ∞ n=1 n x 2 1 时，级数∑ ∞ n=1 p n n x 收敛；又问当 0＜p≤ 2 1 时，结论 是否仍然成立? 9．设 f (x) 在[1,+∞) 上单调增加，且 f x A x = →+∞ lim ( ) 。 （1）证明级数∑ 收敛，并求其和； ∞ = + − 1 [ ( 1) ( )] n f n f n （2）进一步设 f (x) 在[1,+∞) 上二阶可导，且 f ′′(x) 0 ，证明级数∑ ∞ n=1 n n a λ 收敛。 11. 设 xn ＞0， n n x x +1 ＞ n 1 1− (n = 1,2,.)，证明∑ 发散。 ∞ n=1 n x 12．设正项级数∑ 发散（ ， ∞ n=1 n x xn > 0 n = 1,2,"），证明必存在发散的正项级数∑ ， ∞ n=1 n y 使得 lim = 0 →∞ n n n x y 。 （提示：设 ∑ ，令 = = n k n k S x 1 1 1 y = S ， n = Sn − Sn−1 y (n = 2,3,4,") ） 3
证明级数之善13.设正项级数x，发散，S，=T收敛，X,一Ls?kaln=l（提示：利用不等式%-S）SS,S.-I收敛，并求其和。14.设(a，）为Fibonacci数列。证明级数乙=12V5 +1（提示：利用Fibonaci数列的性质aml=a,+am及limm0).Z1+a"=2nPIn'nnn=l2.利用Cauchv收敛原理证明下述级数发散：111.1111(1)1+23456789111111(2)1-.234567893.设正项级数x，收敛，（x，）单调减少，利用Cauchy收敛原理证明：limnx,=0。n=l4.若对任意s>0和任意正整数p，存在N(s,p)，使得I Xn+1+Xn+2+...+Xn+p/N成立，问级数x，是否收敛？4
13. 设正项级数∑ 发散， ，证明级数 ∞ n=1 n x ∑= = n k n k S x 1 ∑ ∞ =1 2 n n n S x 收敛。 (提示：利用不等式 2 n n S x ≤ 1 1 − − − n n n n S S S S ) 14．设{an }为 Fibonacci 数列。证明级数∑ ∞ n=1 2n n a 收敛，并求其和。 （提示：利用 Fibonacci 数列的性质 an+1 = an + an−1 及 2 2 5 1 lim 1 0 ). 2. 利用 Cauchy 收敛原理证明下述级数发散： ⑴ 1 + 2 1 - 3 1 + 4 1 + 5 1 - 6 1 + 7 1 + 8 1 - 9 1 +. ; ⑵ 1 - 2 1 + 3 1 + 4 1 - 5 1 + 6 1 + 7 1 - 8 1 + 9 1 + . 。 3. 设正项级数∑ 收敛，｛ ｝单调减少，利用 Cauchy 收敛原理证明： = 0。 ∞ n=1 n x n x n n nx →∞ lim 4. 若对任意ε ＞0 和任意正整数 p，存在 N(ε , p) ，使得 ｜ x n+1 + xn+2 + . + xn+ p ｜＜ε 对一切 n＞N 成立，问级数∑ 是否收敛? ∞ n=1 n x 4
5.若级数≥x，收敛，lim==1，问级数≥y，是否收敛?n-→nn=ln=l6.设x,≥0，limx,=0，问交错级数(-1)"+x,是否收敛?n=l7.设正项数列(x,）单调减少，且级数Z(-1)"x，发散。问级数是否收敛？并n=l说明理由。收敛，则当α>α时，级数之一也收敛。8.设级数>n=in%=na(x,一x)收敛，则级数≥。收。9.若（nx,）收敛，1=2=2y，收敛，则级数y，收敛。10.若Z(x，-xn-）绝对收敛，21=2n=l11.设f(x)在[-1,1]上具有二阶连续导数，且f(x)=0 。limx-→0x绝对收敛。证明级数>Cnn=l12.已知任意项级数>厂x，发散，证明级数，也发散。1+2n=1n（【-1>0，证明：交错级数≥(-1)x,收敛。limn13.设x>0，200(Xn+ln=1（提示：证明存在正数α，当n充分大时，数列(nx，单调减少）14.利用1111 +=+.+-lnn→(n→),23n (-1) "+1其中是Euler常数(见例2.4.8)，求下述的更序级数的和：n=l111111111 +-L+1+32495711615.利用级数的Cauchy乘积证明：1. r(-1)"(1)=1;n! n!10(n + 1)g"(2)(/q/ <1)。(1- q)2na0=0习题9.51.讨论下述无穷乘积的收敛性.h?n+1(2)(1)In?+1n-n=2V5
5. 若级数∑ 收敛， ∞ n=1 n x lim n→∞ n n y x = 1，问级数∑ 是否收敛? ∞ n=1 n y 6. 设 ≥0， = 0，问交错级数 是否收敛? n x lim n→∞ n x n n n ∑ x ∞ = + − 1 1 ( 1) 7. 设正项数列{xn }单调减少，且级数∑ 发散。问级数 ∞ = − 1 ( 1) n n n x ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1+ 1 n n n x 是否收敛？并 说明理由。 8. 设级数∑ ∞ =1 0 n n n x α 收敛，则当α > α 0 时，级数∑ ∞ n=1 n n x α 也收敛。 9. 若｛nxn ｝收敛，∑ 收敛，则级数∑ 收敛。 ∞ = − − 2 1 ( ) n n n n x x ∞ n=1 n x 10. 若∑ 绝对收敛， 收敛，则级数 收敛。 ∞ = − − 2 1 ( ) n n n x x ∑ ∞ n=1 n y ∑ ∞ n=1 n n x y 11．设 f (x) 在[−1,1]上具有二阶连续导数，且 0 ( ) lim 0 = → x f x x 。 证明级数∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 1 1 n n f 绝对收敛。 12. 已知任意项级数 ∑ 发散，证明级数 ∞ n=1 n x ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 1 n n x n 也发散。 13. 设 ＞0， n n x lim n→∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + 1 n 1 n x x ＞0，证明：交错级数 n 收敛。 n n ∑ x ∞ = + − 1 1 ( 1) （提示：证明存在正数α ，当 n 充分大时，数列{n xn } α 单调减少） 14. 利用 1 + 2 1 + 3 1 + . + n 1 - ln n → γ ( n → ∞ )， 其中γ 是 Euler 常数(见例 2.4.8)，求下述∑ ∞ = + − 1 1 ( 1) n n n 的更序级数的和： 1 + 3 1 - 2 1 + 5 1 + 7 1 - 4 1 + 9 1 + 11 1 - 6 1 + . 。 15. 利用级数的 Cauchy 乘积证明： (1) ∑ ⋅ ∞ =0 ! 1 n n ∑ ∞ = − 0 ! ( 1) n n n = 1； (2) ⎟ = = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n q ∑ ∞ = + 0 ( 1) n n n q 2 (1 ) 1 − q (｜q｜＜1 ) 。 习 题 9.5 1. 讨论下述无穷乘积的收敛性 ⑴ ∏ ∞ =1 +2 2 n n 1 n ; ⑵ ∏ ∞ = − + 2 1 1 n n n ; 5
7(3)COS1S二Ter5n元？/+!1+(8)D1[+)][+)%] (p.0) ,Q102.计算下述无穷乘积的值：2() (-)an(n+1)(3)n3+1元之x收敛，则cosx，收敛。3. 设0<x<24.设|a,/<,(+a.）绝对收敛。Zla,收敛，则tan(44n5.证明：1-3.(2n-) - :.(1) lim2.4.6....(2n)β(β+1)(β+2).(β+n)2=0 (0<β<α)。(2) limα(α+1)(α+2)...(α+n)56.设191<1，证明：(+q") = 1/(-q1),(++q) - (-q")/(-q)-(-q)/(-q-)（提示：.17，证明级数a,与a,都发散，但无穷乘7.设α2m-1=，a2n+：VnJnn/n积(1+a,)收敛
⑶ ∏ ∞ =3 cos n n π ; ⑷ ∏ ∞ =1 1 sin n n n ; ⑸ ∏ ∞ =1 1 e n nx ; ⑹ ∏= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − m n n x 1 2 2 2 1 π ; ⑺ ∏= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + m n n n x 1 2 1 ; ⑻ ∏ ∞ = + 1 1 1 n n n ; ⑼ ∏ ∞ = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 1 e n n x n x ; ⑽ ∏ ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 cos 1 1 n p q n n π （ p, q > 0 ）. 2. 计算下述无穷乘积的值： (1) ∏ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 2 1 1 n n ; ⑵ ∏ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 ( 1) 2 1 n n n ; (3) ∏ ∞ = + − 2 3 3 1 1 n n n 。 3. 设 0＜ xn ＜ 2 π ，∑ 收敛，则∏ 收敛。 ∞ =1 2 n n x ∞ =1 cos n n x 4. 设｜ an ｜＜ 4 π ，∑ 收敛，则 ∞ =1 | | n an ∏ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 1 4 tan n an π 绝对收敛。 5. 证明： (1) lim n→∞ 0 2 4 6 (2 ) 1 3 5 (2 1) = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − n n " " ； (2) lim n→∞ 0 ( 1)( 2) ( ) ( 1)( 2) ( ) = + + + + + + n n α α α α β β β β " " ( 0 < β < α )。 6. 设｜q｜＜1，证明： ∏( ) ∞ = + 1 1 n n q = ∏( )。 ∞ = − − 1 2 1 1/ 1 n n q ( 提示：∏( ) = = + n k k q 2 1 1 ∏( ) ∏( ) = = − − n k k n k k q q 2 1 2 1 2 1 1 ∏( ) ∏( ) = − = + = − − n k k n k n k q q 1 2 1 2 1 2 1 1 ） ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + n n 1 1 1 ∑ ∞ =1 2 n n 7. 设 a n a n 1 2 −1 = − ， n a n 1 2 = + ，证明级数 与 都发散，但无穷乘 积∏ 收敛。 ∑ ∞ n=1 n a ∞ = + 2 (1 ) n n a 6