习题3.3无穷小量与无穷大量的阶1.确定α与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～)ax：(1)u(x)= x-3x* +2x3, (x→0, x-→00);(2) u(x)= +2x3r (-0, x-8);(3) u(x)= /x + /x2 (x→0+, x-→+);(4) u(x)= x+/x+/x (x→0+, x→+0);(5)u(x)= /1+3x - /1+2x (x-0, x-→+o0);(6) u(x) = /x2 +1 - x (x-→++00):(7) u(x)= VP+x - 最 (x-0+);(8) u(x)= /1+x/x - e2x (x→0+);(9) u(x) = In cos x - arc tan x2 (x-→0);(10)u(x)= /1+tan x - /1-sinx (x→0)。解 (1) u(x)～2x3 (x→0); u(x)～x (x→0)。(2) u(x) ～-2x-'(x→0); u(x)~}3*(x →0) 。23(3) u(x)~x3 (x→0+); u(x)~x2 (x→+0)。(4) u(x) ~x8 (x→0+); u(x) ~x2 (x→+00)。(5) u(x)～三xx(x→0); u(x)~/3x2 (x→+00)。6=x (x→+00)。(6) u(x) ~21(7) u(x)～x2 (x→0+)。(8) u(x)～-2x(x→0+)。47
习 题 3.3 无穷小量与无穷大量的阶 1. 确定 a 与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) a xα ： (1) u(x) = x x x 5 4 − 3 + 2 3 , (x→0，x→∞)； (2) u(x) = x x x x 5 2 4 2 3 + − 3 (x→0，x→∞)； (3) u(x) = x 3 + x 3 2 (x→0+，x→+∞)； (4) u(x) = x + +x x (x→0+，x→+∞)； (5) u(x) = 1+ 3x - 1 2 3 + x (x→0，x→+∞)； (6) u(x) = x 2 + 1 - x (x→+∞)； (7) u(x) = 3 x + x - 3 2 x (x→0+)； (8) u(x) = 1+ x x - e2x (x→0+)； (9) u(x) = ln cos x - arc tan x 2 (x→0)； (10) u(x) = 1+ tan x - 1− sin x (x→0)。 解（1）u(x) ～2x 3 (x → 0)；u(x) ～ x 5 (x → ∞)。 （2）u(x) ～− 2x−1 (x → 0)；u(x) ～ ( ) 3 1 x x → ∞ 。 （3）u(x) ～ ( 0 ) 3 2 x x → + ；u(x) ～ ( ) 2 3 x x → +∞ 。 （4）u(x) ～ ( 0 ) 8 1 x x → + ；u(x) ～ ( ) 2 1 x x → +∞ 。 （5）u(x) ～ ( 0) 6 5 x x → ；u(x) ～ 3 ( ) 2 1 x x → +∞ 。 （6）u(x) ～ ( ) 2 1 1 → +∞ − x x 。 （7）u(x) ～ ( 0 ) 2 1 x x → + 。 （8）u(x) ～− 2x (x → 0+)。 47
2x (x→0)。(9) u(x) ~2(10) u(x)~x(x→0)。2.（1）当x→+时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进行排列，并说明理由。a(a>1), x,xa(α>0),In*x (k>0),[x]!;(2）当x→0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进行排列，并说明理由。 (a≥1), () ((≥0)。xa (α>0),a4解（1）当x→+时，从低阶无穷大量到高阶无穷大量的排列为In*x (k>0),xα(α>0),a (a>1),[x]!,x。q"+!ax(n + 1)axa[x]!(n+1)!证明：设n≤x00n!n->007>00aIn* xyka[x]!=0，同时也得到lim0,limlim1im0(y=lnx)。n-→00 [x]!n->00xxay-+o (ea)"（2）当x→0+时，从高阶无穷小量到低阶无穷小量的排列为(k>0)。(a>1),xα (α>0)，ln-kx1，则当x→0+时，有y→+。参考（1）的排列即可得证明：令V=X到（2）的排列。3.计算下列极限：48
（9）u(x) ～ ( 0) 2 − 3 x 2 x → 。 （10）u(x) ～ x (x → 0)。 2. (1) 当 x→+∞时，下列变量都是无穷大量，将它们从低阶到高阶进 行排列，并说明理由。 a x (a＞1), x x , xα (α＞0)， lnk x (k＞0)， [x]!； (2) 当 x→0+时，下列变量都是无穷小量，将它们从高阶到低阶进 行排列，并说明理由。 xα (α＞0)， ! 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x , a x − 1 (a＞1)， x x 1 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ x k 1 ln (k＞0)。 解（1）当 x→+∞时，从低阶无穷大量到高阶无穷大量的排列为 lnk x (k＞0)， xα (α＞0)，a (a＞1), [x]!, x x x 。 证明：设n ≤ x < n +1，则 x n a n a xα α ( 1) 0 + < < ， [ ]! ! 0 1 n a x a x n+ < < ， x n n n x [x]! ( 1)! 0 + < < 。 由 n→∞ lim 0 ( 1) = + n a n α ， n→∞ lim 0 ! 1 = + n an 与 n→∞ lim 0 ( 1)! = + n n n ，即得到 x x a xα →+∞ lim = 0， n→∞ lim 0 [ ]! = x a x ，n→∞ lim 0 [ ]! = x x x ，同时也得到 α x x k x ln lim →+∞ 0 ( ) = lim = →+∞ y k y e y α ( y = ln x)。 （2）当 x→0+时，从高阶无穷小量到低阶无穷小量的排列为 x x 1 1 − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ , ! 1 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ x , a x − 1 (a＞1)， xα (α＞0)， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ − ⎛ x k 1 ln (k＞0)。 证明：令 x y 1 = ，则当 x→0+时，有 y → +∞。参考（1）的排列即可得 到（2）的排列。 3. 计算下列极限： 48
/1+x-3/1+2x21-Vcosx(1) lim(2) limx-0 1-cosxIn(1 + 3x)x->0(4) lim (V1+x+x - V1-x+x);x+/x+/x-x);(3)lim (21xa-aaar-a(6) lim(5) lim(a>0);(a>0);x-αx-ax→ax-→aInx-Ina(7) lim x(In (1+x) - In x);(a>0);(8) limx-a0-(9) lim (x+e*)*;(10) limcos(11) limn(/x-1) (x>0);(12) lim n2(/x - "/x) (x>0)。V1+ x3/1+ 2x2(/1+x -1)-(/1+2x2 -1)解（1）lim= lim-0In(1 + 3 x)20In(1 + 3x)2?1=lmt-13x6x>0121Vcosx1-cosx(2)=0。limlimlimx→0 101-cos/x-→0(1-cos /x)(1+cosx)x(1+/cosx)2Vx+VxVx1(3)lim(x+/x+/x-/x)=limlim2/"2°X-→+00Vx+Vx+Vx+x2x(4) lim (/1+x+x2 -/1-x+x?)=lim=1.r/1+x+x2+/=x+xα-αaa"(ar-α--1)a"(x-α)lna(5)limlimlim=aIna。x-αx→ax-αx-ax-αx-aalnza~αln(1+aexda"(ea-l)(6)limlimlimx-a→ax-ax→ax-ax-aa'αa= lim=aadx-→ax-a1In(1 +(7)lim x (ln (1+x) - ln x )= lim1x49
⑴ lim x→0 1 1 2 1 3 3 2 + − + + x x ln( x) ； ⑵ lim x→0 1 1 − − cos cos x x ； ⑶ lim x→+∞ ( xxx + + - x )； ⑷ lim x→+∞ ( 1 2 + + x x - 1 2 − + x x )； ⑸ limx→ α a a x x − − α α (a＞0)； ⑹ limx a → x a x a α α − − (a＞0)； ⑺ lim x→+∞ x ( ln (1+x) - ln x )； ⑻ limx a → ln x ln x a − a − (a＞0)； ⑼ lim x→0 ( e x ) x x + 1 ； ⑽ lim x→0 2 1 2 2 cos x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ； ⑾ lim n→∞ n ( x n - 1) (x＞0)； ⑿ lim n→∞ n 2 ( x n - x n+1 ) (x＞0)。 解（1）lim x→0 = + + − + ln(1 3 ) 1 1 2 3 2 x x x lim x→0 ln(1 3 ) ( 1 1) ( 1 2 1) 3 2 x x x + + − − + − 0 lim → = x = − x x x 3 3 2 2 1 2 6 1 。 （2）lim x→0 = − − x x 1 cos 1 cos lim x→0 = − + − (1 cos )(1 cos ) 1 cos x x x lim x→0 = (1+ cos ) 2 1 2 1 2 x x x 0。 （3） lim ( x→+∞ xxx + + - x ) →+∞ = x lim = + + + + x x x x x x lim x→+∞ = x x 2 2 1 。 （4） lim ( x→+∞ 1 2 + + x x - 2 1− x + x ) →+∞ = x lim = + + + − + 2 2 1 1 2 x x x x x 1。 （5）x→α lim = − − α α x a a x x→α lim = − − − α α α x a a x ( 1) x→α lim a x( )ln a x α α α − = − a lna α 。 （6）limx a → = − − x a x a α α limx a → = − − x a a e a x ( 1) α ln α limx a → x a a x a a − − α ln(1+ ) α x→a = lim = − − ⋅ x a a x a a αα α−1 αa 。 （7） lim x ( ln (1+x) - ln x ) x→+∞ = + = →+∞ x x x 1 ) 1 ln(1 lim 1。 49
XaIn(1 +Inx-Ina1a(8)limlimx-ax→axax-aa---(9)lim(x+e*)*=lim(1+x+e-1)x=lim(1+2x)x=e3-→0x→01→(1)2)(10）= limlim= lim 1-(1-cosx)cos.x22x->0x->0X-(Linx(11) limn("/x- 1)= limn(en-1)= lim(n.-lnx)= Inx 。n->o0n-00n-nx-Inx（12)limn2("/x-"t/x）=limn2- 1) -(en+l(en1n→00n-→00limn~InxInx=n-→00(nn+50
（8）limx a → ln x a ln x a − − limx a → = − − + x a a x a ln(1 ) a 1 。 （9）limx→0 + = x x x 1 ( e ) limx→0 + + − = x x x 1 (1 e 1) limx→0 + = x x 1 (1 2 ) 2 e 。 （10）limx→0 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 2 2 cos x x x limx→0 2 1 2 2 1 (1 cos ) x x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 0 lim → = x ( ) − = 2 1 2 1 x x −1 e 。 （11）lim n ( n→∞ x n - 1) lim ( 1) ln 1 = − →∞ x n n n e = ⋅ = →∞ ln ) 1 lim( x n n n ln x 。 （12）lim ( n→∞ n 2 x n - x n+1 ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − + →∞ lim ( 1) ( 1) ln 1 1 ln 1 2 x n x n n n e e =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − →∞ 1 1 1 lim ln 2 n n n x n ln x 。 50
习题3.4闭区间上的连续函数1.证明：设函数f(x)在[a,+o)上连续，且lim(x）=A（有限数），则f(x)在[a,+o)有界。证由limf(x）=A（有限数），可知X>a，Vx>X：f(x)-A<l，即A-1<f(x)<A+1。再由f(x)在闭区间[a,X)上的连续性，可知f(x)在[a,X]上有界，即Vxe[a,X]：|f(x)]<B。令M=max(B,A+1)，m=min(-B,A-1)，则Vxe[a,+oo)，成立m<f(x)<M。2.证明：若函数f()在开区间(a,b)上连续，且a+)和(b-)存在，则它可取到介于凡a+)和(b-)之间的一切中间值。证令f(x)xe(a,b)(x)=f(a+)x=a[(b- x=b则7(x)在闭区间[a,b]连续，不妨设f(a+)<f(b-)，由闭区间上连续函数的中间值定理，可知(x)在闭区间[a,b]上可取到[f(a+),f(b-)]上的一切值，于是f(x)在开区间(a,b)上可取到介于(a+)和(b-)之间的一切中间值。3.证明：若闭区间[a,b]上的单调有界函数f(x)能取到(a)和(b)之间的一切值，则f(x)是[a,b]上的连续函数。证采用反证法。不妨设f(x)单调增加。若e(a,b)是(x)的不连续点，则f(-)与f(5+)都存在，且 f(a)≤f(-)<f(E+)≤f(b)，于是f(α)取不到开区间(f(-),f(+)中异于f()的值，与条件矛盾；若x=a是f(x)的51
习 题 3.4 闭区间上的连续函数 1. 证明：设函数 f x( ) 在[a,+∞)上连续，且 = A（有限数），则 在 有界。 limx→+∞ f x( ) f x( ) [a,+∞) 证 由 lim = A（有限数），可知 x→+∞ f x( ) ∃X > a ，∀x > X ： f (x) − A < 1，即 A −1 < f (x) < A +1。再由 在闭区间 上的连续性，可知 在 上有界，即 ： f (x) [a, X ] f (x) [a, X ] ∀x ∈[a, X ] f (x) < B 。 令 M = max{B, A +1} ， m = min{−B, A −1}，则∀x ∈[a,+∞)，成立m < f (x) < M 。 2. 证明：若函数 在开区间 上连续，且 f(a+)和 f(b-)存在，则 它可取到介于 f(a+)和 f(b-)之间的一切中间值。 f x( ) (a,b) 证 令 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = ∈ = f b x b f a x a f x x a b f x ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ~ ， 则 ( ) ~ f x 在闭区间[a,b]连续，不妨设 f (a+) < f (b−)，由闭区间上连续函 数的中间值定理，可知 ( ) ~ f x 在闭区间 上可取到 上的 一切值，于是 在开区间 上可取到介于 f(a+)和 f(b-)之间的一 切中间值。 [a,b] [ f (a+), f (b−)] f x( ) (a,b) 3. 证明：若闭区间 上的单调有界函数 能取到 f(a)和 f(b)之间 的一切值，则 是 上的连续函数。 [a,b] f x( ) f x( ) [a,b] 证 采用反证法。不妨设 f (x)单调增加。若ξ ∈ (a,b)是 的不连续点， 则 f (x) f (ξ −)与 f (ξ +)都存在，且 f (a) ≤ f (ξ −) < f (ξ +) ≤ f (b)，于是 取不 到开区间 f (x) ( f (ξ −), f (ξ +))中异于 f (ξ )的值，与条件矛盾；若 x = a是 f (x)的 51
不连续点，则f(a+)存在，且f(a)n，即 lim f(x,)=00。由Bolzano-Weierstrass定理，存在子列(m」，limxm=5，且5e[a,b]。因为f(x)在点=连续,所以有 limf(xm）=f(5)，与limf(x,)=产生矛盾。5.应用闭区间套定理证明零点存在定理。证设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)0 。如果(h)=0，则定理得证。如果r(th)0，则令a=a，b,=2L如果()=0，则定理得证。如果()0，则令,=a，b,=b。22这样的过程可以一直进行下去。如果存在某个k，使得r(+bk)=0，2则定理得证；如果不存在某个k，使得(+bh)=0，则得到一个闭2区间套[an,b,)，满足f(an)0。由闭区间套定理，可知存52
不连续点，则 f (a+)存在，且 f (a) n，即 = ∞ →∞ lim ( ) n n f x 。由 Bolzano-Weierstrass 定理，存在子列{ } nk x ， = ξ →∞ k n k lim x ，且ξ ∈[a,b]。因为 f (x)在点ξ 连续， 所以有 lim f (x ) f (ξ ) k n k = →∞ ，与 = ∞ →∞ lim ( ) n n f x 产生矛盾。 5. 应用闭区间套定理证明零点存在定理。 证 设 f (x)在闭区间[a,b]上连续，且 f (a) f (b) 0 如果 ) 0 2 ( 1 1 = a + b f ，则定理得证。如果 ) 0 2 ( 1 1 a + b f ，则令 2 1 a = a ， 2 1 1 2 a b b + = 。 如果 ) 0 2 ( 2 2 = a + b f ，则定理得证。如果 ) 0 2 ( 2 2 a + b f ，则令a3 = a2， 2 2 2 3 a b b + = 。 "", 这样的过程可以一直进行下去。如果存在某个k ，使得 ) 0 2 ( = ak + bk f ， 则定理得证；如果不存在某个k ，使得 ) 0 2 ( = ak + bk f ，则得到一个闭 区间套{[an ,bn ]}，满足 f (an ) 0 。由闭区间套定理，可知存 52
在唯一属于所有闭区间[an,b,1的点，且lima,=limb,=。再由f(x)在点的连续性，可知f(5)=limf(an)≤0与f()=limf(b,)≥0，从而得到f(5)=0，定理得证。6.证明方程x=asinx+b（a,b>0）至少有一个正根。证令f(x)=x-asinx-b，则f(x)在[0,+)上连续。取A>a+b，则f(O)0，由零点存在定理，f(x)在(0,A)上至少有一个根。7.证明方程x3+px+q=0（p>0）有且仅有一个实根。证令f(x)=x2+px+q，则f(x)在(-,+)上是严格单调增加的。由lim f(x)=-00，limf(x)=+o0，易知f(x)在(-80,+)上有且仅有一个实根。8.证明：（1）sin一在（0,1）上不一致连续，但在(a,1)(a>0)上一致连续；（2）sinx2在（-80+)上不一致连续，但在[0,A]上一致连续；（3）Vx在[0,+）上一致连续；（4）lnx在[1,+)上一致连续；(5)cos/x在[0,+)上一致连续。1证（1）在(0,1)上，令x=二，x=→0，但元1元n元+211，所以sin一在（0,1）上不一致连续。-sininxnXXn在(a,l)(a>0)上,V>0,取=a>0,Vxi,x2(a,l),x-x2<8,成立1[x - x2sinα?XIX2X2xi53
在唯一属于所有闭区间[an ,bn ]的点ξ ，且 = →∞ n n lim a = ξ →∞ n n lim b 。再由 在 点 f (x) ξ 的连续性，可知 f (ξ ) = lim ( ) ≤ 0 →∞ n n f a 与 f (ξ ) = lim ( ) ≥ 0 →∞ n n f b ，从而得到 f (ξ ) = 0，定理得证。 6. 证明方程x = asin x + b（a,b > 0）至少有一个正根。 证 令 f (x) = x − a sin x − b ，则 f (x) 在[0,+∞) 上连续。取 ，则 ， ，由零点存在定理， 在 上至少有一个根。 A > a + b f (0) 0 f (x) (0, A) 7．证明方程 x 3 + px + q = 0（ p > 0）有且仅有一个实根。 证 令 f (x) = x 3 + px + q ，则 f (x) 在(−∞,+∞) 上是严格单调增加的。由 = −∞， →−∞ lim f (x) x = +∞ →+∞ lim f (x) x ，易知 f (x)在(−∞,+∞) 上有且仅有一个 实根。 8．证明： （1）sin 1 x 在（0,1）上不一致连续，但在(a,1)(a＞0)上一致连续； （2）sin x 2 在(−∞,+∞) 上不一致连续，但在[0,A]上一致连续； （3） x 在[0,+∞) 上一致连续； （4）ln x 在[1,+∞)上一致连续； (5) cos x 在[0,+∞) 上一致连续。 证（1）在(0,1) 上，令 nπ xn ' 1 = ， 2 " 1 π π + = n xn ， xn ' − xn " → 0，但 1 1 sin 1 sin ' " − = n n x x ，所以 sin 1 x 在（0,1）上不一致连续。 在(a,1) (a＞0)上，∀ε > 0，取δ = a 2 ε > 0， , ( ,1) 1 2 ∀x x ∈ a ，x1 − x2 < δ ， 成立 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 sin 1 sin a x x x x x x − − ≤ − ≤ < ε ， 53
所以sin一在(a,1)(a>0)上一致连续。(2）在-8,+o)上，令x,=n+号，x;=/m元，则x,-x,→0，但[sin(x,) - sin(x,)-1,所以sinx2在(-0,+o)上不一致连续。在[0,A]上，V>0，取8=>0，Vx1,2[0,A]，-20,取=8>0，Vx,2[0,+0)，-28，成立x- /x2≤ /x-x[0,取8=>0,Vx,X2=[1,+0),0≤xj -x20,取8=2>0，Vx,x2[0,+0)，-x2<8，成立cos/x-cos /x2x-x2≤/x-x2<8,所以cosVx在[0,+)上一致连续。9．证明：对椭圆内的任意一点P，存在椭圆过P的一条弦，使得P是该弦的中点。证过P点作弦，设弦与x轴的夹角为θ，P点将弦分成长度为l,(①)和12(0)的两线段，则f(0)=1;(0)-l2(0)在[0,元]连续，满足f(0)=-f(元)，于54
所以 sin 1 x 在(a,1) (a＞0)上一致连续。 （2）在− ∞,+∞)上，令 2 ' π xn = nπ + ， xn = nπ " ，则 xn ' − xn " → 0，但 sin( ) sin( ) 1 2 " 2 ' xn − xn = ， 所以 sin x 2 在(−∞,+∞) 上不一致连续。 在[0, A]上，∀ε > 0，取 0 2 = > A ε δ ， , [0, ] ∀x1 x2 ∈ A ， x1 − x2 0，取δ = ε2 > 0，∀ , ∈[0,+∞) 1 2 x x ， x1 − x2 0，取δ = ε > 0，∀ , ∈[1,+∞) 1 2 x x ，0 ≤ x1 − x2 0，取δ = ε2 > 0，∀ , ∈[0,+∞) 1 2 x x ， x1 − x2 < δ ，成立 1 2 1 2 1 2 cos x − cos x ≤ x − x ≤ x − x < ε ， 所以cos x 在[0,+∞) 上一致连续。 9．证明：对椭圆内的任意一点 P，存在椭圆过 P 的一条弦，使得 P 是该弦的中点。 证 过P 点作弦，设弦与 x轴的夹角为θ ，P 点将弦分成长度为 ( ) l 1 θ 和 ( ) l2 θ 的两线段，则 ( ) ( ) ( ) f θ = l 1 θ −l2 θ 在[0,π ]连续，满足 f (0) = − f (π ) ，于 54
是必有9[0,元]，满足F(00)=0，也就是1(00)=12(00)。10.设函数f(x)在[0,2]上连续，且(0)=(2)，证明：存在x,ye[0,2]，y-x=l,使得f(x)=f(y)。证令F(x)=f(x+1)-f(x)，则F(x)在[0,1]上连续，F(1)=-F(0)，于是必有 xo [0,1]，满足F(xo)=0。令yo =xo+1,则xo,E[0,2]，o-Xo=1,使得f(xo)=f(yo)。11.若函数f(x)在有限开区间(a,b)上一致连续，则f(x)在(a,b)上有界。证由f(x)在(a,b)上一致连续，可知f(a+)，f(b-)存在且有限。令[f(x)xe(a,b)于(x)=f(a+)x=a,[f(b-) x=b则于(x)在闭区间[a,b]连续，所以于(x)在[a,b]有界，因此f(x)在(a,b)上有界。12.证明：（1）某区间上两个一致连续函数之和必定一致连续：（2）某区间上两个一致连续函数之积不一定一致连续。证（1）设函数f(x)，g(x)在区间1上一致连续，则Vs>0，38>0，Vx,x"e1，x"-x<，成立(x)-f(x")]<，g(x)-g(x")<号，于是Lf(x')+g(x)]-[f(x")+ g(x"))|<8,所以f(x)+g(x)在区间1上一致连续。(2）设f(x)=g(x)=x，区间1=[0,+)，则f(x)，g(x)在区间1上一致连续，但(x)g(x)=x2在区间1上不一致连续。13.设函数f(αx)在[a,b]上连续，且f(x)+0,xE[a,b]，证明f(x)在[a,b]上55
是必有θ 0 ∈ [0,π ]，满足 f (θ 0 ) = 0，也就是 ( ) 1 θ 0 l ( ) 2 θ 0 = l 。 10．设函数 在[0,2]上连续，且 f(0) = f(2)，证明：存在 ， ，使得 。 f x( ) x, y ∈[0,2] y − x = 1 f (x) = f ( y) 证 令F(x) = f (x +1) − f (x)，则F(x)在[0,1]上连续，F(1) = −F(0)，于是必 有 x0 ∈[0,1]，满足F(x0 ) = 0。令 y0 = x0 +1，则 , [0,2] x0 y0 ∈ ， ， 使得 。 y0 − x0 = 1 ( ) ( ) 0 0 f x = f y 11．若函数 f x( ) 在有限开区间(a,b)上一致连续，则 f x( ) 在(a,b)上有界。 证 由 f x( ) 在(a,b)上一致连续，可知 f (a+)， f (b−)存在且有限。令 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = + = ∈ = f b x b f a x a f x x a b f x ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ~ ， 则 ( ) ~ f x 在闭区间[a,b]连续，所以 ( ) ~ f x 在 有界，因此 在 上 有界。 [a,b] f x( ) (a,b) 12．证明： （1）某区间上两个一致连续函数之和必定一致连续； （2）某区间上两个一致连续函数之积不一定一致连续。 证（1）设函数 f (x)， g(x)在区间I 上一致连续，则∀ε > 0，∃δ > 0， ∀x', x"∈ I ， x'−x" < δ ，成立 2 ( ') ( ") ε f x − f x < ， 2 ( ') ( ") ε g x − g x < ，于是 [ f (x') + g(x')]−[ f (x") + g(x")] < ε ， 所以 f (x) + g(x)在区间I 上一致连续。 （2）设 f (x) = g(x) = x ，区间 I = [0,+∞)，则 f (x) ， g(x) 在区间I 上一致 连续，但 f (x)g(x) = x 2在区间I 上不一致连续。 13. 设函数 f x( ) 在[a,b]上连续，且 f (x) ≠ 0, x ∈[a,b]，证明 f x( ) 在[a,b]上 55
恒正或恒负。证设f(x)在[a,b]上不保持定号，则存在x,x"[a,b】（不妨设x0,3X>a, Vx,x">X:|f(x)-f(x")<8。由于f(x)在[a,X+1]连续，所以一致连续，也就是30<8<1, Vx,x"e[a,X+1]dx-r"|<8): f(x)-f(r")]<8。于是Vx,x"e[a,+00)(x'-x"|<8): f(x)- f(x")]<8 。56
恒正或恒负。 证 设 f x( ) 在[a,b]上不保持定号，则存在 x', x"∈[a,b]（不妨设 x' 0, ∃X > a, ∀x', x"> X : f (x') − f (x") < ε 。由于 f (x) 在[a, X +1]连续，所以一致连续，也就是 ∃0 < δ <1, ∀x', x"∈[a, X +1]( x'−x" < δ ): f (x') − f (x") < ε 。于是 ∀x', x"∈[a,+∞)( x'−x" < δ ): f (x') − f (x") < ε 。 56