微分第四章习题4.1微分和导数1.半径为1cm的铁球表面要镀一层厚度为0.01cm的铜，试用求微分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为8.9g/cm2。），每只球镀铜所需要铜的质量为解球体积V=3m= pAV ~4pm*Ar =1.12 g。2.用定义证明，函数y=/x2在它的整个定义域中，除了x=0这一点之外都是可微的。证当x=0时，Ay=r?是Ax的低阶无穷小，所以y=/x在x=0不可微。当x+0时，Ay=(x+Ax)2/=(/x+Ax+/x)(/x+x-/)/x+Ax+x2Ax +0(A),Axx+Ax)2+/x/x+Ar+/元41=3/x所以y=x2在x±0是可微的。57
第四章 微分 习 题 4.1 微分和导数 ⒈ 半径为 1cm 的铁球表面要镀一层厚度为 0.01cm 的铜，试用求微 分的方法算出每只球需要用铜多少克？（铜的密度为 8.9g/ cm3。） 解 球体积 3 3 4 V = πr ，每只球镀铜所需要铜的质量为 4 1.12 2 m = ρ∆V ≈ ρπr ∆r ≈ g。 ⒉ 用定义证明，函数 y = x 3 2 在它的整个定义域中，除了 x = 0这一 点之外都是可微的。 证 当 x = 0时， 3 2 ∆y = ∆x 是∆x 的低阶无穷小，所以 y = x 3 2 在 不可 微。当 时， x = 0 x ≠ 0 3 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 ( ) ( )( 2 ( ), ( ) 3 y x x x x x x x x x x x x 3 ) x x o x x x x x x x x ∆ = + ∆ − = + ∆ + + ∆ − + ∆ + = ∆ = + ∆ + + ∆ + ∆ + ∆ 所以 y = x 3 2 在 x ≠ 0是可微的。 57
习题4.2导数的意义和性质1.设fx)存在，求下列各式的值：f(xo -Ax)- f(xo) .(1) limArAr-0f(x)- f(xo) :(2)lim =x-Xof(x +h)- f(xo-h)(3)limhh-→0F(xo +(-r)-(x) =-f(x) 。f(xo -△r)-f(xo)解（1)limlimArr(-△x)f(x)-f(x0)= lim,(0 +(x-x0)-f(0)=f(x0) 。(2) limX-→XX-Xo1-X00X-Xof(xo +h)-f(xo -h).(3) limh=lim (o+h)- (c)- m (-h)- (a) = 2 (0) 。hh2.（1）用定义求抛物线y=2x2+3x-1的导函数；(2)求该抛物线上过点(-1,-2)处的切线方程；(3）求该抛物线上过点(-2,1)处的法线方程(4）问该抛物线上是否有（a,b)，过该点的切线与抛物线顶点与焦点的连线平行？解(1)因为岁_2(X+r)+3x+)-1-(2*+x-1)=4x+3+2△x，所以ArArAy=4x+3。f(x)= lim Ar-0△x(2)由于F(-1)=-1，切线方程为y=-1[x-(-1)+(-2)=-x-3。[x-(-2)]+1= ++7,(3)由于f(-2)=-5，法线方程为y=-5(4）抛物线顶点与焦点的连线平行于y轴，即斜率为无穷大，由(1)可58
习 题 4.2 导数的意义和性质 1． 设 f x ′( 0 )存在，求下列各式的值： ⑴ lim ( ) ( ∆ ∆ x ∆ f x x f x ) → x − − 0 0 0 ； ⑵ lim ( ) ( ) x x f x f x → x x − 0 − 0 0 ； ⑶ lim ( ) ( ) h f x h f x h → h + − − 0 0 0 。 解 (1) '( ) ( ) ( ( )) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 f x x f x x f x x f x x f x x x = − −∆ + −∆ − = − ∆ − ∆ − ∆ → ∆ → 。 ⑵ '( ) ( ( )) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f x x x f x x x f x x x f x f x x x x x = − + − − = − − → − → 。 ⑶ h f x h f x h h ( ) ( ) lim 0 0 0 + − − → 2 '( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 f x h f x h f x h f x h f x h h = − − − + − = → → 。 2． ⑴ 用定义求抛物线 y x = 2 3 + x − 2 1的导函数； ⑵ 求该抛物线上过点( , −1 −2)处的切线方程； ⑶ 求该抛物线上过点(−2 1, )处的法线方程； ⑷ 问该抛物线上是否有( , ，过该点的切线与抛物线顶点与焦 点的连线平行？ a b) 解 (1)因为 x x x x x x x x x x y = + + ∆ ∆ + ∆ + + ∆ − − + − = ∆ ∆ 4 3 2 2( ) 3( ) 1 (2 3 1) 2 2 ，所以 '( ) lim 4 3 0 = + ∆ ∆ = ∆ → x x y f x x 。 (2)由于 f '(−1) = −1，切线方程为 y x = − ⋅ 1 [ − (−1)]+ −( 2) = −x − 3。 (3)由于 f '(−2) = −5，法线方程为 1 7 [ ( 2)] 1 5 5 x y x + = − − − + = − 。 (4) 抛物线顶点与焦点的连线平行于 y 轴，即斜率为无穷大，由(1)可 58
知不存在x，使得f(x)=0，所以这样的点(a,b)不存在。3.设f(x)为(-o0,+)上的可导函数，且在x=0的某个邻域上成立f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x),其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小。求曲线y=f(x)在(1,f())处的切线方程。解记F(x)=f(1+sinx)-3f(1-sinx)，可得limF(x)=-2f(I)=0，即f(I)=0。,F()=lim 8x+a() =8 与由lim>0x==0x[f(1+sinx)-f(I) sinxF(x) [f(1-sinx)-f() sinx=lim3lim= 4f(I) lim0sin xX01sinxx得到f(1)=2。于是曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为y=2(x-1)。4．证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反射光必定经过它的另一个焦点。（见图4.2.5）证设椭圆方程为+=1.a>b>0，焦点坐标为图4.2.5(tc,0),c=Va2-b2。假设(xo,y)为椭圆上任意一点，当yo=0时结论显然成立。现设yo+0，则过此点的切线bxo(o,o)与焦点(-c,0)连线的斜率为tano,=_%斜率为tan=a'yoX.+ctane, -tang此连线与切线夹角的正切为k=利用c2=α2-b2和1 + tane, tangxyo0=1代入计算，得到a?b?59
知不存在 x ，使得 f '(x) = ∞，所以这样的点( , a b)不存在。 3．设 f (x)为(−∞,+∞) 上的可导函数，且在 x = 0的某个邻域上成立 f (1+ sin x) − 3 f (1− sin x) = 8x +α(x)， 其中α(x)是当 x → 0时比 x高阶的无穷小。求曲线 y = f (x)在 处的切线方程。 (1, f (1)) 解 记F(x) = f (1+ sin x) − 3 f (1− sin x)，可得lim ( ) 2 (1) 0 0 = − = → F x f x ，即 。 由 f (1) = 0 0 0 ( ) 8 ( ) lim lim 8 x x F x x x x x α → → + = = 与 0 0 0 ( ) (1 sin ) (1) sin (1 sin ) (1) sin lim lim 3lim 4 '(1) x x sin x sin F x f x f x f x f x f → → x x x → x x ⎡ ⎤ + − ⎡ − − = ⋅ − ⋅ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤ =⎥ ⎦ ， 得到 f '(1) = 2。于是曲线 y = f (x)在(1, f (1))处的切线方程为 y = 2(x −1)。 4． 证明：从椭圆的一个焦点发出的任一束光线，经椭圆反射后，反 射光必定经过它的另一个焦点。 （见图 4.2.5） 证 设椭圆方程为 1 0 2 2 2 2 + = a > b > b y a x ， ，焦点坐标为 2 2 (±c,0), c = a − b 。假设 为椭圆 上任意一点，当 时结论显然成立。现设 ( , ) 0 0 x y y0 = 0 y0 ≠ 0，则过此点的切线 斜率为 0 2 0 2 tan a y b x θ = − ，(x0 , y0 )与焦点(−c,0)连线的斜率为 x c y + = 0 0 1 tanθ ， 此连线与切线夹角的正切为 θ θ θ θ 1 tan tan tan tan 1 1 + − k = 。利用 c 2 = a 2 − b2 和 1 2 2 0 2 2 0 + = b y a x 代入计算，得到 59
obaxoay%+bax+cxb2ab?+cxb2b?X+cay-一1-o.bx（a-b")xoo+a'cy"xyo+ac"cx+cay(xo,Jo)与另一焦点(c.0)连线的斜率为tane,=_，此连线与切线Xo-夹角的正切为baxo-_otano-tane,-ay。x-c_cxb2-a"y-bx-cxb2-a'b?b?=k1+tantang,1-yo.bx(a-b)oyo-a'c"xoyo-a'cy"cXo-ca'yo由于两个夹角的正切相等，所以两个夹角相等，命题得证。5.证明：双曲线xy=α?上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积恒为2a2。证假设(xo,yo)为双曲线上任意一点，则xo=α2，过这一点的切线斜=-，切线方程为率为xy-o=-(x-xo),Xo易得切线与两坐标轴的交点为(0,2y。)和(2x.0)。切线与两坐标轴构成的直角三角形的面积为S=(2yo)(2x0)= 2xoyo = 2a2 。6．求函数在不可导点处的左导数和右导数。(2) y=/l-cosx ;(1) y= |sinxl;(3) y=e-l;(4) y= |In(x + 1)l.解（1）对y=f(x)=sinxl，当x=0时，60
2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 ( ) 1 y b x x c a y a y b x cx b a b cx b b k y b x a b x y a cy c x y a cy cy x c a y + + + + + = = = − + + − ⋅ + = 。 ( , ) 0 0 x y 与另一焦点(c,0)连线的斜率为 x c y − = 0 0 2 tanθ ，此连线与切线 夹角的正切为 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 tan tan 1 tan tan ( ) 1 b x y a y x c cx b a y b x cx b a b b k y b x a b x y a cy c x y a cy cy x c a y θ θ θ θ − − − − − − − = = = = + − − − ⋅ − 0 0 = − 。 由于两个夹角的正切相等，所以两个夹角相等，命题得证。 5．证明：双曲线 上任一点处的切线与两坐标轴构成的直角三 角形的面积恒为 。 xy = a2 2 2 a 证 假设 为双曲线上任意一点，则 ，过这一点的切线斜 率为 ( , ) 0 0 x y 2 x0 y0 = a 0 0 2 0 2 0 ' x y x a y x = − = − ，切线方程为 ( ) 0 0 0 0 x x x y y − y = − − ， 易得切线与两坐标轴的交点为 和 。切线与两坐标轴构成 的直角三角形的面积为 (0,2 ) 0 y (2 ,0) 0 x 2 (2 0 )(2 0 ) 2 0 0 2 2 1 S = y x = x y = a 。 6． 求函数在不可导点处的左导数和右导数。 ⑴ y = |sin x |； ⑵ y x = −1 cos ； ⑶ y x = − e | | ； ⑷ y = |ln(x + 1)|. 解 （1）对 y = f x( ) =|sin x |，当 x = 0时， 60
[sin △x |-|sin 0|sinAxf (0) =JimlimAxArAAx→0+[sin Ax|-|sinO]-sin Axf (0)=limlim=-1,ArArAr→0-所以x=0是不可导点。又由于函数v是周期为元的函数，所有不可导点为x=k元 (keZ)，且f(k元)=-1， f(k)=1。2sin2xV2sin由（1）可知不可导点(2) y= f(x)=/1-cosx :22V22为x=2k元（kez)，且经计算得到f(2k元）：f(2k元)22（3）y=f(x)=e叫不可导点只有x=0，且42f(0) = lim1.f_ (0) = limAxAxr（4）=f(x)=n(x+1)不可导点只有x=0，且In(△x + 1) [In(Ax + 1)/- In 1limf. (0)= lim-ArAr[In(Ax +1)|- In1 In(Ax + 1)f.(0) = limlimAxAx4r-→0-7.讨论下列函数在x=0处的可导性：x2,x>0,[1x+a sin,(a>0)×±0,(1) y=(2) yx=0,ax + b,x≤0,[0,esxer,x>0,x+0,(3) y=(4) yax?,x≤0,0,x= 0.1IAx Ja sin -Ayx-解(1)lim[1Ax 1° sgn(Ax)sin -=0，所以函数=limlimArAr→0AxAr→0x在x=0可导。(2）如果函数在x=0可导，则必须在x=0连续，由f(0+)=f(0)=bAx?-0aar-0福可得b=0。当b=0时，fi(0)=lim=0, f'(0)= limAxAx→0+AxAx-→>0-61
1 sin lim |sin | | sin 0 | (0) lim 0 0 ' = ∆ ∆ = ∆ ∆ − = ∆ → + ∆ → + + x x x x f x x ， ' 0 0 |sin | |sin 0 | sin (0) lim lim 1 x x x x f x x − ∆ → − ∆ → − ∆ − − ∆ = = = − ∆ ∆ ， 所以 x = 0是不可导点。又由于函数y是周期为π 的函数，所有不可导 点为 x = kπ (k ∈ Z)，且 ′( ) = −1 f− kπ ， ′( ) =1 f+ kπ 。 （2）y = f x( ) = −1 cos x 2 2sin 2 sin 2 2 x x = = ，由（1）可知不可导点 为 x = 2kπ (k ∈ Z) ，且经计算得到 2 (2 ) 2 f k − ′ π = − ， 2 (2 ) 2 f k + ′ π = 。 （3） y f = ( ) x = e−|x| 不可导点只有 x = 0，且 1 1 (0) lim 0 ' = − ∆ − = −∆ ∆ → + + x e f x x ， 1 1 (0) lim 0 ' = ∆ − = ∆ ∆ → − − x e f x x 。 （4） y f = = ( ) x ln(x +1) 不可导点只有 x = 0，且 ' 0 0 | ln( 1) | ln1 ln( 1) (0) lim lim 1 x x x x f x x + ∆ → + ∆ → + ∆ + − ∆ + = = = ∆ ∆ ， ' 0 0 | ln( 1) | ln1 ln( 1) (0) lim lim 1 x x x x f x x − ∆ → − ∆ → − ∆ + − − ∆ + = = = − ∆ ∆ 。 7．讨论下列函数在 x = 0处的可导性： ⑴ ⎩ ⎨ ⎧ = > ≠ = + 0, 0; | | sin ,( 0) 0, 1 1 x x a x y x a ⑵ y x x ax b x = > + ≤ ⎧ ⎨ ⎩ 2 0 0 , , , ; ⑶ y x x ax x x = > ≤ ⎧ ⎨ ⎩ e , , , ; 0 0 2 ⑷ y x x a x = ≠ = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ e , , . 2 0 0 0 , 解 （1） 1 0 0 0 1 | | sin 1 lim lim lim | | sgn( )sin 0 a a x x x x y x x x x x x + ∆ → ∆ → ∆ → ∆ ∆ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ∆ ∆ ∆ ∆ ⎝ ⎠ = ，所以函数 在 x = 0可导。 （2）如果函数在 x = 0可导，则必须在 x = 0连续，由 可得 。当 时， f (0+) = f (0) = b b = 0 b = 0 0 0 (0) lim 2 0 ' = ∆ ∆ − = ∆ → + + x x f x ， a x a x f x = ∆ ∆ − = ∆ → − − 0 (0) lim 0 ' ， 61
故当a=b=0时函数在x=0可导，其他情况下函数在x=0不可导。(3) 由于 F(0)= me-=1, (0)= lmr-=0 (0),x-0+AxAx故函数在x=0不可导。（4）当a≥0时函数在x=0不连续，所以不可导；当a0，则在x=0的小邻域中有f(x)>0，故If(x)=f(x)，所以If(x)/在x=0处也可导。当f(O)=0时，由于L(x) /-1/(0)1_f(x)-f(O)sgnx,x-0x-0分别在x=0处计算左、右极限，得到If(x)在x=0处的左导数为-1F(0)1，右导数为1F(0)1，所以1f(x)在x=0处也可导的充分必要条件是(0)=0。9. 设f(x)在[a,b)上连续，f(a)=f(b)=0，且f'(a)·f(b)>0，证明f(x)在(α,b)至少存在一个零点。证由题设知f"(a)和f"(b)同号，不妨设两者都为正数。由于(a)=lm()=(=Im>0, 可知存在x(a0。x-a2+x-(同理由于(b)=()-)=>0，可知存在(<<b),x-br→b-x-bf(x2)<0。由连续函数的零点存在定理，函数f(x)在x,x2之间有零点。10.设f(x)在有限区间(a,b)内可导，62
故当a = b = 0时函数在 x = 0可导，其他情况下函数在 x = 0不可导。 （3）由于 1 0 (0) lim 0 ' = ∆ ∆ − = ∆ ∆ → + + x xe f x x ， 0 (0) 0 (0) lim ' 2 0 ' + ∆ → − − = ≠ ∆ ∆ − = f x a x f x ， 故函数在 x = 0不可导。 （4）当a ≥ 0时函数在 x = 0不连续，所以不可导；当a 0，则在 x = 0的小邻域中有 ， 故 ，所以| ( 在 f (x) > 0 | f (x)|= f (x) f x)| x = 0处也可导。 当 f (0) = 0时，由于 | ( ) | | (0) | ( ) (0) sgn 0 0 f x f f x f x x x − − = − − ， 分别在 x = 0 处计算左、右极限，得到 | ( f x)| 在 x = 0 处的左导数为 − | ' f (0) |，右导数为| ' f (0) |，所以| ( f x)|在 x = 0处也可导的充分必要条 件是 f '(0) = 0。 9．设 f (x)在[ , a b]上连续， f a( ) = f b( ) = 0，且 ′( )⋅ ′( ) > 0 + − f a f b ，证明 在( , 至少存在一个零点。 f x( ) a b) 证 由题设知 f (a) + ′ 和 f− ′(b)同号，不妨设两者都为正数。由于 ' ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim 0 x a x a f x f a f x f a x a x a + → + → + − = = > − − ，可知存在 1 1 x ( ) a x ' ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim 0 x b x b f x f b f x f b x b x b − → − → − − = = − − > ，可知存在 2 1 2 x ( ) x x < < b ， f (x2 ) < 0。由连续函数的零点存在定理，函数 f x( )在 x1, x2之间有零点。 10．设 f (x)在有限区间( , a b)内可导， 62
(1）若limJ(x)=80，那么能否断定也有limf(x)=00？(2）若lim(x)=00，那么能否断定也有limf(x)=00？1解（1）不一定。反例：f(x)=+cos-a=0,limf(x)=+00Axlimf(x)=不成立。f(x)=,(-1+ sin-),xxY1(2）不一定。反例：f(x)=/x，a=0，limf(αx)=lim+，而0+2Vxlim f(x)=0±00 。11.设函数f(x)满足f(O)=0。证明f(x)在x=0处可导的充分必要条件是：存在在x=0处连续的函数g(x)，使得f(x)=xg(x)，且此时成立f(0)=g(0)。证 充分性。由 ()=xg(t)可知m()-~()=lmg(1)=g(0),故 (1)在-→0xx=0处可导，且成立f(0)=g(0)。[f(α), x*0必要性。令g(x)=则 f(x)=xg(x)，且xF(0), x=0lg() -lim()-~() = (0)=g(), 即 g()在x=0 处连续。x63
⑴ 若 lim ( ) ，那么能否断定也有 x a f x → + = ∞ lim ( ) x a f x → + ′ = ∞ ？ ⑵ 若 lim ( ) x a f x → + ′ = ∞ ，那么能否断定也有 lim ( ) x a f x → + = ∞？ 解（1）不一定。反例： x x f x 1 cos 1 ( ) = + ，a = 0，x li → + m 0 f x( ) = +∞ ， ) 1 ( 1 sin 1 '( ) 2 x x f x = − + ， = ∞ → + lim '( ) 0 f x x 不成立。 （2）不一定。反例： f (x) = x ，a = 0， 0 0 1 lim ( ) lim 2 x x f x → + → + x ′ = = +∞ ，而 0 lim ( ) 0 x f x → + = ≠ ∞ 。 11．设函数 f (x)满足 f (0) = 0。证明 f (x)在 x = 0处可导的充分必要条件 是：存在在 x = 0处连续的函数 g(x) ，使得 f (x) = xg(x)，且此时成 立 f ′(0) = g(0)。 证 充分性。由 f (x) = xg(x)可知 0 0 ( ) (0) lim lim ( ) (0) x x f x f g x g → → x − = = ，故 f (x)在 x = 0处可导，且成立 f ′(0) = g(0)。 必要性。令 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = '(0), 0 , 0 ( ) ( ) f x x x f x g x ，则 f (x) = xg(x)，且 0 0 ( ) (0) lim ( ) lim '(0) (0) x x f x f g x f g → → x − = = = ，即 g(x)在 x = 0处连续。 63