课程名称：《电动力学》第周，第7讲次摘要第二章静电场授课题目（章、节）1静电场的标势及其微分方程本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，理解并掌握静电场的标势及其微分方程【重点】静电场的标势及其微分方程【难点】静电场的标势及其微分方程内容【本讲课程的引入】本章内容：电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。本章研究的主要问题：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。【本讲课程的内容】第二章静电场本章主要讲静电场标势微分方程：唯一性定理：分离变量法；镜像法等内容。重点掌握静电场的性质、规律和研究方法；理解并熟记电势的基本方程、边值关系和静电场的能量公式。在消化、理解内容和例题的基础上，自己能处理静电场的有关问题。第一节静电场的标势及其微分方程1静电场的标势在静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为VxE=0V.D=p这两方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。无旋性的积分形式是电场沿任一闭合回路的环量等于零，即JE.dl=0设Ci和C2为Pi和P2点的两条不同路径。C与C2合成闭合回路，因此E-dl-[F-dl=0电荷由Pi点移至P2点时电场对它所作的功与路径无关，只和两端点有关。E-di-E-d把单位正电荷由Pi点移至P2点，电场E对它所作的功为E.diP这功定义为P点和P2点的电势差。若电场对电荷做了正功，则电势β下降。由此PE·diP(P)-P(P)=
课程名称：《电动力学》 第 周，第 7 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 第二章 静电场 1 静电场的标势及其微分方程 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】通过本讲课程的学习，理解并掌握静电场的标势及其微分方程 【重 点】静电场的标势及其微分方程 【难 点】静电场的标势及其微分方程 内 容 【本讲课程的引入】本章内容：电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应 的电场不随时间而变化的情况。 本章研究的主要问题：在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求 解静电场。 【本讲课程的内容】 第二章 静电场 本章主要讲静电场标势微分方程；唯一性定理；分离变量法；镜像法等内容。重点掌握静 电场的性质、规律和研究方法；理解并熟记电势的基本方程、边值关系和静电场的能量公 式。在消化、理解内容和例题的基础上，自己能处理静电场的有关问题。 第一节 静电场的标势及其微分方程 1 静电场的标势 在静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分为 这两方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。 静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电场， 和力学中用势函数描述保守力场的方法一样。 无旋性的积分形式是电场沿任一闭合回路的环量等于零，即 设 C1 和 C2 为 P1 和 P2 点的两条不同路径。C1 与 C2 合成闭合回路，因此 电荷由 P1 点移至 P2 点时电场对它所作的功与路径无关，只和两端点有关。 把单位正电荷由 P1 点移至 P2 点，电场 E 对它所作的功为 这功定义为 P1 点和 P2 点的电势差。若电场对电荷做了正功，则电势 下降。由此
由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。相距为d/的两点的电势差dp=-E-di由于ed+0dy+dz=Vpdida因此，电场强度E等于电势的负梯度E=-V0只有势的差值才有意义，在实际计算中，参考点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域的情况下，常常选无穷远点作为参考点。令p(o)=0有E.di(P)=当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已知电势时，通过求梯度就可以求得电场强度。a已知点电荷Q激发的电场强度0E=4元0斤其中r为源点到场点的距离。把此式沿径向场点到无穷远点积分，电势为00P(P)=-drJ.4元804元起b.一组点电荷Q激发的电势(P)=_2i14元80元c.若电荷连续分布，电荷密度为p，设r为源点x到场点x的距离，则场点x处的电势为p(xdyP()=4元2静电势的微分方程和边值关系D=&E，代入V.D=P，得到均匀各向同性线性介质V'p=-P8其中p为自由电荷密度。上式是静电势满足的基本微分方程，称为泊松方程。泊松方程是静电势满足的基本微分方程。给出边界条件就可以确定电势β的解。在两介质界面上，电势必须满足边值关系。电场的边值关系：e, × (E, -E) = 0,en (D, - D2) = 0
由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。 相距为 dl 的两点的电势差 由于 因此，电场强度 E 等于电势 的负梯度 只有势的差值才有意义，在实际计算中，参考点的选择是任意的，在电荷分布于有限区域 的情况下，常常选无穷远点作为参考点。令 ()=0 有 当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，已知电势 时，通过求梯度就可以求得电场 强度。 a.已知点电荷 Q 激发的电场强度 其中 r 为源点到场点的距离。 把此式沿径向场点到无穷远点积分，电势为 b.一组点电荷 Qi 激发的电势 c.若电荷连续分布，电荷密度为 ρ，设 r 为源点 x'到场点 x 的距离，则场点 x 处的电势为 2 静电势的微分方程和边值关系 均匀各向同性线性介质 , 代入 ，得到 其中 ρ 为自由电荷密度。上式是静电势满足的基本微分方程，称为泊松方程。泊松方程是 静电势满足的基本微分方程。给出边界条件就可以确定电势 φ 的解。 在两介质界面上，电势必须满足边值关系。电场的边值关系：
电荷沿法线方向移动，切线分量不做功，沿法线方向做功为零（因电场有限，且间距趋于零)-=EPP,=01=P2法向电场不连续00-5,0 =-0:on-ion导体的特殊性（导体的静电条件）：a导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；b.导体内部电场为零：c.导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。设导体表面所带电荷面密度为6，设它外面的介质电容率为，导体表面的边界条件为a0=-0P=CEon静电学的基本问题是求出在每个均匀区域内满足泊松方程，在所有分界面上满足边值关系和在所研究的整个区域边界上满足边界条件的电势的解。3静电场能量在线性介质中静电场的总能量E·DdyW2J8由E=-V?和V·D=P得：E.D=-Vβ-D=-V.(pD)+@V.D=-V-(qD)+pPW-J p-v(D式中右边第二项散度体积分化为面积分JV-(pD)dV=foD.ds-0所以podiW例1求均匀电场E，的电势。解：均匀电场每一点强度E。相同，其电场线为平行直线。选空间任一点为原点，并设该点上的电势为βo，那么任一点P处的电势为
电荷沿法线方向移动, 切线分量不做功，沿法线方向做功为零（因电场有限，且间距趋于 零） 法向电场不连续 导体的特殊性（导体的静电条件）： a.导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上； b.导体内部电场为零； c.导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。 设导体表面所带电荷面密度为 σ，设它外面的介质电容率为 ε，导体表面的边界条件为 , 静电学的基本问题是求出在每个均匀区域内满足泊松方程，在所有分界面上满足边值关系 和在所研究的整个区域边界上满足边界条件的电势的解。 3 静电场能量 在线性介质中静电场的总能量 由 和 得： 式中右边第二项散度体积分化为面积分 所以 例 1 求均匀电场 E0 的电势。 解：均匀电场每一点强度 E0 相同，其电场线为平行直线。选空间任一点为原点，并设该 点上的电势为 0，那么任一点 P 处的电势为
p(P)=P-'E,-di=-E..d=0-Ex其中x为P点的位矢。注意均匀电场可以看作由无穷大平行板电容器产生，其电荷分布不在有限区域内，因此不能选()=0.若选(o=0，则有P=-E..x例2均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为t，求电势。解：如图，设场点P到导线的垂直距离为R，电荷元tdz，选取柱坐标系，到P点的距离为VE'+R?为常数平面为常数柱面中为常数平面tdz(P)-"4元8V2+R9(P)=In(+V2 +R)4元8(1+x)"-1 与 nx积分结果无穷大，无穷大的出现和电荷不是有限区域内的分布有关。计算两点P和Po的电势差可以不出现无穷大。设Po点与导线的垂直距离为Ro，则P点和无穷小等价Po点的电势差为二mE+E+Rp(P)-P(P)=limM-4元起Z+V+R,1+/1+R/M-1+/1+R/MTlimIn14元60-1+/1+R/M?1+1+R。/M2RTIRT.-In-n4元R2元起"R。若选Po点为参考点，规定9(R)=0，则TnRP(R)=2元R取β的梯度得：tER=aR2元RE。=E,=0
其中 x 为 P 点的位矢。注意均匀电场可以看作由无穷大平行板电容器产生，其电荷分布不 在有限区域内，因此不能选 ()=0. 若选 0=0，则有 例 2 均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为 ，求电势。 解：如图，设场点 P 到导线的垂直距离为 R，电荷元 dz, 选取柱坐标系，到 P 点的距离为 积分结果无穷大，无穷大的出现和电荷不是有限区域内的分布有关。 计算两点 P 和 P0 的电势差可以不出现无穷大。设 P0 点与导线的垂直距离为 R0，则 P 点和 P0 点的电势差为 若选 P0 点为参考点，规定 ，则 取 的梯度得： (1+x) n -1 与 nx 无穷小等价
例3求带电量Q、半径为α的导体球的静电场总能量。解：（方法一）按电荷分布29整个导体为等势体，导体球的电荷分布于球面上QPa=4元2g因此静电场总能量为Q?W:8元.（方法之二）：按电场分布15-DdV2Ja因为球内电场为零，故只须对球外积分8Qm1QW-rdrd218元gar2（4元6）8元60起例4已知真空中某静电场的电势β=2x2y-5z，求P（-4,3,6）处的电势@和电场强度Ep。解：将场点坐标值代入Pp = 2×(-4)2×3-5×6 = 66V电场强度E=-V=-(e%+e%+ez2o= -4xyex - 2xéy + 5e,将场点坐标值代入Ep = (-4) × (-4) × 3ex - 2 × (-4)ey + 5e=(48ex-32ey+5e,)V/m【本讲课程的小结】今天我们主要讲了静电场的标势及其微分方程。【本讲课程的作业】思考题与习题1（第二章）
例 3 求带电量 Q、半径为 a 的导体球的静电场总能量。 解：（方法一）按电荷分布 整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球面上 因此静电场总能量为 （方法之二）: 按电场分布 因为球内电场为零，故只须对球外积分 例 4 已知真空中某静电场的电势 2x y 5z 2 = − ，求 P（-4, 3, 6）处的电势 P 和电场强 度 E P 。 解：将场点坐标值代入 P 2 ( 4) 3 5 6 66V 2 = − − = 电场强度 E = − ( ) z e y e x ex y z + + = − z 4xyex 2x ey 5e 2 = − − + 将场点坐标值代入 z E P ( 4) ( 4) 3ex 2 ( 4)ey 5e 2 = − − − − + = (48ex − 32ey + 5ez)V / m 【本讲课程的小结】今天我们主要讲了静电场的标势及其微分方程。 【本讲课程的作业】思考题与习题 1（第二章）
课程名称：《电动力学》第周，第8讲次摘要第二章静电场授课题目（章、节）2 唯一性定理3拉普拉斯方程分离变量法本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，掌握静电场的唯一性定理，理解并掌握用分离变量法求解静电场。【重点】静电场的唯一性定理，分离变量法求解静电场【难点】分离变量法求解静电场内容【本讲课程的引入】静电场的基本问题是求出在所有边界上满足边值关系或给定边界条件的泊松方程的解。本节我们把这问题确切地表述出来，即需要给出哪些条件，静电场的解才能唯一地被确定。【本讲课程的内容】第2节唯一性定理静电场的唯一性定理对于解决实际问题有着重要的意义。1静电问题的唯一性定理区域V可以分为若干个均匀区域Vi，每一均匀区域的电容率为。设V内有给定的电荷分布p(x)。电势在均匀区域V;内满足泊松方程V0=-p/8在两区域V.和V的分界面上满足边值关系aoP=Pj,On除此之外，要完全确定V内的电场，还必须给出V的外边界S上的一些条件。唯一性定理：设区域V内自由电荷分布为p(x)，在V的外边界S上给定：（i）电势@或者（ii）电势的法向倒数(Oo/an)/s，则V内的电场唯一地确定。也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界S上满足给定的或ap/an值。证明：设有两组不同的解和β"满足唯一性定理的条件，令='-"，由于"=-p/8,V""=-/8得Vβ=0在两均匀区界面上有P,=P,,00O
课程名称：《电动力学》 第 周，第 8 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 第二章 静电场 2 唯一性定理 3 拉普拉斯方程 分离变量法 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】通过本讲课程的学习，掌握静电场的唯一性定理，理解并掌握用分离变量法求解静电场。 【重 点】静电场的唯一性定理，分离变量法求解静电场 【难 点】分离变量法求解静电场 内 容 【本讲课程的引入】静电场的基本问题是求出在所有边界上满足边值关系或给定边界条件 的泊松方程的解。本节我们把这问题确切地表述出来，即需要给出哪些条件，静电场的解 才能唯一地被确定。 【本讲课程的内容】 第 2 节 唯一性定理 静电场的唯一性定理对于解决实际问题有着重要的意义。 1 静电问题的唯一性定理 区域 V 可以分为若干个均匀区域 Vi，每一均匀区域的电容率为 i 。设 V 内有给定的电荷 分布 (x) 。电势 φ 在均匀区域 Vi 内满足泊松方程 在两区域 Vi 和 Vj 的分界面上满足边值关系 除此之外，要完全确定 V 内的电场，还必须给出 V 的外边界 S 上的一些条件。 唯一性定理：设区域 V 内自由电荷分布为 (x) ，在 V 的外边界 S 上给定： （i）电势 s 或者（ii）电势的法向倒数(/n)s，则 V 内的电场唯一地确定。 也就是说，在 V 内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界 面上满足边值关系，并在 V 的边界 S 上满足给定的 或 /n 值。 证明：设有两组不同的解 ’和 ’’满足唯一性定理的条件， 令 ， 由于 得 在两均匀区界面上有
在整个区域V的边界S上有=或"=0ansansans考虑第i个均匀区V：的界面S上的积分f.,c0Vo.ds=J. v(covo)v=J, e(Vo)ay+J., oe,Va=J,e(v)av对所有分区Vi求和Zi, e,pVo-ds=J.e(vo)av在均匀区界面=0P，=9ds, =-ds（内部边界积分相互抵消）0=0=0外边界9或ons而右边被积函数si(Vp)≥0。上式成立的条件是在V内各点上都有Vβ=0，即在V内，()=0P=C这说明β和"至多只能相差一个常量。但电势的附加常量对电场没有影响，这就证明了唯一性定理。2有导体存在时的唯一性定理当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所需要条件有两种类型：一类是给定每个导体上的电势Pi；另一类是给定每个导体上的总电荷Qi。如图设在某区域V内有一些导体，除去导体内部以后的区域为V。设V"内有给定电荷分布p，S上给定了pls或(Op/an)/s值。第一类型：当每个导体上的电势:给定时，即给出了V"所有边界上的或(oop/an)值，因而由上一小节证明了的唯一性定理可知，V内的电场被唯一确定。第二类型：设区域V内有一些导体，给定导体之外的电荷分布p，给定各导体上的总电荷O以及V的边界S上的β或ap/an值，则V内的电场唯一地确定
在整个区域 V 的边界 S 上有 或 考虑第 i 个均匀区 Vi 的界面 Si 上的积分 对所有分区 Vi 求和 在均匀区界面 (内部边界积分相互抵消) 外边界 或 而右边被积函数 i() 2 0。上式成立的条件是在 V 内各点上都有 =0 ，即在 V 内， 这说明 ’和 ”至多只能相差一个常量。但电势的附加常量对电场没有影响，这就证明了 唯一性定理。 2 有导体存在时的唯一性定理 当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所需要条件有两种类型： 一类是给定每个导体上的电势 φi；另一类是给定每个导体上的总电荷 Qi。 如图设在某区域 V 内有一些导体，除去导体内部以后的区域为 V’。设 V’内有给定电荷分 布 ρ，S 上给定了 |s 或(/n)|s 值。 第一类型：当每个导体上的电势 φi 给定时，即给出了 V’所有边界上的 或(/n)值，因 而由上一小节证明了的唯一性定理可知， V’内的电场被唯一确定。 第二类型：设区域 V 内有一些导体，给定导体之外的电荷分布 ，给定各导体上的总电 荷 Qi 以及 V 的边界 S 上的 或/n 值，则 V 内的电场唯一地确定
也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程：=-/在第i个导体上满足总电荷条件：f.0as -2Js,On和等势面条件=0,=CPS,以及在V的边界S上具有给定的pls或(oalan)s值。（证明略）例两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为61，右半部电容率为62，设内球壳带总电荷Q，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷分布。解：设两介质内的电势、电场强度和电位移分别为P,E1,D,P2,E2,D由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解。在找尝试解时，我们先考虑两介质分界面上的边值关系D2n = Din = 0E=E如果我们假设E仍保持球对称性，即AE=4(Left)Tr3AE,=(Right)T此时边值关系得到满足。导体球面上的积分fD.ds-J,s,E,.ds+J.e,E,ds=Q将电场值代入得2元(6,+6,)A=0解出0A2元(6, +62)则Qr(Left)312元(6) +6,)r3Qr(Right)2元(6,+8,)r
也就是说，存在唯一的解，它在导体以外满足泊松方程： 在第 i 个导体上满足总电荷条件： 和等势面条件 以及在 V 的边界 S 上具有给定的 |s 或(/n)|s 值。（证明略） 例 两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为 1，右半部电容率为 2，设内球 壳带总电荷 Q，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷分布。 解：设两介质内的电势、电场强度和电位移分别为 由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解。在找尝试解 时，我们先考虑两介质分界面上的边值关系 如果我们假设 E 仍保持球对称性，即 此时边值关系得到满足。 导体球面上的积分 将电场值代入得 解出 则
注意导体两半球上的面电荷分布是不同的，但E却保持球对称性。此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解。虽然E仍保持球对称性，但是D和导体面上的电荷面密度6不具有球对称性。设内导体半径为α，则球面上的电荷面密度为s0(Left)0,=D,=&Er2元(6+8,)a600,=D,=8,E,=(Right)2元(61+6,)a2第3节拉普拉斯方程分离变量法静电场的基本问题：电场由电势描述电势满足泊松方程+边界条件。静电场的具体工作：解泊松方程。只有在界面形状是比较简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视具体情况不同而有不同解法。本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的．例如：电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的；电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布.选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密度p=0，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程V'0=0它的通解可以用分离变量法求出。a现根据界面形状选择适当的坐标系b.在该坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程。最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标。拉氏方程在球坐标中的通解为：p(R,0,g)-ammR"+P"(coso)cosmdRA+172(r +n rcomnm71.mP"(cos)为缔合勒让德函数，aam，bum,Cam，dam为任意常数，由边界定。若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为=2(a.R"+)"+ R p.(coso)例1一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷Q，同心地包围一个半径为Ri的导体球（R1<R2），使这个导体球接地。求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。解：这问题有球对称性，电势β不依赖于角度和Φ。设导体壳外和壳内的电势分别为
注意导体两半球上的面电荷分布是不同的，但 E 却保持球对称性。 此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解。 虽然 E 仍保持球对称性，但是 D 和导体面上的电荷面密度 σ 不具有球对称性。 设内导体半径为 a，则球面上的电荷面密度为 第 3 节 拉普拉斯方程 分离变量法 静电场的基本问题：电场由电势描述电势满足泊松方程+边界条件。 静电场的具体工作：解泊松方程。 只有在界面形状是比较简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视具 体情况不同而有不同解法。 本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的．例如：电容器内部的电场是由作为电极 的两个导体板上所带电荷决定的；电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上 的自由电荷决定的 这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布． 选择导体表面作为区域 V 的边界，V 内部自由电荷密度 ＝0，泊松方程化为比较简单的拉 普拉斯方程 它的通解可以用分离变量法求出。 a. 现根据界面形状选择适当的坐标系 b. 在该坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程。 最常用的坐标系有球坐标系和柱坐标。 拉氏方程在球坐标中的通解为： 为缔合勒让德函数，anm, bnm, cnm, dnm为任意常数，由边界定。 若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为 例 1 一个内径和外径分别为 R2 和 R3 的导体球壳，带电荷 Q，同心地包围一个半径为 R1 的导体球（R1 <R2），使这个导体球接地。求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。 解：这问题有球对称性，电势 φ 不依赖于角度 θ 和 Φ。设导体壳外和壳内的电势分别为
SR>R3P=a+RdR,>R>R,P,=C+R"边界条件为：（1）内导体接地d-0c+P2R=RY=0R.a=0Pi|R→0推出：（2）整个导体球壳为等势体dbc+=0P2R=R2R,R,KPiR=R推出：（3）球壳带总电荷Q，4ogQrpQPR'dQ+R'dQb-d=R=R, ORR=R,OR604元60推出：由这些边界条件得QQ1,d=2a=0,b=C:4元起4元6R4元起4元起R1901=其中R"-R"+R利用这些值得电势的解：Q+Q(R>R,)P4元R(1_1(R, >R>R)P24元起（RR)导体球上的感应电荷为0PR'd2=Q1T-609R=R OR【本讲课程的小结】今天我们主要讲了静电场的唯一性定理，并用分离变量法求解静电场问题。【本讲课程的作业】思考题与习题2（第二章）
边界条件为： （1）内导体接地 推出： ， （2）整个导体球壳为等势体 推出： （3）球壳带总电荷 Q， 推出： 由这些边界条件得 其中 利用这些值得电势的解： 导体球上的感应电荷为 【本讲课程的小结】今天我们主要讲了静电场的唯一性定理，并用分离变量法求解静电场 问题。 【本讲课程的作业】思考题与习题 2（第二章）