《电动力学》课程授课教案（讲稿）数学基础知识准备、第一章 电磁现象的普遍规律

课程名称：《电动力学》第周，第1讲次摘要授课题目（章、节）电动力学数学基础知识准备1本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，理解场的概念，掌握矢量的表示方法，点积、叉积以及混合积的运算规则，标量的梯度、矢量的散度和旋度的概念及意义。【重点】标量的梯度、矢量的散度和旋度【难点】标量的梯度、矢量的散度和旋度容内【本讲课程的引入】古语说：“工欲善其事必先利其器”，场论是电磁场分析必不可少、而且是强有力的基础工具，因此电动力学的前两讲课将简要回顾、归纳电磁场学习所需要的失量场和标量场分析的方法、定律、定理，为后续电磁规律的学习奠定必要的数学基础。【本讲课程的内容】1电磁场与失量代数“场”是一种世界观，用场的方式来研究自然界和社会现象已成为人类研究自然与社会的重要方法。例如：力场、温度场、速度场、电场、磁场一个确定区域中场的定义：系统中某物理量在该区域的一种分布。矢量场：如果被描述的物理量是矢量，则定义为失量场。（电场强度）标量场：如果被描述的物理量是标量，则定义为标量场。（电位的分布）场不仅具有空间属性，还具有时间属性。静态场：一个物理系统的状态只按照空间分布，不随时间变化，这样的场为静态场。动态场：一个物理系统的状态不仅按照空间分布，还随时间变化，这样的场为动态场或（时变场）。标量场可用标量函数来描述，矢量场则用矢量函数来描述。2矢量2.1矢量的表示方法矢量的表示方法可以采用黑斜体字母表示，或用不加粗的斜体字母表示标量或失量的模值。如任一矢量A（A）可以用其大小和方向表示为.4A=Aea,e=AeA为A矢量的单位长度方向，成为单位失量。直角坐标系中，A=Ae,+Ae,+Ae.，则有

课程名称：《电动力学》 第 周，第 1 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 电动力学数学基础知识准备 1 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】通过本讲课程的学习，理解场的概念，掌握矢量的表示方法，点积、叉积以及混合积的运算 规则，标量的梯度、矢量的散度和旋度的概念及意义。 【重 点】标量的梯度、矢量的散度和旋度 【难 点】标量的梯度、矢量的散度和旋度 内 容 【本讲课程的引入】 古语说：“工欲善其事必先利其器”，场论是电磁场分析必不可少、而且是强有力的基础工 具，因此电动力学的前两讲课将简要回顾、归纳电磁场学习所需要的矢量场和标量场分析 的方法、定律、定理，为后续电磁规律的学习奠定必要的数学基础。 【本讲课程的内容】 1 电磁场与矢量代数 “场”是一种世界观，用场的方式来研究自然界和社会现象已成为人类研究自然与社会的重 要方法。 例如：力场、温度场、速度场、电场、磁场 一个确定区域中场的定义：系统中某物理量在该区域的一种分布。 矢量场：如果被描述的物理量是矢量，则定义为矢量场。（电场强度） 标量场：如果被描述的物理量是标量，则定义为标量场。（电位的分布） 场不仅具有空间属性，还具有时间属性。 静态场：一个物理系统的状态只按照空间分布，不随时间变化，这样的场为静态场。 动态场：一个物理系统的状态不仅按照空间分布，还随时间变化，这样的场为动态场或（时 变场）。 标量场可用标量函数来描述，矢量场则用矢量函数来描述。 2 矢量 2.1 矢量的表示方法 矢量的表示方法可以采用黑斜体字母表示，或用不加粗的斜体字母表示标量或矢量的模 值。如任一矢量 A （ A ）可以用其大小和方向表示为 A A = Ae ， A A eA = A e 为 A 矢量的单位长度方向，成为单位矢量。 直角坐标系中， x x y y z z A = A e + A e + A e ，则有

e,-4e+4e+AeA=JA+A+A,A+A+A2.2矢量的加减法矢量相加要遵循平行四边形法则A+B=(A +B)e +(A, +B,)e, +(A. +B.)eA-B=A+(-B)αA=αAe, +αA,e, +αA.e.2.3矢量积（1）标量积（点积或内积）A.B= ABcos0(标量)两个相互垂直的矢量点积一定等于0.ex'e, =e,e. =0,er e, =e,-e, =e.-e. -1A.B-B.A=ABe+ABe,+ABeA.(B+C)=A.B+A.C（2）矢量积（叉积）AxB=ABsinQec，ec=exxeg（矢量）两个矢量积的大小为AB与夹角θ正弦值的乘积，ec方向按照右手螺旋法则。两个互相平行的矢量其叉积一定等于0e,xe =e,xe, =e,xe =0er xe,=e.e, xe.=exe.xe,=e,ee,eAxB=4A, A.BB,B.=(A,B, -A,B,)e, +(A,B - A,B.)e, +(A,B, - A,B,)eAxB=-BxA,Ax(B+C)=AxB+AxC（3）混合积C.(AxB)其中A×B数值等于平行四边形的面积，则C-A×B）数值对应平

2 2 2 A = Ax + Ay + Az ， 2 2 2 x y z x x y y z z A A A A A e A e A e e + + + + = 2.2 矢量的加减法 矢量相加要遵循平行四边形法则 x x x y y y z z z A+ B = (A + B )e + (A + B )e + (A + B )e A − B = A + (−B) x x y y z z  A =A e +A e +A e 2.3 矢量积 （1）标量积（点积或内积） A B = ABcos （标量） 两个相互垂直的矢量点积一定等于 0. ex  ey = ey  ez = 0 ， ex  ex = ey  ey = ez  ez =1 A B = B  A = x x x y y y z z z A B e + A B e + A B e A(B + C) = A B + AC （2）矢量积（叉积） C A B = ABsine ， C A B e = e e （矢量） 两个矢量积的大小为 AB 与夹角  正弦值的乘积， C e 方向按照右手螺旋法则。 两个互相平行的矢量其叉积一定等于 0. ex ex = ey ey = ez ez = 0 x y z e e = e y z x e e = e z x y e e = e x y z x y z x y z B B B A A A e e e A B = = y z z y x z x x z y x y y x z (A B − A B )e + (A B − A B )e + (A B − A B )e A B = −B A， A (B + C) = A B + AC （3）混合积 C (A B)， 其中 A B 数值等于平行四边形的面积，则 C (A B) 数值对应平

行六面体的体积，.(A×B)表示一个标量。C.(A×B)=A.(BxC)=B.(CxA)=-C-(B×A)=-A-(C×B)=- B.(AxC)C×(A×B)=(C.B)A-(C.A)B表示一个矢量规则：把括号外的矢量与括号内较远的矢量点乘起来所得的项为正号，另一项为负号。3标量场的梯度3.1标量场的等值线或等值面把某一标量值相同的点用光滑的曲线或曲面连起来称为空间曲线或曲面的标量场的等值线或等值面。Φ(x,y,=) =C例1：求标量场=x2+3y2-z，通过点M（1，0，1）的等值面方程。解：将点M（1，0，1）代入得Φ=1+3×02-1=0因此其等值面方程为=x2+3y?-z=0即z=x+3y2在一般工程实际中，标量函数都是单值函数即标量函数的等值面（线）都是互不相交的。3.2标量场的方向导数与梯度方向导数：标量函数?在空间P点沿某一方向（上的变化率。op_oapapcocosβ+cosα,cosβcos为（方向的方向余弦cosα+cosy,calaxOzdy该dl方向的单位矢量e,为ecosα+e,cosβ+e.cosy。定义标量函数β的梯度为gradp=e,teyoyexax0z010-0若引入失性微分算子√，它在直角坐标系中可表示为√=er*axeyayteaz则gradp= Vp=e.+eo+e:cCax标量函数的梯度为一个矢量，其方向为标量场增加最快的方向，其大小表示标量场的最大增加率。方向导数也可表示为

行六面体的体积， C (A B) 表示一个标量。 C (A B)= A(B C) = B (C  A) = − C (B  A) = − A(C  B) = − B (AC) C  (A B) = (C  B)A − (C  A)B 表示一个矢量 规则：把括号外的矢量与括号内较远的矢量点乘起来所得的项为正号，另一项为负号。 3 标量场的梯度 3.1 标量场的等值线或等值面 把某一标量值相同的点用光滑的曲线或曲面连起来称为空间曲线或曲面的标量场的 等值线或等值面。 (x, y,z) = C 例 1：求标量场 = x + y − z 2 2  3 ，通过点 M（1，0，1）的等值面方程。 解：将点 M（1，0，1）代入得 1 3 0 1 2 2  = +  − =0 因此其等值面方程为 3 0 2 2  = x + y − z = 即 2 2 z = x + 3y 在一般工程实际中，标量函数都是单值函数即标量函数的等值面（线）都是互不相交的。 3.2 标量场的方向导数与梯度 方向导数：标量函数  在空间 P 点沿某一方向  上的变化率。 =           cos cos cos x y z  +   +   ， cos,cos,cos 为  方向的方向余弦 该 d 方向的单位矢量  e 为 cos cos cos x y z e + e + e 。 定义标量函数  的梯度为 z e y e x grad ex y z   +   +   =     若引入失性微分算子  ，它在直角坐标系中可表示为 z e y e x ex y z   +   +    = ， 则 z e y e x grad ex y z   +   +   =  =      标量函数的梯度为一个矢量，其方向为标量场增加最快的方向，其大小表示标量场的最大 增加率。 方向导数也可表示为：

p-V-eal例2求标量场u=xz+y在点M(1,1,2)处沿=é+2e,+2e.方向的方向导数及梯度。解：（1）函数u的梯度：- Ou.-Ou- ouVu=ex*axay dz=(2xz)e +(2y)e, +(x*)e将点M（1.12）代入上式Vuy=2xlx2e,+2xle,+Pe=4e,+2e,+e（2）=é,+2e,+2e.方向余弦：A11cosα=V4+A+AVP+2?+2232A,2cosβ=VA+A,+AVP+2°+223A.22COSy=A+A +A2+2?+223-1-2-2因此e,=ex+333函数u在点M（1,1,2）处沿（=e,+2e，+2e.方向的方向导数ou-1-2-2fe,33allmL2=4×+2×+1x-333_1034矢量场的散度与旋度4.1矢量场的散度设闭合曲面s围着体积△V，当△V→0，了对曲面S的通量与△V之比的极限称为了的散度。f了·dsdivj- lim1-AV-0△V

=        e 例 2 求标量场 2 2 u = x z + y 在点 M（1,1,2）处沿 x y z  = e + 2e + 2e 方向的方向导数及梯度。 解：（1）函数 u 的梯度： u = z u e y u e x u ex y z   +   +   = x y z (2xz)e (2y)e (x )e 2 + + 将点 M（1,1,2）代入上式 M x y z u e e e 2  = 21 2 + 21 +1 = x y z 4e + 2e + e （2） x y z  = e + 2e + 2e 方向余弦： 3 1 1 2 2 1 cos 2 2 2 2 2 2 = + + = + + = x y z x A A A A  , 3 2 1 2 2 2 cos 2 2 2 2 2 2 = + + = + + = x y z y A A A A  3 2 1 2 2 2 cos 2 2 2 2 2 2 = + + = + + = x y z z A A A A  , 因此  e = 3 2 3 2 3 1 x y z e + e + e . 函数 u 在点 M（1,1,2）处沿 x y z  = e + 2e + 2e 方向的方向导数: =   =   M M u e u   ) 3 2 3 2 3 1 (4 2 ) ( x y z x y z e + e + e  e + e + e = 3 2 1 3 2 2 3 1 4 +  +  = 3 10 4 矢量场的散度与旋度 4.1 矢量场的散度 设闭合曲面 S 围着体积 V ，当 V →0， f 对曲面 S 的通量与 V 之比的极限称为 f 的 散度。 V f d S div f V   =   →0 lim

在直角坐标系中，矢量f的散度为：axayzc0+a0+i0-(0%++e).(ef,+ef,+ef.)+ee:0z=V.j4.2矢量场的旋度设闭合曲线L围着体积△S，当△S→O，f对曲线L的环量与△S之比的极限称为f的旋度，即野·di(rot ),= m.AS在直角坐标系中，矢量了的旋度为feo1eolfe"orotj=-VxjaryOzJ总结：（1）直角坐标系中，矢量了的散度div了=V·了标量矢量了的旋度rot了=√×于矢量（2）直角坐标系中，标量函数β的梯度矢量gradp=Vp【本讲课程的小结】今天我们主要讲解场的概念，矢量的表示方法、点积、叉积以及混合积的运算规则，标量的梯度、矢量的散度和旋度的概念及意义。【本讲课程的作业】习题1.设标量场u=3x2y-y2求点M（1-2,1）处的梯度。习题2.若A=xe+ye,+(3z-x)e.,求A在点M(1,0,-1)处的散度和在点N(1,-1,-1)处的旋度

在直角坐标系中，矢量 f 的散度为： div f = z f y f x f x y z   +   +   = ( ) ( ) x y z x x y y z z e f e f e f z e y e x e  + +   +   +   =   f 4.2 矢量场的旋度 设闭合曲线 L 围着体积 S ，当 S →0， f 对曲线 L 的环量与 S 之比的极限称为 f 的 旋度，即 S f dl rot f S n   =   →0 ( ) lim 在直角坐标系中，矢量 f 的旋度为 x y z x y z f f f x y z e e e rot f       = = f 总结： （1）直角坐标系中，矢量 f 的散度 div f =   f 标量 矢量 f 的旋度 rot f =   f 矢量 （2）直角坐标系中，标量函数  的梯度 grad =  矢量 【本讲课程的小结】今天我们主要讲解场的概念，矢量的表示方法、点积、叉积以及混合 积的运算规则，标量的梯度、矢量的散度和旋度的概念及意义。 【本讲课程的作业】习题 1. 设标量场 2 3 2 u = 3x y − y z ,求点 M（1,-2,1）处的梯度。 习题 2. 若 x y z A x e y e (3z x)e 2 3 = + + − ，求 A 在点 M（1,0，-1）处的散度和在点 N（1,-1,-1） 处的旋度

课程名称：《电动力学》第周，第2讲次摘要电动力学数学基础知识准备2授课题目（章、节）本讲目的要求及重点难点：【目的要求】通过本讲课程的学习，掌握失量散度、旋度的一些定理，√算符的运算公式，熟悉曲线正交坐标系和轴对称情形下拉普拉斯方程的通解【重点】矢量散度、旋度常用定理，√算符的运算公式【难点】矢量散度、旋度常用定理，√算符的运算公式内容【本讲课程的引入】在掌握矢量场散度和旋度定义的基础上，本讲主要介绍矢量散度、旋度一些常用定理和√算符的运算公式等内容。【本讲课程的内容】1矢量散度、旋度常用定理直角坐标系中，矢量了的散度div了=√.了=标量axoyaz-eTea6arot=Vx=矢量了的旋度矢量axdya2J.f.J,(1)常用的积分变换式ds-[v.jdv.di-[,vxfds(2)标量场的梯度必为无旋场，即V×V0=0证明：标量场的梯度为一矢量，所以可假设了=Vβ，则（X方向的分量）有Vx(V), =(V×j)af,of,a()a(0pazayazayayazayazazay=0V×V0=0同理可证其它分量，因此有：

课程名称：《电动力学》 第 周，第 2 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 电动力学数学基础知识准备 2 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】通过本讲课程的学习，掌握矢量散度、旋度的一些定理，  算符的运算公式，熟悉曲线正交 坐标系和轴对称情形下拉普拉斯方程的通解 【重 点】矢量散度、旋度常用定理，  算符的运算公式 【难 点】矢量散度、旋度常用定理，  算符的运算公式 内 容 【本讲课程的引入】在掌握矢量场散度和旋度定义的基础上，本讲主要介绍矢量散度、旋 度一些常用定理和  算符的运算公式等内容。 【本讲课程的内容】 1 矢量散度、旋度常用定理 直角坐标系中，矢量 f 的散度 div f =   f = z f y f x f x y z   +   +   标量 矢量 f 的旋度 rot f =   f = x y z x y z f f f x y z e e e       矢量 (1)常用的积分变换式 f dS f dV  V  =  f dl f dS  S  =  (2)标量场的梯度必为无旋场，即    0 证明：标量场的梯度为一矢量，所以可假设 f =  ，则（X 方向的分量）有 x x () = ( f ) = ( ) ( ) z y z z y f y f z y     −     =   −     =0 同理可证其它分量，因此有：    0 ( ) ( ) y z z y    =      

(3)矢量场的旋度必为无源场V.Vxf=0证明：(×))+f)+a(ofof)7a)0axazaxayaxayozayazayazazay=0(4)无旋场必可表为标量场的梯度若×F=0则=(5)无源场必可表为另一矢量的旋度V.Vx=02√算符的运算2.1正交曲线坐标系中√运算的表达式（1）度量系数设xyz是某点的笛卡儿坐标，x1,x2,x3是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为d1?= dx?+ dy? + dz?=hdx+hdx +h dx?其中+(+(h.=(i= 1,2,3)Vax,Cox,ax称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数hl,h2,h3来描述。(2)哈密顿算符√、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符√在正交曲线坐标系下的一般表达式1aa1aalaeV=efe,h,Ox,Eh, ax?Pe3h,Cxs100+10+10Vo=ee+ehaxeh,Ox2hgCx1a0aV.A=(h,h,A)+(h,h,A2)+(h,h,A,)ax;hihzh,[axiax21ahh,0gaahh,ophhiopV'0-h,h,h, [ax,h,oxOx2hzox2Ox,hOx

(3)矢量场的旋度必为无源场   f  0 证明：   (  f )= ( ) ( ) ( ) y f x f x z f z f z y f y f x z y x z y x   −     +   −     +   −     =0 (4)无旋场必可表为标量场的梯度 若   f = 0 ，则 f =  (5)无源场必可表为另一矢量的旋度   f  0 2  算符的运算 2.1 正交曲线坐标系中  运算的表达式 （1）度量系数 设 x,y,z 是某点的笛卡儿坐标，x1, x2, x3 是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为 其中 称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数 h1, h2, h3 来描述。 (2)哈密顿算符  、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符 2  在正交曲线坐标系下的一般表达 式 ( ) ( ) y z z y    =      

he,h,e,h,e,10aaVXA=Ox,Ox:hh,h,Oxh,A,h,Ah,A,e「a0(h,A,)(h,A,)h,h,[ox.Ox,0e,a(h,A)-(h,A,)hhe[ox,Ox,+[hα(hA)1(h,A)-hh,[axiax2其中e,e2e为正交曲线坐标系的基；=p(x,X2xs)是一个标量函数；A=A(x,X2,X3）=Ae+Ae2+Ae,是一个矢量函数，只有在笛卡儿坐标系中，V"=(V-4)+(V"A)e，+(V"4A)。在其它正交坐标系中,(V?A), +V?A(3)不同坐标系中的微分表达式a）笛卡儿坐标xl=x，x2=y，x3=zhl=1,h2=1,h3=1Z. (z)Z为常数平面为常数平面tyx为常数平面--0-0 op+apV=eVo=ex+e+e+e.+ ey2Ozoxayozaxay.e,eaaAOA,+OA0aV.A-VXA=azaxayzaxayAAAp.op.pV?A=(V"A)e +(V"A1.)e,+(VA,)eV04"y?oz2Ox?b)圆柱坐标系(一个垂直于Z轴的平面、一个以Z轴为旋转轴的平面和一个以Z轴为轴心的圆柱面三个面组成）坐标变量：xl=rx2=0x3=z与笛卡儿坐标的关系：Z=Z，拉梅系数:h1=1h2=rh3=1x=rcosy=rsino

其中 e1,e2,e3 为正交曲线坐标系的基矢；  = (x1,x 2,x 3 ) 是一个标量函数； A = A(x1,x 2,x 3 ) = A1e1 + A2e2 + A3e3 是一个矢量函数， 只有在笛卡儿坐标系中， 。在其它正交坐标系中, 。 (3)不同坐标系中的微分表达式 a) 笛卡儿坐标 x1=x， x2=y， x3=z h1=1，h2=1，h3=1 z e y e x ex y z   +   +    = , z e y e x ex y z   +   +    =       A = z A y A x A x y z   +   +   , x y z x y z A A A x y z e e e A         = 2 2 2 2 2 2 2 x y z  +   +    =     , b) 圆柱坐标系(一个垂直于 Z 轴的平面、一个以 Z 轴为旋转轴的平面和一个以 Z 轴为轴 心的圆柱面三个面组成) 坐标变量: x1= r x2=φ x3= z 与笛卡儿坐标的关系： x=rcosφ y=rsinφ z= z, 拉梅系数: h1=1 h2=r h3=1

为常数平面J为常数柱面C-中为常数平面e,xe=ezaaaOu1ou-OuVu=e,V=e.+e,+eo+es+810z?2Orarroprod10AgV.A-l0aA,(rA,)+ForOzrdFa0aaaVxA-or00OzA,rApAaA10A,aAraA,[1010A,2)0g+e,+(=((rA)rodCzOzorrorrog球坐标系（球面、内切圆平面和圆锥面三个曲面组成）c)z(r,0,0)0为常数平面V9*为常数平面+为常数平面Ye,xeg=es坐标变量：x=1，x2=0,x=0与笛卡儿坐标的关系：x=rsinecos，y=rsinesing，z=rcose拉梅系数：h=1,h,=r，h,=rsinoa101V=e,+eg+earroersineosou1 u1uVu=e,+e.+eeorr0rsingos10A1a1aV.A--(r?A.) +(sin QA,) +r2Orrsineaersineas

er  e = ez , c) 球坐标系（球面、内切圆平面和圆锥面三个曲面组成） er  e = e 坐标变量： 与笛卡儿坐标的关系： , 拉梅系数：

11eee-rsinersine1aAg0a0aVXA-(sin GA)ersine00dOr00adArrsin ArAe10A,a0A.(rA)ee-a0Orsine02.2√算符的常用运算公式（说明、代表标量场，f、g代表失量场）(l)p)=p+y(2) V. (pf) = Vpf +pv.f(3) ×(pf) = ×+×(4)V: V = V2p只()+(9)+(9)证明：V.(V)=oxoxdyayozozp-Oz2x?Qy?= V?p(5) × (V×) = V(V. ) - V2类似于 C×(A×B)=(C.B)A-(C.A)B3轴对称情形下拉普拉斯方程的通解+0(sin00%)a(,ow)在轴对称情形下，拉普拉斯方程用球坐标表示为("r）sinoaole，用分离变量法解此方程。设(r,0)=R(r)0(0),代入上式，得1 d (,dR)1(sinod0)Rdr(dr)Osinodoldo此式左边为r的函数，右边为的函数，！只有当它们都等于常数时才有可能相等。令此常数为n(n+1)，则得两个方程：d(,dR)drdo)sing-n(n+1)R=0+ n(n +1)sin 60 = 0drdrdedolbR=a,rn+1容易求出解：a，b,为任意常数，由边界条件确定。作代换变换角度方程5=cosO

2.2  算符的常用运算公式（说明  、 代表标量场， f 、g 代表矢量场） (1) () =  +  (2)   (f ) =   f +   f (3)   (f ) =   f +   f (4)   2    =  证明： ( ) ( ) ( ) ( ) x x y y z z    +     +        =     2 2 2 2 2 2 x y z  +   +   =     2 =  (5) f f f 2  (  ) = (  ) −  类似于 C  (A B) = (C  B)A − (C  A)B 3 轴对称情形下拉普拉斯方程的通解 在轴对称情形下，拉普拉斯方程用球坐标表示为 ，用分离变 量法解此方程。 设 ，代入上式，得 此式左边为 r 的函数，右边为 θ 的函数，只有当它们都等于常数时才有可能相等。 令此常数为 n(n+1), 则得两个方程： ， 容易求出解： ，an,bn 为任意常数，由边界条件确定。 作代换变换角度方程