试卷代号：1080 座位号■口 中央广播电视大学2009一2010学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷） 工程数学（本）试题 2010年1月 题 号 二 三 四 五 总 分 分 数 得 分 评卷人 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 得分 1. 若A是对称矩阵，则条件( )成立 A.AA-1=I B.A'=A C.A'=A-1 D.A-1=A 3 57-1 得分 7 . 47 「-71 「7-4 B. 5 -3 -5 3 「-7 57 C. D. -5 -3 得分 3.若( )成立，则n元线性方程组AX=0有唯一解， A.秩(A)=n B.A≠0 C.秩(A)<n D.A的行向量组线性无关 得分 4.若条件( )成立，则随机事件A,B互为对立事件. A.AB=O或A+B=U B.P(AB)=0或P(A+B)=1 C.AB=⑦且A+B=U D.P(AB)=0且P(A+B)=1 585
试卷代号:1080 座位号口口 中央广播电视大学2009-2010学年度第一学期“开放本科”期末考试(半开卷) 工程数学(本) 试题 2010年 1月 题 号 四 五 总 分 分 数 得 分 评卷人 一、单项选择题(每小题 3分.本题共 15分) 匣王习1·若‘是对称矩阵，则条件‘ ，成立· A.AA一1=I B.A’二A C.A‘=A一1 D. A一I=A .降州 二}2.r}3 5_11一‘一( ). — L4 7] A.-7 5 -43 C. r;一:」 件:一43 味:一53 0州 卜若‘ )成立 ，则 n元线性方程组AX=O有唯一解. A.秩(A)=n C.秩 (A) <n B.A笋0 D. A的行向量组线性无关 0州 卜若条件‘ )成立，则随机事件 A,B互为对立事件. A. AB=②或 A+B=U C. AB=0且 A+B=U B. P(AB)=0或 P(A+B)“1 D. P(AB)=0且 P(A+B)= 1 585
得分 ]5.对来自正态总体X~N4,d)红未知)的一组样本X,X,X,记X=专方X, 则下列各式中( )不是统计量 A.X B. x C. (X-)2 D (X:-X)2 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 得分 6. 设A、B均为3阶方阵，且|A|=-6,|B|=3,|一(A'B-1)3|= 得分 7. 设A为n阶方阵，若存在数λ和非零n维向量x,使得 ,则称x 为A相应于特征值入的特征向量. 得分 8. 若P(A)=0.8,P(AB)=0.5,则P(AB)= 得分 9. 如果随机变量X的期望E(X)=2,且E(X)=9,那么D(2X)= 得分 10. 不含未知参数的样本函数称为 得 分 评卷人 三、计算题（每小题16分，共32分） 1 -1 0 2 00 得分 11.设矩阵A= 1 21 ,B= 0 50,求A-1B. 23 005 x1十x2-2x3-x4=-2 得分 12.当入取何值时，线性方程组2x1十x2十7x+3x4=6 有解，在有解的情况下求 9x1+7x2+4x3+x4=1+1 此方程组的一般解， 586
匝亚口5‘对来自正态总体X-N(ft,Q}) (;未知，的一组样本 、、二 1石 ，， 人‘’AZ’A3’下〔入一亨L41人‘’ 则下列各式中( )不是统计量. A. X B. Z3、 ‘ C. 3客(X;-,u)2 .音3(X,-X)2 得 分 }评卷人 二、填空题(每小题 3分，共 15分) 6.设A,B均为3阶方阵，且}Al=一6, JBI =3,}一(A'B一，) 3 7.设 A为n阶方阵，若存在数A和非零 n维向量x，使得 为A相应于特征值又的特征向量. 8.若 P(A)=0.8,P(AB)=0.5，则 N AB)二 ，则称 x 9.如果随机变量 X的期望E(X)=2，且 E(XZ)=9，那么D(2X) = 10.不含未知参数的样本函数称为 画画 哑哑画 得 分 评卷人 三、计算题(每小题 16分，共 32分) 求 A 一 B -训 | 引 | 引 习 甩 | 卜 四 | 陌 L B 一- 们 | 川 州 | 川 口 _ ___. 干‘ 4 3} “’设矩阵A一} L一2 ‘ 一 1 — (x, -1-x2 -2x3 -x, -2 i'麦 3i日12. -}N A取何值时’线性方程组{ 田 2xx,,十十 ‘ 7x2 -2 }-+ 7x 4X 3十3 + 3xx,, ==6 A十1有解’在有解的情况下求 此方程组的一般解. 586
得 分 评卷人 四、计算分析题（每小题16分，共32分）】 得分 13.设XN(3,4),试求(1)P(X<1);(2)P(5<X<7).(已知Φ(1)=0.8413， Φ(2)=0.9772，Φ(3)=0.9987) 得分 14. 某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布，今从一批产品里随机取出9个， 测得直径平均值为15.1mm,若已知这批滚珠直径的方差为0.062，试找出滚珠 直径均值的置信度为0.95的置信区间(o.95=1.96). 得 分 评卷人 五、证明题（本题6分） 得分 15.设随机事件A,B相互独立，试证：A,B也相互独立. 587
得 分 评卷人 四、计算分析题【每小题 16分.共 32分) 匡亚口13·设X-N(3,4)，试求(1)P(X<1); (2)P(5<X<7).(已知。(1)一。.8413 0(2) =0. 9772,0(3)=0. 9987) 匣画口 “谋车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布，今从一批产品里随机取出9个， 测得直径平均值为 15. lmm，若已知这批滚珠直径的方差为 0.062，试找出滚珠 直径均值的置信度为 0.95的置信区间(uo.M=1. 96 ). 得 分 评卷人 五、证明题 (本题 6分) 匣王口15·设随机事件A, ”相互独立，试证:A,B也相互独立· 587
试卷代号：1080 中央广播电视大学2009一2010学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷） 工程数学（本） 试题答案及评分标准 (供参考) 2010年1月 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.B 2.D 3.A 4.C 5.C 二、填空题（每小题3分，本题共15分）】 6.8 7.Ax=Ax 8.0.3 9.20 10.统计量 三、计算题（每小题16分，本题共32分）】 11.解：利用初等行变换得 1-101007 -10 100 -1 210100 11 11 0 223001 43-201 几-1 0 1 0 01 -1 0 1 0 0 →0 1 1 1 10+0 10 -5 -3 0 -1 -6 -41 .01 6 4-1 100 -4 -3 17 +01( -5 -3 1 001 6 4 -1 -4 -3 17 即 A-1= -5 -3 …10分 6 由矩阵乘法得 588
试卷代号:1080 中央广播电视大学2009-2010学年度第一学期“开放本科”期末考试【半开卷) 工程数学(本) 试题答案及评分标准 (供参考) 2010年 1月 一、单项选择题(每小题 3分，本题共 15分) 1. B 2. D 3. A 二、填空题(每小题 3分，本题共 15分) 6.8 7. Ax=Ax 8.0.3 9.20 10.统计量 三、计算题(每小题 16分，本题共 32分) 11.解 :利用初等行变换得 一‘0‘ 。0]尸 2 2 ‘ 3 0 0 ‘ 0 0 11 }一因。 一 1 0 1 1 4. C 1 0 1 1 4 3 一 2 0 叫 。1]} 0 1 一 1 0 1 0 一 5 一 3 0 1 几 lwe陌Iv| 10 ﹂ t 闰 J nl ul ll] 10分 们 J 川 州 | 1 1 一 门川 刊 一 1 1 0 0 0 1 0 0 1 一 1 一 6 一 4 一 3 一 5 一 3 厂 |卜 ! L 几!1101|陌J n广|10 wet陌﹄ 一 t 一 3 一 3 4 ~|匡 Il esL 即 A-‘二 由矩阵乘法得 588
4 --3 17 2 0 0) -8 -15 A-1B= -5 -3 5 -10 -15 5 ……16分 6 -1 0 12 20 -5 12.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 卫1-2-1 -27 -2 一1 -27 217 3 6 +10 -1 11 5 10 974 1A+1 0 -2 22 10λ+19 n 1-2-1 -27 10 9 81 +0-1 11 5 10+01 -11-5-10 0 00 0λ-1 0 0 01-1 由此可知当入≠1时，方程组无解.当入=1时，方程组有解.此时方程组的一般解为 x1=-9x3-4x4十8 2=11x9+5x4-10 其中x3,x4是自由未知量)…16分 四、计算分析题（每小题16分，共32分） 1.解：DPX<)=P(X23<12) =P(23<-=-D =1-(1)=1-0.8413=0.1587…8分 (2p5<X<)=P23<X23<72）=P1<X23<2) =(2)-(1)=0.9772-0.8413=0.1359…16分 14.解：由于已知σ2，故选取样本函数 N(0,1)以 a1/n 已知x=15.1,经计算得 g=0.06=0.02 3 滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为[z一.后，王+ua.s合]，又由已知条件 4o.5=1.96,故此置信区间为[15.0608,15.1392].…16分 五、证明题（本题6分） 15.证明：P(AB)=P(B)-P(AB)=P(B)-P(A)P(B)=P(B)(1-P(A) =P(A)P(B) 所以石，B也相互独立.证毕.…6分 589
A一'B= 一 3 一 8 一 15 一 10 一 15 16分 12 20 一 5 咫 e 舀陌 | IO L 月 1 ，川 | l- J 已卜 11-| L 12.解:将方程组的增广矩阵化为阶梯形 幻 | 引 1川 判 - 1 龟孟 十1 几 1 卜 lu | 陌 ﹂ t 峭川| 川训 ! 苦州 一 一 、人 十 1 一2 一 1 1 一 2 一 1 ，‘工 口 口 ，I Q 自 1 7 3 7 4 1 一 1 一 2 5 10 1 一 2 一 1 一 1 11 5 1 一 11 一 5 一 10 0 0 0 0 0 又一 1 幻 1 川 川月 川 1 - 1 ， 几 - -日厂 |旧厂 卜旧 ﹂ t 由此可知 当 A并 1时，方 程组无解.当 A= 1时，方 程 组有解.此时方程 组 的一 般解 为 分 分 分 分 16 8 16 4 钾一9x3一4x;十8 “llx3十5x;一10 (其中x3 ,x、是自由未知量) 四、计算分析题(每小题 16分，共 32分) 13.解:(1)二(X<l)一P( \ X毕 乙 <旱 乙 /、 .-, iX-3 _ 二、 =P{二七一二< 一11=0(一1) 一、 2 、 一少 ‘“ =1一0(1)二1一0.8413二0. 1587 (2)尸(5<X<7)=尸 5一 3 ,X一 3 ,7一 3 一一万一‘长、一一- ` 一下丁一 乙 乙 乙 一P(1< X于 乙 3<2) =<D(2)一(P(1)=0. 9772一0. 8413=0. 1359 14.解:由于已知 扩，故选取样本函数 U=揣 一N(0， ‘’·········……‘……“““‘’“‘”’“’“’.””‘’‘’“””‘’‘’“””‘”’“’“‘” 已知王=15. 1-，经计算得 6 0.06 万一丁一一U·U乙 滚珠直径均值的置信度为。.95的置信区间为巨X - uo. 975念王十uo. 975后J，又由已知条件 uo. 9,, =1. 9 6，故此置信区间为〔15.0608,15. 1392].·······································…… 16分 五、证明题 (本题 6分 ) 15.证明:P(入B)二P(B)一P(AB) =P(B)一P(A)P(B)-P(B) (1一P(A)) =P(A)P(B) 所以A,B也相互独立.证毕.······························································…… 6分 589