第五讲积分与微分 重庆交通学院计算机系 2003年9月
1 第五讲 积分与微分 重庆交通学院计算机系 2003年9月
Matlab中的微积分功能 1.一般微积分函数 >Syms sI s2 建立符号变量sl,s2 >diff(s, x, n) 求符号函数S对变量x的n次微分 >pretty(s) 将S化为一个符合日常书写习惯的形式 >limit(F,x, a) 求函数F当变量x趋向a点时的极限 limitF x, a, left) 求函数F的变量x在a点的左极限( right, inf) 2 2021/2/24
2021/2/24 2 一.Matlab中的微积分功能 1.一般微积分函数 ➢syms s1 s2.. 建立符号变量s1,s2… ➢diff(S,x,n) 求符号函数S对变量x的n次微分 ➢pretty(S) 将S化为一个符合日常书写习惯的形式 ➢limit(F,x,a) 求函数F当变量x趋向a点时的极限 limit(F,x,a,’ left’) 求函数F的变量x在a点的左极限（right,inf）
>taylor(f, a, n) 对函数F在a点 taylor展开(默认在零点展开5次) >fmin(e,a, b) 求函数F在区间[ab]内的极值点 >fzero(e,O) 求函数F在x0附近的零点 >int(s) 给出符号函数S的不定积分(只有当S的不 定积分有显式表达式时有效)。 int(s, x, a, b) 给出符号函数S对于变量x在区间[ab]上的定 积分。(和上面一样,S必须有显式的不定积分表 达式) 3 2021/2/24
2021/2/24 3 ➢taylor(F,a,n) 对函数F在a点taylor展开（默认在零点展开5次） ➢fmin(F,a,b) 求函数F在区间[a,b]内的极值点。 ➢fzero(F,x0) 求函数F在x0附近的零点。 ➢int(S) 给出符号函数S的不定积分（只有当S的不 定积分有显式表达式时有效）。 int(S,x,a,b) 给出符号函数S对于变量x在区间[a,b]上的定 积分。（和上面一样，S必须有显式的不定积分表 达式）
2.出现的问题 >许多函数按常规方法“积不出来”,如: b b sin x X >对于离散的数据或图形函数,常规方法也不能 给出合理的积分或微分。然而离散数据又是计 算机时代的基本特点 如何解决? 数值积(微)分的必要性 4 2021/2/24
2021/2/24 4 2.出现的问题 ➢ 许多函数按常规方法“积不出来”，如： ➢ 对于离散的数据或图形函数，常规方法也不能 给出合理的积分或微分。然而离散数据又是计 算机时代的基本特点。 dx x x e dx b a b a x − sin , 2 2 如何解决？ 数值积（微）分的必要性
二数值积分 1回忆定积分的定义: b foxx=lim l n b ∑f(5k) k=1 上式中n充分大时,L就是数值积分。各种 数值积分方法研究的是5如何选取和a,b如何 划分,才能使得数值积分的精度高,而计算量相 对小。 5 2021/2/24
2021/2/24 5 二.数值积分 1.回忆定积分的定义： n b a I f I f x dx I n k n k n b a n − = = = = → 1 ( ) ( ) lim 上式中n充分大时，I n 就是I的数值积分。各种 对小。 划分，才能使得数值积分的精度高，而计算量相 数值积分方法研究的是, k 如何选取和[a,b]如何
2从矩形公式到梯形公式: 1x)a=x0≤x1<…xk…<xn=b h k xx x,h b k=0 h∑f(2) k=1 Ln2H平均得到梯形公式: h T=B∑f+(0+f)(3) k=1 6 2021/2/24
2021/2/24 6 2.从矩形公式到梯形公式： , ( ) ... ... , 0 1 k k k n f f x n b a h a x x x x b = − = = = （ ） （） 2 1 1 1 0 = − = = = n k n k n k n k H h f L h f Ln ,Hn 平均得到梯形公式： ( ) （3） 2 0 1 1 n n k n k f f h T = h f + + − =
3.辛普森( Simpson)公式: 梯形公式相当于用分段线性插值代替f(x为了 提高精度采用分段二次线性插值代替f(x)得到抛物 线公式(辛普森公式)。 y=(x)如左图:每段用相邻两区 间的端点的三个函数值 (x2k22k),(x2k+122k+1) f + 2k+2J2k+2 )2k=0,12,m-1 a x2k xw+Ixx+2 b 区间数必须为偶数H=2m 7 2021/2/24
2021/2/24 7 3. 辛普森（Simpson）公式： 线公式（辛普森公式）。 提高精度采用分段二次线性插值代替 得到抛物 梯形公式相当于用分段线性插值代替 为了 ( ) ( ), f x f x ( , ), 0,1,... 1 ( , ),( , ), 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 + + = − + x f k m x f x f k k k k k＋ k 间的端点的三个函数值 如左图：每段用相邻两区
用(x2,)、(x2+1,2k+)(x 2k+2J2k+2 )构造二次插 值函数S(x),计算积分 2k+2 S(x)kx=(2+4f1+f22 对求和(共m段得到辛普森公式 b Sm=(0+/2m+4)k1+2)/2k),h= 2m k=0 k=1 8 2021/2/24
2021/2/24 8 ( ), : ( 4 ) 3 ( ) ( ), : ( , ),( , ),( , ) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 对 求和 共 段 得到辛普森公式 值函数 计算积分 用 ＋ 构造二次插 k m f f f h s x dx s x x f x f x f k k x x k k k k k k k k k k k + + + + + + = + +
梯形公式的误差* AR/7)=[/(k=x<5 2 M(b-a) 辛普森公式的误差 b h IR(,Sm,)|=1 f(x)dx-Snks (b-a) 180 上面M=max|f(x),x∈(a,b)称梯形公式的 误差是h阶的,而辛普森(抛物线)公式S的误 差是h阶的(即梯形公式2阶收敛,辛普森公式 4阶收敛)。 9 2021/2/24
2021/2/24 9 阶收敛）。 差是 阶的（即梯形公式 阶收敛，辛普森公式 误差是 阶的，而辛普森（抛物线）公式 的误 上面 称梯形公式 的 ＝ 辛普森公式的误差 ＝ 梯形公式的误差 4 2 max | ( )|, ( , ), ( ) 180 | ( , )| | ( ) | : ( ) 12 | ( , )| | ( ) | : 4 2 ( ) (i v) 4 '' 2 h h S M f x x a b T M b a h R f S f x dx S M b a h R f T f x dx T n n i i n b a n b a n n = − − − −
4.蒙特卡罗( Monte carlo)方法 随机模拟 f(x)=x2在之间的积分可以按下面方法得到 在单位正方形中随机打个点 若有k个点落在单位圆中 4 当n足够大时有 丌k f(xdx 4 n 注意到:正方形为积分区域0×01而单位圆 4 为函数积分的有效区域 10 2021/2/24
2021/2/24 10 4.蒙特卡罗（Monte Carlo）方法 ——随机模拟 ( ) 1 [0,1] : f x = －x 2 在 之间的积分可以按下面方法得到 = 1 0 4 ( ) 4 1 n k f x dx n k n 当 足够大时有 若有 个点落在 单位圆中， 在单位正方形中随机打 个点， 为函数积分的有效区域。 注意到 正方形为积分区域 而 单位圆 4 1 : [0,1][0,1]