《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 3.5 两个随机变量的函数的分布

概華论与款醒硫外「 第五节两个随机变量的函数的分布 一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布

二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 一、问题的引入 第五节 两个随机变量的函数的分布

概车纶与款理统外 一、问题的引入 有一大群人，令X和Y分别表示一个人的 年龄和体重，Z表示该人的血压，并且已知Z与 X,Y的函数关系Z=g(X,Y),如何通过X,Y的 分布确定Z的分布

. , ( , ), , , , , 分布确定 的分布 的函数关系 如何通过 的 年龄和体重 表示该人的血压 并且已知 与 有一大群人 令 和 分别表示一个人的 Z X Y Z g X Y X Y Z Z X Y = 一、问题的引入

概率论与款程统针「 二、离散型随机变量函数的分布 例1设随机变量(X,Y的分布律为 -2 -1 0 1 1 3 -1 12 12 12 1 2 1 0 12 12 3 2 0 2 12 12 求（①）X+Y,(2)X-Y的分布律

二、离散型随机变量函数的分布 X Y − 2 − 1 0 − 1 2 1 3 12 3 12 1 12 1 0 12 1 12 2 12 2 0 12 2 例1 设随机变量 (X,Y)的分布律为 求 (1)X + Y, (2) X −Y 的分布律

概率伦与款程统针」 解 X -2 -1 0 1 1 3 -1 12 12 12 1 2 1 0 等价于 2 12 12 3 2 2 0 12 12 概率 1 1 3 2 122 12 12 12 12 12 1212 (X,) (-1,-2)(-1,-l0-1,0) -2g-2a0

概率 ( X , Y ) ( − 1 , − 2 ) 121 (−1,−1) 121 (−1,0) 123   −2 21 , 122   −1 21 , 121 (3,−2) 122 (3,0) 122 X Y − 2 − 1 0 − 1213 123 121 121 0 121 122 122 0 122 解 等价于

概華伦与款程统外 概率 1 2 2 1 2 12 12 1212 1212 12 (X,Y -1-2l-w(2-2G8-230, X+Y-3 -21- 13 5 3 X-Y 1 0 1 53 2 2

概率 (X,Y ) (−1,−2) 12 1 (−1,−1) 12 1 (−1,0) 12 3       ,−2 2 1 12 2       ,−1 2 1 12 1 (3,−2) 12 2 (3,0) 12 2 X +Y − 3 − 2 − 1 2 3 − 2 1 − 1 3 X −Y 1 0 1 2 5 2 3 5 3

概车纶与款理统外「 所以X+Y,X-Y的分布律分别为 X+y-3 -2-1 3 1 13 2 2 1 3 2 1 2 2 P 1 12 12 12 12 12 12 5 X-Y 0 1 5 3 2 3-2 1 4 2 1 2 2 P 12 12 12 12 12 12

X +Y P − 3 − 2 − 1 2 3 − 2 1 − 1 3 12 1 12 1 12 3 12 2 12 1 12 2 12 2 X −Y P 0 1 2 5 2 3 5 3 12 4 12 1 12 2 12 1 12 2 12 2 所以 X + Y, X −Y 的分布律分别为

概率伦与款程统外 结论 若二维离散型随机变量的联合分布律为 P{X=x,Y=yj}=P,i,j=1,2,., 则随机变量函数Z=g(X,Y)的分布律为 P(Z=}=P(g(X,Y)=K =∑P k=1,2,. Zk=g(xiyj)

结论 若二维离散型随机变量的联合分布律为 P{X = x ,Y = y } = p , i, j = 1,2,  , i j ij 则随机变量函数Z = g(X,Y)的分布律为 { } { ( , ) } k k P Z = z = P g X Y = z , 1,2, . ( ) =  =  = p k k i j z g x y ij

概车纶与款理统外 例2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为 X 1 3 Y2 4 Px 0.3 0.7 P 0.6 0.4 求随机变量Z=X+Y的分布律

例2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为 X PX 1 3 0.3 0.7 Y PY 2 4 0.6 0.4 求随机变量 Z=X+Y 的分布律

概華论与款醒统外 例3设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一 分布律，且X的分布律为 X 0 1 P 0.5 0.5 试求：Z=max(X,Y)的分布律

例3 设相互独立的两个随机变量X, Y 具有同一 分布律,且 X 的分布律为 X P 0 1 0.5 0.5 试求 : Z = max(X,Y )的分布律

概车纶与散理统外「 三、连续型随机变量函数的分布 1.Z=X+Y（和)的分布 设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y 的分布函数为 F(a)=Pz≤z=f∬fx,y)dxdy x+y≤ x+y=7 f(xy)dx dy x-u-yf fu-x.ydudy =∫.[mfu-yydy]au

的分布函数为 设(X,Y )的概率密度为f (x, y),则Z = X + Y F (z) P{Z z} Z =  f x y x y x y z ( , )d d  +  = x y O x + y = z x = u − y 三、连续型随机变量函数的分布 1. Z=X+Y （和）的分布 f x y x y z y ( , )d d   + − − − = f u y y u y z ( , )d d   + − − − f (u y, y)d y du. z −  + − = −